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《数学课程标准（实验稿）》中要求学生“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点”。数学实验教学是让学生通过自己动手操作，进行探究、发现、思考、分析、归纳等思维活动，最后获得概念、理解或解决问题的一种教学过程。在数学教学实验中学生手脑并用，获得直接的感性认识，能最大程度地发挥其主观能动性，有利于右脑的开发，并能由此引发奇思妙想，产生大胆的猜想和创新，使得所学的知识真正地转化为自身的知识结构。
作为数学教学实验中的一种——操作性数学实验教学是通过对一些工具、材料的动手操作，创设问题情境，引导学生自主探究数学知识、检验数学结论（或假设）的教学活动。这种实验常适用于与几何图形相关的知识、定理、公式的探求或验证。
本文结合笔者在教学中对操作性数学实验教学设计的探索，谈自己的一家之见。
一、操作性数学实验的设计应有直观意识
数学概念或理论的抽象性，通常都有某种“直观”的想法为背景，作为教师，就应该通过数学实验，把这种直观的背景显现出来，帮助学生抓住其本质，了解它的变形和发展及与其他问题的联系。
教“轴对称图形”时，组织学生进行折纸、剪纸实验，学生能折、剪出多种多样的美丽的对称图形，看着自己的作品，学生就自然而然地接受了概念。三角形内心、外心和重心的教学中用半透明绘图纸上的三角形折叠是经验丰富的教师常做的。学生通过特定的数学实验，可以直观地了解非常抽象的数学内容，了解它的应用背景，化枯燥为有趣。在《数学课程标准（实验稿）》中对计算器的使用更为提倡，在操作性数学实验的设计时要充分发挥计算器这一工具的作用，通过实验让一些教学难点变得直观易懂。
案例1：在《实数》教学中设计这样一个实验:如果你是布料销售店的售货员，假设我要买剪 米布，你将会给我剪多少比较合适？学生能从图（1）中估计 在1与2之间。
引导学生借助计算器进行合作学习。
（1）根据上节课1＜ ＜2，确定=1.…
（2）确定小数点后第一位数。
计算1.12、1.22、1.32、1.42、1.52……得出1.42=1.96＜2，1.52=2.25＞2，就不必再算下去了，很明显1.4＜ ＜1.5。也有学生可根据以往经验马上由1.42=1.96＜2， 1.52=2.25＞2，得到1.4＜ ＜1.5。根据以上得：=1.4…
（3）再求下一位计算1.412、1.422等，得出 =1.41…到此为止，解决了上面问题，大约剪1.4米或1.41米就可以了。
以上得到的1.4，1.41仅是近似值，究竟是多少？在解决此问题后，又出现了新疑点。这样激发学生沿着以上思路继续合作学习，探索特征。再问：通过以上的探索同学们有什么感受？体验到了什么？学生能在对有理数的已有认知的基础上，知道确实不同于前面所学的有理数，总结的特征：无限、不循环，得到无理数的概念。让学生体验用有理数估计一个无理数的大致范围的过程，掌握“逐次逼近法”这种对数进行分析、猜测、探索的方法。
从上述案例中，我们可以感受到操作性数学实验的设计能直观地反映问题的本质，使学生理解其中的因果关系，看到过程中蕴涵的数学思想和方法。
二、操作性数学实验的设计应有整体目标意识
操作性数学实验的设计是否有利于教学目标的实现?这是实验设计时需最先作出判断的。如果把教学重点放在具体问题上，不注意教学整体目标的实现，不考虑其类型和典范，只在教本上添枝加叶，不抓住本质，把一些与教学内容有所关联的问题不嫌杂多囊括给出，结果必然是教材越来越厚，学生学习负担越来越重。设计操作性数学实验，旨在让学生在课堂上从事数学活动，体验、理解数学，构建数学思想和数学方法。因此设计操作性数学实验要进行分析，力求设计的操作性数学实验具有典范性和普遍性，可举一反三。
案例2：有一个由铁丝折成的立方体框，立方体的边长为2cm，在框的A处有一只蚂蚁，在B处有一粒糖，蚂蚁想吃到糖，所走的最短路程是多少cm?
析：学生很容易解决本题目，4cm，有2条路线。
师：其他条件不变，把B处的糖换成C处，又该如何？
师：那将立方体铁丝框改成立方体纸盒，上述两题结论又该如何？
师：请同学们将事先准备好的立方体纸盒，沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，你能得到怎样的图形？请同学们展示一下。
析：请4位学生出示（最好有意挑选4个不同展开图作为样本），然后给出立方体的表面展开图的定义，将立方体沿某些棱剪开后铺平，且六个面连在一起，这样的图形叫立方体的表面展开图。
合作交流:
师：以学习小组为单位，得出一个立方体的表面展开图，共有几种这样情况？
析：学生交流后，请小组代表总结本组情况，老师对各种情况进行总结，对不能得出的情况作演示，并总结出11种情况。
师：1.立方体相对两个面在其展开图中的位置有何关系？2.立方体的几种展开图有何关系？
解决引入问题。
析：只要将1平面和3平面展开，根据两点之间线段最短，可知从A到B的最短路程就是线段AB= cm，则从A点到C点的最短路程就是线段AC= cm。本题还可以变换A，B，C的位置，从而使学生达到熟练的程度。
一个简单的立方体纸盒就将直棱柱的表面展开图一课内容联串贯通，一个实验就得到如此众多的结果，令学生兴奋不已。这些结果中不但有表面展开图的不同情况，还有空间两点的距离，在取得这些结果的过程中，思维的多向性、灵活性显露得淋漓尽致。学生不但可以巩固知识，培养技能，而且更可以获得表现自己创造力的机会。
三、操作性数学实验的设计应有探究意识
在操作性数学实验的设计时要注重知识的发生过程，与学生交流分析问题、解决问题的方法和步骤，让学生在探究中掌握知识，培养能力。在探究活动中有利于培养学生对数学的情感，有利于培养学生的自主意识和合作精神，促进学生的全面发展。因此，在教学中教师要创设实验，制造悬念，组织交流讨论，鼓励探索。
案例3：你能把一张三角形纸片剪成两个三角形，使它们恰好相似吗？以一个贴近学生生活的问题引入，激发学生的学习兴趣。问题引发学生两点思考：一是能不能剪；二是若能的话，则如何剪。学生一般会先从特殊三角形入手，能迅速给出答案，等腰三角形和直角三角形能分割。
是否还有其他的三角形也可以分割呢？
其他的三角形，为什么不能分割成功呢？
学生经过操作、思考归纳小结：一个三角形能否剪成两个相似的三角形，取决于原三角形的形状：①若原三角形是等腰三角形，则可以剪，沿底边上的高线剪即可；②若原三角形是直角三角形，也可以剪，沿斜边上的高线剪即可；③其他三角形，则剪不成；④可以继续剪下去，可剪成任意多个相似三角形。
在上述问题的探究过程中，体现了特殊与一般、分类讨论等数学思想方法。
问题2：请设计三种不同的分法，将如图所示的直角三角形分割成四个小三角形，使得每个小三角形与原直角三角形都相似（画图工具不限，要求分割线段，标出能够说明分法的必要记号，不要求证明，不要求定出画法）。注：只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法。
教师借学生归纳小结中的第4点提出问题2，显得自然、流畅。学生通过同桌讨论、动手操作得出结论。
指导学生利用案例3的结论，编一个将等腰三角形分割成若干个小三角形，使它们都与原三角形相似这样的问题。学生对自编的问题作解答，会得到如图几种比较常见的画法。
教师引导学生进一步转化问题，将一个三角形的分割，转化为两个三角形的分割问题。
问题3：如下图，已知在两个直角三角形△ABC和△DEF中，∠C＝∠D＝90°，∠A＜∠E，∠B＞∠F。请将它们各自分割成两个小三角形，使得△ABC中分成的两个小三角形与△EDF中分成的两个小三角形相似，并写出相等的角。你能想出多种画法吗？
此时，教师不失时机地引导学生透过事物的表面现象，洞察事物的本质。学生通过观察，便发现两个三角形可分割两个小三角形，并分别相似的条件是两个原三角形必有一个内角相等。从而学生很快会编出如下的问题：
已知，两个锐角三角形△ABC和△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，∠D＝70°，∠E＝30°，请将它们各自分割成两个小三角形，使得△ABC中分成的两个小三角形与△EDF中分成的两个小三角形相似，并写出相等的角。你能想出多种画法吗？
学生兴趣盎然，热情高涨，探求之心再次被激发。
总之，设计操作性数学实验时要直观，从整体上把握，把目标指向学生的创新能力、关注现实的意识和合作精神的培养，而不仅仅是知识的传播和掌握；强调“从做实验中学”，力图通过学生“做实验”的主动探究过程来培养他们的创新精神、动手能力和解决问题的能力，更有利于改变学生学习数学的方式。■
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
作为数学教学实验中的一种——操作性数学实验教学是通过对一些工具、材料的动手操作，创设问题情境，引导学生自主探究数学知识、检验数学结论（或假设）的教学活动。这种实验常适用于与几何图形相关的知识、定理、公式的探求或验证。
本文结合笔者在教学中对操作性数学实验教学设计的探索，谈自己的一家之见。
一、操作性数学实验的设计应有直观意识
数学概念或理论的抽象性，通常都有某种“直观”的想法为背景，作为教师，就应该通过数学实验，把这种直观的背景显现出来，帮助学生抓住其本质，了解它的变形和发展及与其他问题的联系。
教“轴对称图形”时，组织学生进行折纸、剪纸实验，学生能折、剪出多种多样的美丽的对称图形，看着自己的作品，学生就自然而然地接受了概念。三角形内心、外心和重心的教学中用半透明绘图纸上的三角形折叠是经验丰富的教师常做的。学生通过特定的数学实验，可以直观地了解非常抽象的数学内容，了解它的应用背景，化枯燥为有趣。在《数学课程标准（实验稿）》中对计算器的使用更为提倡，在操作性数学实验的设计时要充分发挥计算器这一工具的作用，通过实验让一些教学难点变得直观易懂。
案例1：在《实数》教学中设计这样一个实验:如果你是布料销售店的售货员，假设我要买剪 米布，你将会给我剪多少比较合适？学生能从图（1）中估计 在1与2之间。
引导学生借助计算器进行合作学习。
（1）根据上节课1＜ ＜2，确定=1.…
（2）确定小数点后第一位数。
计算1.12、1.22、1.32、1.42、1.52……得出1.42=1.96＜2，1.52=2.25＞2，就不必再算下去了，很明显1.4＜ ＜1.5。也有学生可根据以往经验马上由1.42=1.96＜2， 1.52=2.25＞2，得到1.4＜ ＜1.5。根据以上得：=1.4…
（3）再求下一位计算1.412、1.422等，得出 =1.41…到此为止，解决了上面问题，大约剪1.4米或1.41米就可以了。
以上得到的1.4，1.41仅是近似值，究竟是多少？在解决此问题后，又出现了新疑点。这样激发学生沿着以上思路继续合作学习，探索特征。再问：通过以上的探索同学们有什么感受？体验到了什么？学生能在对有理数的已有认知的基础上，知道确实不同于前面所学的有理数，总结的特征：无限、不循环，得到无理数的概念。让学生体验用有理数估计一个无理数的大致范围的过程，掌握“逐次逼近法”这种对数进行分析、猜测、探索的方法。
从上述案例中，我们可以感受到操作性数学实验的设计能直观地反映问题的本质，使学生理解其中的因果关系，看到过程中蕴涵的数学思想和方法。
二、操作性数学实验的设计应有整体目标意识
操作性数学实验的设计是否有利于教学目标的实现?这是实验设计时需最先作出判断的。如果把教学重点放在具体问题上，不注意教学整体目标的实现，不考虑其类型和典范，只在教本上添枝加叶，不抓住本质，把一些与教学内容有所关联的问题不嫌杂多囊括给出，结果必然是教材越来越厚，学生学习负担越来越重。设计操作性数学实验，旨在让学生在课堂上从事数学活动，体验、理解数学，构建数学思想和数学方法。因此设计操作性数学实验要进行分析，力求设计的操作性数学实验具有典范性和普遍性，可举一反三。
案例2：有一个由铁丝折成的立方体框，立方体的边长为2cm，在框的A处有一只蚂蚁，在B处有一粒糖，蚂蚁想吃到糖，所走的最短路程是多少cm?
析：学生很容易解决本题目，4cm，有2条路线。
师：其他条件不变，把B处的糖换成C处，又该如何？
师：那将立方体铁丝框改成立方体纸盒，上述两题结论又该如何？
师：请同学们将事先准备好的立方体纸盒，沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，你能得到怎样的图形？请同学们展示一下。
析：请4位学生出示（最好有意挑选4个不同展开图作为样本），然后给出立方体的表面展开图的定义，将立方体沿某些棱剪开后铺平，且六个面连在一起，这样的图形叫立方体的表面展开图。
合作交流:
师：以学习小组为单位，得出一个立方体的表面展开图，共有几种这样情况？
析：学生交流后，请小组代表总结本组情况，老师对各种情况进行总结，对不能得出的情况作演示，并总结出11种情况。
师：1.立方体相对两个面在其展开图中的位置有何关系？2.立方体的几种展开图有何关系？
解决引入问题。
析：只要将1平面和3平面展开，根据两点之间线段最短，可知从A到B的最短路程就是线段AB= cm，则从A点到C点的最短路程就是线段AC= cm。本题还可以变换A，B，C的位置，从而使学生达到熟练的程度。
一个简单的立方体纸盒就将直棱柱的表面展开图一课内容联串贯通，一个实验就得到如此众多的结果，令学生兴奋不已。这些结果中不但有表面展开图的不同情况，还有空间两点的距离，在取得这些结果的过程中，思维的多向性、灵活性显露得淋漓尽致。学生不但可以巩固知识，培养技能，而且更可以获得表现自己创造力的机会。
三、操作性数学实验的设计应有探究意识
在操作性数学实验的设计时要注重知识的发生过程，与学生交流分析问题、解决问题的方法和步骤，让学生在探究中掌握知识，培养能力。在探究活动中有利于培养学生对数学的情感，有利于培养学生的自主意识和合作精神，促进学生的全面发展。因此，在教学中教师要创设实验，制造悬念，组织交流讨论，鼓励探索。
案例3：你能把一张三角形纸片剪成两个三角形，使它们恰好相似吗？以一个贴近学生生活的问题引入，激发学生的学习兴趣。问题引发学生两点思考：一是能不能剪；二是若能的话，则如何剪。学生一般会先从特殊三角形入手，能迅速给出答案，等腰三角形和直角三角形能分割。
是否还有其他的三角形也可以分割呢？
其他的三角形，为什么不能分割成功呢？
学生经过操作、思考归纳小结：一个三角形能否剪成两个相似的三角形，取决于原三角形的形状：①若原三角形是等腰三角形，则可以剪，沿底边上的高线剪即可；②若原三角形是直角三角形，也可以剪，沿斜边上的高线剪即可；③其他三角形，则剪不成；④可以继续剪下去，可剪成任意多个相似三角形。
在上述问题的探究过程中，体现了特殊与一般、分类讨论等数学思想方法。
问题2：请设计三种不同的分法，将如图所示的直角三角形分割成四个小三角形，使得每个小三角形与原直角三角形都相似（画图工具不限，要求分割线段，标出能够说明分法的必要记号，不要求证明，不要求定出画法）。注：只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法。
教师借学生归纳小结中的第4点提出问题2，显得自然、流畅。学生通过同桌讨论、动手操作得出结论。
指导学生利用案例3的结论，编一个将等腰三角形分割成若干个小三角形，使它们都与原三角形相似这样的问题。学生对自编的问题作解答，会得到如图几种比较常见的画法。
教师引导学生进一步转化问题，将一个三角形的分割，转化为两个三角形的分割问题。
问题3：如下图，已知在两个直角三角形△ABC和△DEF中，∠C＝∠D＝90°，∠A＜∠E，∠B＞∠F。请将它们各自分割成两个小三角形，使得△ABC中分成的两个小三角形与△EDF中分成的两个小三角形相似，并写出相等的角。你能想出多种画法吗？
此时，教师不失时机地引导学生透过事物的表面现象，洞察事物的本质。学生通过观察，便发现两个三角形可分割两个小三角形，并分别相似的条件是两个原三角形必有一个内角相等。从而学生很快会编出如下的问题：
已知，两个锐角三角形△ABC和△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，∠D＝70°，∠E＝30°，请将它们各自分割成两个小三角形，使得△ABC中分成的两个小三角形与△EDF中分成的两个小三角形相似，并写出相等的角。你能想出多种画法吗？
学生兴趣盎然，热情高涨，探求之心再次被激发。
总之，设计操作性数学实验时要直观，从整体上把握，把目标指向学生的创新能力、关注现实的意识和合作精神的培养，而不仅仅是知识的传播和掌握；强调“从做实验中学”，力图通过学生“做实验”的主动探究过程来培养他们的创新精神、动手能力和解决问题的能力，更有利于改变学生学习数学的方式。■
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”