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摘要：基于Markov链，结合层次分析法，探讨加固后桥梁承载力的模糊时变可靠性。总结提出影响加固后桥梁承载能力的影响因素及各级指标，通过模糊层次分析得到加固后桥梁承载力状态分布向量。引入Markov链,通过基于二维空间的逆阵法得到修正状态转移矩阵。计算得出加固后桥梁承载力时变可靠性分布向量，提出承载力预测指标。算例表明，该方法适用于加固后桥梁承载力模糊可靠性预测。
关键词：加固后桥梁；Markov链；承载力；可靠性预测；层次分析法
中图分类号：TU997文献标识码： A 文章编号：
0引言
由于我国交通建设事业的蓬勃发展，对旧危桥进行加固改造，恢复并提高其承载能力成为了当务之急。Markov法正好抓住了桥梁结构动态变化过程的本质特征，能够较为客观和准确的反映出加固后桥梁的状态转移以及桥梁缺损状态变化率。本文基于Markov法，总结桥梁加固后承载力影响因素，并采用模糊数学与层次分析法（AHP）评价理论，建立加固后桥梁承载力可靠性预测模型。
1加固后桥梁模糊承载力可靠性预测
Markov过程
假定结构最优工作状态为(为正整数)，结构完全失效状态为0。结构的状态由到0逐步退化。
Markov过程定义[2]：在时刻系统处于状态的条件下，在时刻(),系统所处的状态和时刻以前所处的状态无关，只与时刻所处的状态有关。
对于Markov过程，可以将从时刻的
状态变为时刻的状态的条件概率为：
（1）
称为状态转移概率。
对于有限状态空间，取，状态转移概率也可以用矩阵形式表示
（2）
式（2）称为步转移概率矩阵，又称状态转移概率矩阵。显然有
（3）
（4）
若仅与时间差有关，与时间起点无关，在称为齐次Markov过程。按照齐次Markov过程理论，有
（5）
式中：为系统性能从时刻转移到时刻状态的一步转移概率矩阵。即
（6）
系统性能在时刻的状态概率分布向量为
（7）
根据以上推论，加固后桥梁结构可由加固后初始承载力可靠性的概率分布向量和一步转移概率矩阵得到任何时刻的承载力可靠性概率分布。
加固后桥梁承载力可靠度预测模型
加固后桥梁承载力可靠度预测当中存在诸多不确定因素，如何将其量化称为了关键。然而通过对加固后桥梁的初始（或当前）承载力可靠度分布向量和状态转移概率矩阵进行计算就能很好的在掌握较少统计量的情况下实现其量化过程，这就是Markov过程在解决这类问题当中的优势所在。
应用Markov过程进行加固后桥梁承载力可靠度预测的步骤如图1所示为：
图1 加固后桥梁承载力可靠度预测步骤
Fig.1 Reliability prediction procedure
1.2.1定义加固后桥梁承载力状态空间
文献[3]，建议将桥梁承载力状态空间分为0到5这五个状态。5代表完好状态，0代表承载力完全丧失状态。将加固后桥梁承载力等级V分为五类，如表1所示。
表1 加固后承载力状态空间与状态分类
Table 1 Bearing capacity state space
1.2.2加固后桥梁承载力可靠性的模糊评价层次分析模型建立
桥梁的加固前状态、加固设计、加固施工过程以及加固后使用环境及条件都会对其加固后承载力可靠度造成影响。这些影响因素复杂程度高，关联程度大，现整理如图2所示
1.2.4确定各级影响因素权向量集U
利用德尔菲专家评分法[4]对各影响因子对上一级影响因素的重要程度进行评分。权重系数经专家委员会调查确定。
（8）
图2 加固后桥梁承载力可靠性层次分析模型
Fig.2 Bearing capacity reliability AHP model
1.2.3 建立模糊关系矩阵
（9）
其中，(0≤rij≤1；1≤j≤5), rij(j =1，2，3，4，5)为U中的因素Ui对应V中等级Vj的隶属关系，其中，（10）
1.2.5计算加固后桥梁承载力评判结果
根据以上步骤，得到加固后桥梁承载力评判结果为
上式表示，评估因素与被评估事物的模糊关系通过模糊变换器R形成了被评估事物与评估等级间的模糊关系P。
计算加固后桥梁状态转移矩阵
目前计算状态转移矩阵的方法主要有：经验判断法、统计分析法、回归分析法和基于逆阵法[6]以及改进基于逆阵法[7]。状态转移概率矩阵求解公式如下
（11）
其中：——根据加固后正常养护措施，半年间状态n转移到状态m的概率。矩阵A和B如以下公式所示
（12） （13）
其中~为加固后某时段连续3年内每半年的桥梁承载力可靠度分布向量，由1.2中方法求得。
将同一地区、同样加固类型、同样荷载等级的大量加固后桥梁根据其加固后使用年限按一组分类，共6组，得出各组的。将加固后~按时间0.2，0.4，0.6，0.8等分为五段，采用改进基于二维空间逆阵法[7]，通过MATLAB程序实现求解。
加固后桥梁承载力可靠度预测
通过以上计算可以分别以加固后开始运营时刻以及加固后桥梁当前时刻为起点，对承载力可靠度进行预测如式14、15所示。
(14)
(15)
一般情况下，取。
综上条件，假定加固后桥梁承载能力状态不允许转移至，则有第年加固后桥梁承载力可靠度指标低于的概率
(16)
取预测指标时，加固后桥梁承载力不满足最低可靠度指标。
2算 例
根据某省干线公路74座加固后梁桥的现状调查结果如表6，通过构造判断矩阵，经过模糊评价法计算，得到如下结果：
表2 加固后桥梁状态分布表
Table2 State distribution of enhanced bridges
则根据公式11-13的计算方法得到：
(17)
根据计算可绘制该省干线公路加固后梁桥可靠度预测曲线如图3所示，可以初步预测该省干线公路加固后桥梁使用寿命约为20年。
图3 加固后桥梁承载力可靠度预测曲线
Fig.3 Reliability Prediction line of enhanced bridge
3結束语
（1）运用Markov链与最低可靠度指标相结合，进而对加固后桥梁承载力装填进行评估。
（2）基于层次分析法和Markov链，得到加固后桥梁承载力可靠度计算公式。
（3）在预测精确性方面Markov法有待进一步提升。
参考文献
[1]Morcous G,Lounis Z, Mirza M S. Identification of environmental categories for Markovian deterioration models of bridge decks [J]. JournalofBridge Engineering 2003,8(6)..
[2] 刘建民.随机过程[M].西安：西北大学出版社，2004,2
[3] JTG H11-2004.公路桥涵养护规范[S].2004
[4]曾彩勤,徐重才.桥梁适应性评价方法探讨[J]公路与汽运,2006,115(增刊):129-130.
[5]刘文奇.均衡函数及其在变权综合中的应用[J].系统工程理论与实践，1997,17(4):58-64.
[6]姚康祖.路面管理系统[M].北京：人民交通出版社，1993
[7]吕颖钊.在役桥梁承载力模糊可靠性的马尔科夫预测[J].长安大学学报，2005（4）
关键词：加固后桥梁；Markov链；承载力；可靠性预测；层次分析法
中图分类号：TU997文献标识码： A 文章编号：
0引言
由于我国交通建设事业的蓬勃发展，对旧危桥进行加固改造，恢复并提高其承载能力成为了当务之急。Markov法正好抓住了桥梁结构动态变化过程的本质特征，能够较为客观和准确的反映出加固后桥梁的状态转移以及桥梁缺损状态变化率。本文基于Markov法，总结桥梁加固后承载力影响因素，并采用模糊数学与层次分析法（AHP）评价理论，建立加固后桥梁承载力可靠性预测模型。
1加固后桥梁模糊承载力可靠性预测
Markov过程
假定结构最优工作状态为(为正整数)，结构完全失效状态为0。结构的状态由到0逐步退化。
Markov过程定义[2]：在时刻系统处于状态的条件下，在时刻(),系统所处的状态和时刻以前所处的状态无关，只与时刻所处的状态有关。
对于Markov过程，可以将从时刻的
状态变为时刻的状态的条件概率为：
（1）
称为状态转移概率。
对于有限状态空间，取，状态转移概率也可以用矩阵形式表示
（2）
式（2）称为步转移概率矩阵，又称状态转移概率矩阵。显然有
（3）
（4）
若仅与时间差有关，与时间起点无关，在称为齐次Markov过程。按照齐次Markov过程理论，有
（5）
式中：为系统性能从时刻转移到时刻状态的一步转移概率矩阵。即
（6）
系统性能在时刻的状态概率分布向量为
（7）
根据以上推论，加固后桥梁结构可由加固后初始承载力可靠性的概率分布向量和一步转移概率矩阵得到任何时刻的承载力可靠性概率分布。
加固后桥梁承载力可靠度预测模型
加固后桥梁承载力可靠度预测当中存在诸多不确定因素，如何将其量化称为了关键。然而通过对加固后桥梁的初始（或当前）承载力可靠度分布向量和状态转移概率矩阵进行计算就能很好的在掌握较少统计量的情况下实现其量化过程，这就是Markov过程在解决这类问题当中的优势所在。
应用Markov过程进行加固后桥梁承载力可靠度预测的步骤如图1所示为：
图1 加固后桥梁承载力可靠度预测步骤
Fig.1 Reliability prediction procedure
1.2.1定义加固后桥梁承载力状态空间
文献[3]，建议将桥梁承载力状态空间分为0到5这五个状态。5代表完好状态，0代表承载力完全丧失状态。将加固后桥梁承载力等级V分为五类，如表1所示。
表1 加固后承载力状态空间与状态分类
Table 1 Bearing capacity state space
1.2.2加固后桥梁承载力可靠性的模糊评价层次分析模型建立
桥梁的加固前状态、加固设计、加固施工过程以及加固后使用环境及条件都会对其加固后承载力可靠度造成影响。这些影响因素复杂程度高，关联程度大，现整理如图2所示
1.2.4确定各级影响因素权向量集U
利用德尔菲专家评分法[4]对各影响因子对上一级影响因素的重要程度进行评分。权重系数经专家委员会调查确定。
（8）
图2 加固后桥梁承载力可靠性层次分析模型
Fig.2 Bearing capacity reliability AHP model
1.2.3 建立模糊关系矩阵
（9）
其中，(0≤rij≤1；1≤j≤5), rij(j =1，2，3，4，5)为U中的因素Ui对应V中等级Vj的隶属关系，其中，（10）
1.2.5计算加固后桥梁承载力评判结果
根据以上步骤，得到加固后桥梁承载力评判结果为
上式表示，评估因素与被评估事物的模糊关系通过模糊变换器R形成了被评估事物与评估等级间的模糊关系P。
计算加固后桥梁状态转移矩阵
目前计算状态转移矩阵的方法主要有：经验判断法、统计分析法、回归分析法和基于逆阵法[6]以及改进基于逆阵法[7]。状态转移概率矩阵求解公式如下
（11）
其中：——根据加固后正常养护措施，半年间状态n转移到状态m的概率。矩阵A和B如以下公式所示
（12） （13）
其中~为加固后某时段连续3年内每半年的桥梁承载力可靠度分布向量，由1.2中方法求得。
将同一地区、同样加固类型、同样荷载等级的大量加固后桥梁根据其加固后使用年限按一组分类，共6组，得出各组的。将加固后~按时间0.2，0.4，0.6，0.8等分为五段，采用改进基于二维空间逆阵法[7]，通过MATLAB程序实现求解。
加固后桥梁承载力可靠度预测
通过以上计算可以分别以加固后开始运营时刻以及加固后桥梁当前时刻为起点，对承载力可靠度进行预测如式14、15所示。
(14)
(15)
一般情况下，取。
综上条件，假定加固后桥梁承载能力状态不允许转移至，则有第年加固后桥梁承载力可靠度指标低于的概率
(16)
取预测指标时，加固后桥梁承载力不满足最低可靠度指标。
2算 例
根据某省干线公路74座加固后梁桥的现状调查结果如表6，通过构造判断矩阵，经过模糊评价法计算，得到如下结果：
表2 加固后桥梁状态分布表
Table2 State distribution of enhanced bridges
则根据公式11-13的计算方法得到：
(17)
根据计算可绘制该省干线公路加固后梁桥可靠度预测曲线如图3所示，可以初步预测该省干线公路加固后桥梁使用寿命约为20年。
图3 加固后桥梁承载力可靠度预测曲线
Fig.3 Reliability Prediction line of enhanced bridge
3結束语
（1）运用Markov链与最低可靠度指标相结合，进而对加固后桥梁承载力装填进行评估。
（2）基于层次分析法和Markov链，得到加固后桥梁承载力可靠度计算公式。
（3）在预测精确性方面Markov法有待进一步提升。
参考文献
[1]Morcous G,Lounis Z, Mirza M S. Identification of environmental categories for Markovian deterioration models of bridge decks [J]. JournalofBridge Engineering 2003,8(6)..
[2] 刘建民.随机过程[M].西安：西北大学出版社，2004,2
[3] JTG H11-2004.公路桥涵养护规范[S].2004
[4]曾彩勤,徐重才.桥梁适应性评价方法探讨[J]公路与汽运,2006,115(增刊):129-130.
[5]刘文奇.均衡函数及其在变权综合中的应用[J].系统工程理论与实践，1997,17(4):58-64.
[6]姚康祖.路面管理系统[M].北京：人民交通出版社，1993
[7]吕颖钊.在役桥梁承载力模糊可靠性的马尔科夫预测[J].长安大学学报，2005（4）