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[摘 要] 推与拉是一种常见的力学现象，在日常生活中人们也经常遇到。从早期的人力车、畜力车到爬陡坡用的双头机车，人们对推与拉哪个更省力都有亲身的体验。有趣的是，在教育的不同阶段，关于推与拉省力的问题有着不同的解释。在《推动手推车的力学分析》中，试图把理论分析与日常经验相结合，得出一个较为合理的解释。通过力学中的整体法，《推动手推车的力学分析》提出了在日常生活中“推比较省力”的观点。通过建立模型，进一步提出了在设定条件下“拉与推所用力相等”的观点。“拉比较省力”的观点，是初等教育背景下易得出的结论。“无法判断”拉与推哪种方法省力，是一个高等教育之上的问题，《推动手推车的力学分析》并不能找出实例，没有得出结论。
[关 键 词] 摩擦力；力学模型；连接体
[中图分类号] G642 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2018）13-0137-03
一、引言
2011年3月，笔者参加了“2011年第二十一届全国初中应用物理竞赛”。第一题是单项选择题，其中第2小题为工人师傅用手推手运送纯净水的图片（图1），对这两种方法中哪种方法比较省力的判断，下列说法中正确的是（ ）
A.图甲的方法比较省力
B.图乙的方法比较省力
C.图甲和图乙两种方法所用力的大小相等
D.无法判断
笔者选择了B，而竞赛后公布的标准答案是A。当时，参加完竞赛考试，回家后讨论了拉与推的问题；现在，笔者于大学四年级寒假期间，对拉与推的问题做了尽可能系统的分析，形成了更为全面的初步结论。
二、基于克服摩擦力的“拉的方法省力”
形成拉的方法省力的认识，肇始于对摩擦力的克服，需要有一个向上的分力。从向上分力有助于克服摩擦力的判断，得出拉的方法省力的结论。（图2）
三、基于克服阻力矩的“推的方法省力”
在使手推车运动的问题上，不是需要克服摩擦力，无论静摩擦力，还是动摩擦力；而是需要克服滚动摩擦，即需要克服滚动形成的阻力，克服阻碍手推车小轮滚动的力矩。使手推车运动的力大小，由阻力矩决定，不是由静摩擦力或动摩擦力决定。
同时，省力是对人而言，在使手推车运动的过程中，工人师傅付出的力的大小决定省力与否。在施加力于手推车之上时，存在重力问题。或者是手推车的重力由人承担，这相当于拉的方法；或者是人的重力由手推车承担，这相当于推的方法。判断拉的方法是否省力，需要比较手推车与人这两个相连的系统，看哪一个需要克服阻力的力更小。
一般认为，人的行走相当于多边形的滚动，步幅的一半相当于阻力矩。从工人师傅用手推车运送纯净水的情景看，手推车是运动在起伏较小的水泥（或沥青）路面上。手推车的阻力矩小于相当于步幅一半的人的阻力矩。得出手推车运动需要克服阻力的力更小，得出人的重力由手推車承担更省力，得出推的方法更省力。反之，得出人需要克服阻力的力更大，得出手推车的重力由人承担更费力，得出拉的方法更费力。
极端情况为，拉着手推车运动，向上角度增大，直到完全提起手推车，这相当于扛着手推车运动。推着手推车的极端情况为向下角度增大，直到完全压在手推车上，这相当于坐在手推车上脚蹬着地运动。
四、基于重心无起伏模型的“拉与推所用力相等”
在理想状态下，建立拉与推所用力相等的模型。
设路面无起伏，或者说起伏趋于无穷小。
对手推车，设定阻力矩为零，或者说趋于无穷小。得出重心运动轨迹与路面平行，得出手推车可以无阻力地运动。
对人的行走模型，具体如下：
（一）多边形模型
一般认为，人的行走相当于多边形的滚动。腿部被设定为单一刚杆。得出步幅的一半相当于阻力矩，阻力矩不为零，并较大。
（二）两截刚杆腿部模型
行走的多边形模型，其重心起伏较大，与实际行走情况差距较大，阻力矩太大。模拟实际行走，设置腿部为两截刚杆。以此平缓多边形模型的重心起伏，达到降低阻力矩的目的。
此两截刚杆腿部模型（设两截长度相等）的行走流程设定为：（1）起步。两大腿平行，与重力夹角30°；左小腿与大腿成直线，右小腿与左小腿夹角60°。重心在右腿上。（2）重心移动。重心向前移动，腿部改变夹角。直到左大腿与重力夹角30°，小腿与重力夹角30°；右腿成直线，与重力夹角30°。重心在左腿上。（3）迈步。右小腿向前迈步，与左小腿夹角60°。重心仍在左腿上。与起步对称。（4）重心移动。同（2），其中左腿变为右腿。（5）迈步。同（3），其中右腿变为左腿。
至此，经（2）重心移动—（3）迈步—（4）重心移动—（5）迈步，形成一个行走周期。接着可以继续此周期。（1）起步与迈步对接；行走终止可中止于一个周期的任何一个环节，最后还原为起步状态。
该两截刚杆腿部模型的局限性，一是在重心移动环节，没有设定“腿部改变夹角”的角度，无法避免重心起伏；二是在迈步环节，因为是简化模型，没有模拟人下肢的脚踝，迈步中表现为绕髋关节向外划弧后着地（图3）。
（三）连杆机构模型及拉与推手推车所用力相等
为克服两截刚杆腿部模型的局限性，建立连杆机构模型。
1.连杆机构模型的建立
两腿分别使用一套波舍利直线运动机构（Peaucellier-Lipkin linkage），或者霍肯直线运动机构（Hoeckens Linkage）。一腿的两个端点固定在躯干上，另一腿对称固定；轨迹为直线的点视为脚（图4）。
2.连杆机构模型的行走设定及效果
两腿交替行走，假设重心横向移动为零，最大步幅是以轨迹为直线的点的极限，步幅可以是极限内的任意长度，不限定每一步幅长度。 在以上设定下，连杆机构模型重心运动轨迹与路面平行，得出连杆机构模型的阻力矩为零，得出连杆机构模型可以无阻力地运动。
3.连杆机构模型推手推车的运动状况分析
（1）连杆机构模型增设手臂，推手推车时，设为单一刚杆，手掌摩擦力无穷大，单一刚杆可以从任意角度过手推车质心施力；拉手推车时，设为绳，绳可以从任意角度过手推车质心施力；无论推还是拉，连杆机构模型的手臂均具有单一刚杆及绳两个功能。（2）设手推车质量为m；连杆机构模型质量為M，自由落体加速度为g。对手推车所施的力为F，连杆机构模型脚部静摩擦力的反作用力为Ffoot，视为脚发力。手推车重力为Fgm，连杆机构模型重力为FgM。（3）对施力角度，建立平面直角坐标系XOY，设O为手推车质心，以X轴正向为0度，计算推车夹角θ。
在以上设的情况下，连杆机构模型推手推车的运动状况为：
Ffoot=Fcosθ （1.1）
Fcosθ=（M+m）a （1.2）
Ffoot==（M+m）a （1.3）
（1.1）表明脚部发力，与连杆机构模型推力Fcosθ相等。（1.2）表明M及m由连杆机构模型、手推车分别的承担力为多少，不影响运动状况；M与m之和作为确定值，共同影响影响运动状况。（1.3）表明脚部发力Ffoot，决定M+m的加速度a。
所以，发力大小及方向由Ffoot决定，F及θ只是传导机构，不改变Ffoot发力的大小及方向；Ffoot影响M+m的运动状况，决定a的大小。
4.连杆机构模型推手推车的省力状况说明
省力与否，决定于一定的Ffoot之下a的大小。前面已经有结论Ffoot=（M+m）a，一定的Ffoot产生确定的a，二者成正比。F及θ只是传导机构，不改变Ffoot发力的大小及方向，与省力与否无关。
区分推力角度不同的情况，具体说明如下：
（1）在第一象限，推力指向手推车质心O，与水平面呈一定角度θ（如30度）推车。部分M由手推车承担。（2）θ顺时针转，直到X轴正向，推力指向手推车质心O，以0度推车。Fcos0=（M+m）a，F=（M+m）a，a与F成正比，F对a的影响达到最大值，最省力。（3）θ逆时针转，直到90度。相当于坐。（4）θ逆时针转，过0度，反方向运动。（5）θ顺时针转，过90度，相当于拉。（6）θ顺时针转，过90度，直到180度。相当于扛。（7）θ顺时针转，过180度，反方向运动。（8）θ顺时针转，继续过180度，直到270度，反方向运动。同90度，但方向相反。（9）θ顺时针转，继续过270度，与（4）相同。
以上为全方位（角度）360度。
以上推改为拉，二者的结果是一样的。
俗话说：“背着抱着一般沉。”本文提出，在设定条件下，连杆机构模型拉与推手推车所用力相等，可推出一个匪夷所思的结论：“扛着坐着一般沉。”
实际中，列车在铁轨上运行，重心起伏较为平缓，机车施力于车辆，拉与推区别不大。
五、初步结论及未尽问题
对第一种情况“拉的方法省力”，本文简单明确了基于克服摩擦力，形成“拉的方法省力”的结论。对于第二种情况“推的方法省力”，本文分层次提出了重点。首先明确了阻力矩决定手推车运动的力。之后提出是否省力，需要比较手推车与人两个系统，看哪一个需要克服阻力的力更小。最后列举极端情况，扛着手推车与坐着手推车作比较。对第三种情况“拉与推所用力相等”，本文作了较为详细的分析。一方面说明在理想状态下，手推车可以无阻力地运动。另一方面，分析了人的行走模型，利用波舍利直线运动机构（及霍肯直线运动机构）建立了连杆机构模型，得出在设定条件下，拉与推手推车所用力相等的结论。最后，同样列举极端情况，机车在铁轨上拉与推车辆区别不大。对第四种情况“无法判断”拉与推哪种方法省力，笔者还不能提出实例，没有能够给出结论。
个人能力有限，此研究还有很多需要改进完善之处。如果将此问题展开研究是十分复杂的，例如，动摩擦如何向静摩擦过渡，以及影响动摩擦与静摩擦的参数有何关系，并且人所施加的力对它们有何影响，双足行走模型与现实的差别，加上脚踝后施力方式的改变，等等。
参考文献：
[1]哈尔滨工业大学理论力学教研室.理论力学[M].7版.北京：高等教育出版社，2009.
[2]李红征.小型双足机器人的行走研究[D].中国科学技术大学，2008.
[3]顾森.思考的乐趣[M].北京：人民邮电出版社，2012.
[关 键 词] 摩擦力；力学模型；连接体
[中图分类号] G642 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2018）13-0137-03
一、引言
2011年3月，笔者参加了“2011年第二十一届全国初中应用物理竞赛”。第一题是单项选择题，其中第2小题为工人师傅用手推手运送纯净水的图片（图1），对这两种方法中哪种方法比较省力的判断，下列说法中正确的是（ ）
A.图甲的方法比较省力
B.图乙的方法比较省力
C.图甲和图乙两种方法所用力的大小相等
D.无法判断
笔者选择了B，而竞赛后公布的标准答案是A。当时，参加完竞赛考试，回家后讨论了拉与推的问题；现在，笔者于大学四年级寒假期间，对拉与推的问题做了尽可能系统的分析，形成了更为全面的初步结论。
二、基于克服摩擦力的“拉的方法省力”
形成拉的方法省力的认识，肇始于对摩擦力的克服，需要有一个向上的分力。从向上分力有助于克服摩擦力的判断，得出拉的方法省力的结论。（图2）
三、基于克服阻力矩的“推的方法省力”
在使手推车运动的问题上，不是需要克服摩擦力，无论静摩擦力，还是动摩擦力；而是需要克服滚动摩擦，即需要克服滚动形成的阻力，克服阻碍手推车小轮滚动的力矩。使手推车运动的力大小，由阻力矩决定，不是由静摩擦力或动摩擦力决定。
同时，省力是对人而言，在使手推车运动的过程中，工人师傅付出的力的大小决定省力与否。在施加力于手推车之上时，存在重力问题。或者是手推车的重力由人承担，这相当于拉的方法；或者是人的重力由手推车承担，这相当于推的方法。判断拉的方法是否省力，需要比较手推车与人这两个相连的系统，看哪一个需要克服阻力的力更小。
一般认为，人的行走相当于多边形的滚动，步幅的一半相当于阻力矩。从工人师傅用手推车运送纯净水的情景看，手推车是运动在起伏较小的水泥（或沥青）路面上。手推车的阻力矩小于相当于步幅一半的人的阻力矩。得出手推车运动需要克服阻力的力更小，得出人的重力由手推車承担更省力，得出推的方法更省力。反之，得出人需要克服阻力的力更大，得出手推车的重力由人承担更费力，得出拉的方法更费力。
极端情况为，拉着手推车运动，向上角度增大，直到完全提起手推车，这相当于扛着手推车运动。推着手推车的极端情况为向下角度增大，直到完全压在手推车上，这相当于坐在手推车上脚蹬着地运动。
四、基于重心无起伏模型的“拉与推所用力相等”
在理想状态下，建立拉与推所用力相等的模型。
设路面无起伏，或者说起伏趋于无穷小。
对手推车，设定阻力矩为零，或者说趋于无穷小。得出重心运动轨迹与路面平行，得出手推车可以无阻力地运动。
对人的行走模型，具体如下：
（一）多边形模型
一般认为，人的行走相当于多边形的滚动。腿部被设定为单一刚杆。得出步幅的一半相当于阻力矩，阻力矩不为零，并较大。
（二）两截刚杆腿部模型
行走的多边形模型，其重心起伏较大，与实际行走情况差距较大，阻力矩太大。模拟实际行走，设置腿部为两截刚杆。以此平缓多边形模型的重心起伏，达到降低阻力矩的目的。
此两截刚杆腿部模型（设两截长度相等）的行走流程设定为：（1）起步。两大腿平行，与重力夹角30°；左小腿与大腿成直线，右小腿与左小腿夹角60°。重心在右腿上。（2）重心移动。重心向前移动，腿部改变夹角。直到左大腿与重力夹角30°，小腿与重力夹角30°；右腿成直线，与重力夹角30°。重心在左腿上。（3）迈步。右小腿向前迈步，与左小腿夹角60°。重心仍在左腿上。与起步对称。（4）重心移动。同（2），其中左腿变为右腿。（5）迈步。同（3），其中右腿变为左腿。
至此，经（2）重心移动—（3）迈步—（4）重心移动—（5）迈步，形成一个行走周期。接着可以继续此周期。（1）起步与迈步对接；行走终止可中止于一个周期的任何一个环节，最后还原为起步状态。
该两截刚杆腿部模型的局限性，一是在重心移动环节，没有设定“腿部改变夹角”的角度，无法避免重心起伏；二是在迈步环节，因为是简化模型，没有模拟人下肢的脚踝，迈步中表现为绕髋关节向外划弧后着地（图3）。
（三）连杆机构模型及拉与推手推车所用力相等
为克服两截刚杆腿部模型的局限性，建立连杆机构模型。
1.连杆机构模型的建立
两腿分别使用一套波舍利直线运动机构（Peaucellier-Lipkin linkage），或者霍肯直线运动机构（Hoeckens Linkage）。一腿的两个端点固定在躯干上，另一腿对称固定；轨迹为直线的点视为脚（图4）。
2.连杆机构模型的行走设定及效果
两腿交替行走，假设重心横向移动为零，最大步幅是以轨迹为直线的点的极限，步幅可以是极限内的任意长度，不限定每一步幅长度。 在以上设定下，连杆机构模型重心运动轨迹与路面平行，得出连杆机构模型的阻力矩为零，得出连杆机构模型可以无阻力地运动。
3.连杆机构模型推手推车的运动状况分析
（1）连杆机构模型增设手臂，推手推车时，设为单一刚杆，手掌摩擦力无穷大，单一刚杆可以从任意角度过手推车质心施力；拉手推车时，设为绳，绳可以从任意角度过手推车质心施力；无论推还是拉，连杆机构模型的手臂均具有单一刚杆及绳两个功能。（2）设手推车质量为m；连杆机构模型质量為M，自由落体加速度为g。对手推车所施的力为F，连杆机构模型脚部静摩擦力的反作用力为Ffoot，视为脚发力。手推车重力为Fgm，连杆机构模型重力为FgM。（3）对施力角度，建立平面直角坐标系XOY，设O为手推车质心，以X轴正向为0度，计算推车夹角θ。
在以上设的情况下，连杆机构模型推手推车的运动状况为：
Ffoot=Fcosθ （1.1）
Fcosθ=（M+m）a （1.2）
Ffoot==（M+m）a （1.3）
（1.1）表明脚部发力，与连杆机构模型推力Fcosθ相等。（1.2）表明M及m由连杆机构模型、手推车分别的承担力为多少，不影响运动状况；M与m之和作为确定值，共同影响影响运动状况。（1.3）表明脚部发力Ffoot，决定M+m的加速度a。
所以，发力大小及方向由Ffoot决定，F及θ只是传导机构，不改变Ffoot发力的大小及方向；Ffoot影响M+m的运动状况，决定a的大小。
4.连杆机构模型推手推车的省力状况说明
省力与否，决定于一定的Ffoot之下a的大小。前面已经有结论Ffoot=（M+m）a，一定的Ffoot产生确定的a，二者成正比。F及θ只是传导机构，不改变Ffoot发力的大小及方向，与省力与否无关。
区分推力角度不同的情况，具体说明如下：
（1）在第一象限，推力指向手推车质心O，与水平面呈一定角度θ（如30度）推车。部分M由手推车承担。（2）θ顺时针转，直到X轴正向，推力指向手推车质心O，以0度推车。Fcos0=（M+m）a，F=（M+m）a，a与F成正比，F对a的影响达到最大值，最省力。（3）θ逆时针转，直到90度。相当于坐。（4）θ逆时针转，过0度，反方向运动。（5）θ顺时针转，过90度，相当于拉。（6）θ顺时针转，过90度，直到180度。相当于扛。（7）θ顺时针转，过180度，反方向运动。（8）θ顺时针转，继续过180度，直到270度，反方向运动。同90度，但方向相反。（9）θ顺时针转，继续过270度，与（4）相同。
以上为全方位（角度）360度。
以上推改为拉，二者的结果是一样的。
俗话说：“背着抱着一般沉。”本文提出，在设定条件下，连杆机构模型拉与推手推车所用力相等，可推出一个匪夷所思的结论：“扛着坐着一般沉。”
实际中，列车在铁轨上运行，重心起伏较为平缓，机车施力于车辆，拉与推区别不大。
五、初步结论及未尽问题
对第一种情况“拉的方法省力”，本文简单明确了基于克服摩擦力，形成“拉的方法省力”的结论。对于第二种情况“推的方法省力”，本文分层次提出了重点。首先明确了阻力矩决定手推车运动的力。之后提出是否省力，需要比较手推车与人两个系统，看哪一个需要克服阻力的力更小。最后列举极端情况，扛着手推车与坐着手推车作比较。对第三种情况“拉与推所用力相等”，本文作了较为详细的分析。一方面说明在理想状态下，手推车可以无阻力地运动。另一方面，分析了人的行走模型，利用波舍利直线运动机构（及霍肯直线运动机构）建立了连杆机构模型，得出在设定条件下，拉与推手推车所用力相等的结论。最后，同样列举极端情况，机车在铁轨上拉与推车辆区别不大。对第四种情况“无法判断”拉与推哪种方法省力，笔者还不能提出实例，没有能够给出结论。
个人能力有限，此研究还有很多需要改进完善之处。如果将此问题展开研究是十分复杂的，例如，动摩擦如何向静摩擦过渡，以及影响动摩擦与静摩擦的参数有何关系，并且人所施加的力对它们有何影响，双足行走模型与现实的差别，加上脚踝后施力方式的改变，等等。
参考文献：
[1]哈尔滨工业大学理论力学教研室.理论力学[M].7版.北京：高等教育出版社，2009.
[2]李红征.小型双足机器人的行走研究[D].中国科学技术大学，2008.
[3]顾森.思考的乐趣[M].北京：人民邮电出版社，2012.