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第三宇宙速度,是指在地球表面上一物体所具有的足以克服地球和太阳引力束缚而飞离太阳系的速度。下面是我在物理教学过程中整理并总结出的第三宇宙速度的三种求法:
为求第三宇宙速度,不妨设想物体先克服地球引力束缚到达地球公转轨道,再克服太阳引力束缚飞离太阳系。先求出地球绕太阳公转的速度u,由牛顿第二定律,有:
=
由此得:u=
式中的MS、ME分别为太阳和地球的质量,RES公转轨道的半径,G为万有引力恒量。将有关数据代入,可得u=29.8km/s。
但是,当物体克服了地球引力束缚而在地球公转轨道上运行时,为能克服太阳引力束缚而飞出太阳系,它应具有比u更大的速度。
设此速度为v,物体质量为m,由机械能守恒有:
mv2-=0
由此得:v==u
接着求该物体在地球表面的发射速度,即第三宇宙速度v3。容易想到两种方法,一种方法是以太阳为参照系,物体在地球表面时,相对地球的速度为v3,相对太阳的速度就是v3+u,当其远离地球而在地球公转轨道上运行时,应具有速度,考虑到物体质量比地球小得多,在物体飞离地球过程中,地球速度几乎不变,且在该过程中,太阳引力与“物体—地球”体系速度垂直,从而不做功,则由该体系机械能守恒,有:
m(v3+u)2-=m(u)2
其中RE为地球半径。不难看出,式中=v12,这里v1=7.9km/s即第一宇宙速度,由此解得:
v3=-u=13.8km/s
另一种方法是以地球为参照系(更确切地说是以地球和物体的质心为参照系,可忽略太阳的影响,故为惯性系)。这时,物体在地球表面的速度为v3,当其远离地球而在地球公转轨道上运行时,它应具有的速度为(相对地球),在物体飞离地球过程中,地球的速度几乎都是零,动能不变,故由机械能守恒,有:
mv32-=m(-1)2u2
由此可得:
v3==16.6 km/s
以上两种方法求第三宇宙速度,分别以太阳和地球为参照系,太阳和地球两者都是惯性系,为什么得出的结果不同呢?哪一结果是正确的呢?
下面我们在从另一个角度对其分析:
首先明确第三宇宙速度是指从地球表面发射卫星逃逸太阳束缚力的最小速度。第一步先让卫星克服地球的束缚成为在地球公转轨道上运行的太阳的卫星,第二步再让其从地球公转轨道上克服太阳束缚力。
设太阳质量为MS,地球质量为ME,地球公转轨道半径为RES,地球半径为RE,已知:MS=1.99×1030kg,ME=5.8×1024kg,RES=1.5×1011m,RE=6.37×106m,G=6.67×10-11Nm2/kg2
第一步求地球公转速度为u:
G==
由此式得:u=29.8km/s
第二步求从地球轨道上克服太阳的束缚力的最小速度设为v3/,有:
mv3/2-=0
由此得:v3/==u
实际上,由于在地球上发射卫星,而地球自身有速度u,若发射速度方向与地球公转速度方向一致,则只需克服地球束缚力后,达到相对于地球u-u的速度,相对太阳便具有u的速度。设在地球上发射速度为v3,有:
mv32-=m[(-1)u]2
又由于v1==7.9km/s,代入数据有:
v3=16.6km/s
故第二种解法正确,那么第一种解法错在哪里呢?我认为如果以太阳为参照系,那么卫星在飞离地球时,克服地球引力做功就不止,举例说明:
如附图所示,水平面上有一辆小车,以v0=1m/s匀速行驶,小车内有一光滑桌面,桌面上有一小球,质量m=2kg,初速度v1=1m/s,在F=2N的外力作用下,经过一段时间速度为v2=2m/s(v1、v2均相对桌面),求外力F做的功。
若以车内的观察者为参照系有:
W=FL=mv22-mv12=3J
若以地面为参照系,则有:
v1/=2m/s,v2/=3m/s
力F做的功为:
W/=FL/=mv2/2-mv1/2=5J
究其原因,由于是低速问题,我们可以用伽利略变换加以说明:t=t/,于是有:=。
式中为以车内观察者为参照系的平均速度,=。
为以地面为参照系的平均速度=。
由此式可知:L/=L,故W/=W
对卫星而言也是一样的,当以太阳为参照系时,m(u+v3)2-=m(u)2。
式中第二部分就应修正,假设卫星匀减速远离地球,以地球为参照系时克服引力做功为:
W/=·L=
以太阳为参照系时,克服引力做功为:
W/=·L
同样采用伽利略变换有t=t/,即:=。
式中:=
在小范围内,地球的公转可近似地看作匀速直线运动,故:
=
代入数据有:W/=3.06W
这样文中等式就应为:
m(u+v3)2-3.06=m(u)2
代入数据仍有:v3=16.7km/s。
为求第三宇宙速度,不妨设想物体先克服地球引力束缚到达地球公转轨道,再克服太阳引力束缚飞离太阳系。先求出地球绕太阳公转的速度u,由牛顿第二定律,有:
=
由此得:u=
式中的MS、ME分别为太阳和地球的质量,RES公转轨道的半径,G为万有引力恒量。将有关数据代入,可得u=29.8km/s。
但是,当物体克服了地球引力束缚而在地球公转轨道上运行时,为能克服太阳引力束缚而飞出太阳系,它应具有比u更大的速度。
设此速度为v,物体质量为m,由机械能守恒有:
mv2-=0
由此得:v==u
接着求该物体在地球表面的发射速度,即第三宇宙速度v3。容易想到两种方法,一种方法是以太阳为参照系,物体在地球表面时,相对地球的速度为v3,相对太阳的速度就是v3+u,当其远离地球而在地球公转轨道上运行时,应具有速度,考虑到物体质量比地球小得多,在物体飞离地球过程中,地球速度几乎不变,且在该过程中,太阳引力与“物体—地球”体系速度垂直,从而不做功,则由该体系机械能守恒,有:
m(v3+u)2-=m(u)2
其中RE为地球半径。不难看出,式中=v12,这里v1=7.9km/s即第一宇宙速度,由此解得:
v3=-u=13.8km/s
另一种方法是以地球为参照系(更确切地说是以地球和物体的质心为参照系,可忽略太阳的影响,故为惯性系)。这时,物体在地球表面的速度为v3,当其远离地球而在地球公转轨道上运行时,它应具有的速度为(相对地球),在物体飞离地球过程中,地球的速度几乎都是零,动能不变,故由机械能守恒,有:
mv32-=m(-1)2u2
由此可得:
v3==16.6 km/s
以上两种方法求第三宇宙速度,分别以太阳和地球为参照系,太阳和地球两者都是惯性系,为什么得出的结果不同呢?哪一结果是正确的呢?
下面我们在从另一个角度对其分析:
首先明确第三宇宙速度是指从地球表面发射卫星逃逸太阳束缚力的最小速度。第一步先让卫星克服地球的束缚成为在地球公转轨道上运行的太阳的卫星,第二步再让其从地球公转轨道上克服太阳束缚力。
设太阳质量为MS,地球质量为ME,地球公转轨道半径为RES,地球半径为RE,已知:MS=1.99×1030kg,ME=5.8×1024kg,RES=1.5×1011m,RE=6.37×106m,G=6.67×10-11Nm2/kg2
第一步求地球公转速度为u:
G==
由此式得:u=29.8km/s
第二步求从地球轨道上克服太阳的束缚力的最小速度设为v3/,有:
mv3/2-=0
由此得:v3/==u
实际上,由于在地球上发射卫星,而地球自身有速度u,若发射速度方向与地球公转速度方向一致,则只需克服地球束缚力后,达到相对于地球u-u的速度,相对太阳便具有u的速度。设在地球上发射速度为v3,有:
mv32-=m[(-1)u]2
又由于v1==7.9km/s,代入数据有:
v3=16.6km/s
故第二种解法正确,那么第一种解法错在哪里呢?我认为如果以太阳为参照系,那么卫星在飞离地球时,克服地球引力做功就不止,举例说明:
如附图所示,水平面上有一辆小车,以v0=1m/s匀速行驶,小车内有一光滑桌面,桌面上有一小球,质量m=2kg,初速度v1=1m/s,在F=2N的外力作用下,经过一段时间速度为v2=2m/s(v1、v2均相对桌面),求外力F做的功。
若以车内的观察者为参照系有:
W=FL=mv22-mv12=3J
若以地面为参照系,则有:
v1/=2m/s,v2/=3m/s
力F做的功为:
W/=FL/=mv2/2-mv1/2=5J
究其原因,由于是低速问题,我们可以用伽利略变换加以说明:t=t/,于是有:=。
式中为以车内观察者为参照系的平均速度,=。
为以地面为参照系的平均速度=。
由此式可知:L/=L,故W/=W
对卫星而言也是一样的,当以太阳为参照系时,m(u+v3)2-=m(u)2。
式中第二部分就应修正,假设卫星匀减速远离地球,以地球为参照系时克服引力做功为:
W/=·L=
以太阳为参照系时,克服引力做功为:
W/=·L
同样采用伽利略变换有t=t/,即:=。
式中:=
在小范围内,地球的公转可近似地看作匀速直线运动,故:
=
代入数据有:W/=3.06W
这样文中等式就应为:
m(u+v3)2-3.06=m(u)2
代入数据仍有:v3=16.7km/s。