论文部分内容阅读
认识分数是小学数学教学的重要内容。从整数到分数，不仅是知识面的拓展，更是对数的概念的一次扩充。分数的构成与整数是相通的，基于对自然数的理解学习分数，能够促进学生对分数意义的深度理解。
一、分数是“分”出来的
自然数是对现实存在的实际数量的抽象，源于生活中的数（shǔ）数（shù）。分数与自然数一样，本质上是一个数，也可以看作是对量的结果的抽象。自然数表示整的数，计数单位“1”是被发现的;分数表示不整的数，分数单位几分之一是被发明的。
教学中，借助自然数“1”的细分感悟分数的产生，能让学生经历从整的数到不整的数的发展过程，体会分数的产生是数系发展的必然结果。在学习《分数的初步认识》时，笔者是这样引入的。
师：看到数字“1”，你脑中是怎样的一幅画面？
生1：一块月饼、一个苹果……
师：“1”是用来描述物体个数的最小单位。一个一个地数，累积到10个，我们把它们打个包，就产生了计数单位“十”。想一想，要产生一个比“1”更小的单位，可以怎么做？
生2：分一分。
師：如下图，我们就用这块月饼表示“1”来分一分。想一想：你得到了哪个单位？（学生操作后，教师选取以下4幅具有代表性的作品进行展示。）
师：这些分法都能得到一个新单位吗？
生3：我认为方法③不行，因为这两半大小不一样。
生4：我们在量物体长度时，是用一个标准去量，不能一会大，一会小。
师：你们的意思是单位应该是一个标准。如果以一大半为单位，两个一大半拼起来是一个怎样的月饼？
生5：月饼不圆了，月饼的左右两边会鼓起来。
师：如果以一小半为单位呢？
生6：组成的月饼比较瘪。
师：看来要想得到一个新单位还真不简单，怎样分才能得到一个比“1”小的新单位？
生7：要分成一样大的两块。
生8：分成一样大的四块也可以。
师：怎样分才能得到一样大的几块？为什么要这样分？
生9：要平均分，只有平均分，标准才一样，才能产生一个更小的单位。
师：去掉方法③，其余分法都创造了哪些单位？可以怎样记录这些单位？
……
平均分是学习分数概念的支撑点，也是分数产生的前提条件。笔者引导学生探究“怎样得到比1更小的单位”，让学生从不平均分的角度思考，直观看到平均分的价值，体会到将自然数“1”平均分就能产生比“1”小的单位。
二、分数是“数”出来的
分数的内部结构与自然数有相似性，都是计数单位的累积。自然数是“1”的依次计数、累加，分数是相同分数单位的依次计数、累加，二者异曲同工。数（shù）源于数（shǔ），分数能不能像自然数一样数出来呢？教学《分数的再认识》时，笔者设计了一系列数数活动，帮助学生进一步理解分数的意义，打通整数与分数的内部结构。
师：下面这些图的阴影部分可以用哪个分数来表示？
生1：图①③④都可以用[34]表示，图②可以用[23]表示。
师：数是数出来的，选一幅图数一数。
生2：我数的第一幅图，1，2，3，[34]。
生3：我认为不对，要以[14]为单位数，1个[14]，2个[14]，3个[14]。
生4：我这样数的，[14]，[24]，[34]。
师：你更欣赏哪种数法？以哪个数为单位数更准确？
生5：生2这样数，会让别人误认为数的是自然数，生3数的是分数单位的个数，我认为生4的数法最好。
师：看来数分数用分数单位来数更合适。谁来说一说图②？
生6：图②是以[13]为单位，[13]，[23]。
师：自然数可以把数与图一一对应着数，分数可以这样数吗？图①、图③、图④都可以用[34]表示，数的时候，有什么区别？
生7：图①和图④可以用一根手指数，图③要用两根指头数。
生8：图③的一份是两个，每次数都要对应两个。
师：以[14]为单位，数几次可以数到[34]？以[13]为单位，数几次可以数到[23]？
生9：数到[34]需要数三次，数到[23]需要两次。
生10：一个分数，分子是几就需要数几次。数[34]和数3是一样的，数三次就行了。
生11：分母是几，分数单位就是几分之一;分子是几，就有几个分数单位。
师：图3和图4涂色部分圆形的个数不一样，为什么都可以用[34]表示？
生12：[34]是四份中的三份，平均分四份，表示三份，都可以用[34]表示。
数（shǔ）数（shù）的本质就是数计数单位的个数。笔者引导学生像数自然数一样数分数，让学生逐渐感悟到：分数和整数一样，都是通过单位的计量与累加得到的，分数也要一个一个地累加，数几次就有几个这样的单位。不同的是，自然数的单位“1”对应的就是实物“1”，分数单位“[14]”对应不同的数（量）。
三、分数是“比”出来的
数具有双重含义，既可以表示具体数（量），也可以表示非具体数（率）。在整数的学习中，“倍的认识”让学生将认识数的眼光由“量”拓展到“率”。倍是“两个数之间倍比关系”的源头，当两数之比大于“1”时，用“倍”描述，当两数之比小于“1”时，用“几分之几”表示。在教学《求一个数是另一个数的几分之几》时，笔者进行了如下教学。
师：自然数3除了表示某种物品的数量是3外，还能表示什么？
生1：3倍。
师：这个3在这里表示一种关系。你们能画图表示这种关系吗？（展示学生作品） 师：如上图，第一行的圆和第二行的圆的数量都发生了变化，为什么还是3倍的关系？
生2：6÷2=3;3÷1=3。
生3：不论第一行圆的数量是多少，只要第二行的圆的数量有3个那么多，就是3倍。
师：那第一行圆的个数是第二行圆的个数的几倍？可以用哪个数来形容它们的关系？
生4：1÷3=[13];2÷6=[13]。
生5：第一行圆的个数比第二行圆的个数少，可以用[13]来表示它们的关系。
师：求一个数是另一个数的几倍，还可以怎样表达？
生6：几分之几。
师：表达两个数量的关系时，什么时候用“几倍”，什么时候用“几分之几”？
生7：大数除以小数的时候，结果大于1，就几倍;小数除以大数时，结果小于1，就用几分之几。
师：其实，分数和整数一样，有时表示数量，如6个圆，[13]个月饼，有时表示的是一种关系，如6个圆是2个圆的3倍，2个圆是6个圆的[13]。
师（课件出示）：下图可以用哪些分数来表示？想一想这个分数表示的是数量，还是一种关系？
生8：图①的涂色部分可以用[12]表示。
生9：[12]表示的是一种关系，1个圆是半个圆的2倍，半个圆是1个圆的[12]。
生10：[12]也可以表示数量，这个半圆就是[12]个圆。
师：图②的涂色部分呢？（学生为[12]和[14]这两个答案争论不休）你们说的[12]和[14]表示的是数量，还是一种关系？
生11：[12]表示半个圆和1个圆的关系，半个圆是1个圆的[12]。
生12：不对，这里有2个圆，是4份，半个圆占1份，图2要表达的是半个圆与两个圆的关系，是[12]。
师：用[12]来表示有没有合理的地方？
生13：可以说涂色部分是[12]个圆，用[12]表示数量。
笔者用“一个数是另一个数的几倍”引出“一个数是另一个数的几分之几”，将整数与分数意义的内涵做了关联，让学生感悟到：分数和整数一样，既可以表示实际数量的多少，又可以表示两个数量之间的倍比关系。
分数是一个非常抽象的概念，内涵丰富、表征多元。链接自然数的学习经验，让分数教学与学生的经验顺利接轨，突出了知识间的内在聯系，深化了学生对分数意义的本质理解。
（作者单位：宜城市窑湾小学）
责任编辑
一、分数是“分”出来的
自然数是对现实存在的实际数量的抽象，源于生活中的数（shǔ）数（shù）。分数与自然数一样，本质上是一个数，也可以看作是对量的结果的抽象。自然数表示整的数，计数单位“1”是被发现的;分数表示不整的数，分数单位几分之一是被发明的。
教学中，借助自然数“1”的细分感悟分数的产生，能让学生经历从整的数到不整的数的发展过程，体会分数的产生是数系发展的必然结果。在学习《分数的初步认识》时，笔者是这样引入的。
师：看到数字“1”，你脑中是怎样的一幅画面？
生1：一块月饼、一个苹果……
师：“1”是用来描述物体个数的最小单位。一个一个地数，累积到10个，我们把它们打个包，就产生了计数单位“十”。想一想，要产生一个比“1”更小的单位，可以怎么做？
生2：分一分。
師：如下图，我们就用这块月饼表示“1”来分一分。想一想：你得到了哪个单位？（学生操作后，教师选取以下4幅具有代表性的作品进行展示。）
师：这些分法都能得到一个新单位吗？
生3：我认为方法③不行，因为这两半大小不一样。
生4：我们在量物体长度时，是用一个标准去量，不能一会大，一会小。
师：你们的意思是单位应该是一个标准。如果以一大半为单位，两个一大半拼起来是一个怎样的月饼？
生5：月饼不圆了，月饼的左右两边会鼓起来。
师：如果以一小半为单位呢？
生6：组成的月饼比较瘪。
师：看来要想得到一个新单位还真不简单，怎样分才能得到一个比“1”小的新单位？
生7：要分成一样大的两块。
生8：分成一样大的四块也可以。
师：怎样分才能得到一样大的几块？为什么要这样分？
生9：要平均分，只有平均分，标准才一样，才能产生一个更小的单位。
师：去掉方法③，其余分法都创造了哪些单位？可以怎样记录这些单位？
……
平均分是学习分数概念的支撑点，也是分数产生的前提条件。笔者引导学生探究“怎样得到比1更小的单位”，让学生从不平均分的角度思考，直观看到平均分的价值，体会到将自然数“1”平均分就能产生比“1”小的单位。
二、分数是“数”出来的
分数的内部结构与自然数有相似性，都是计数单位的累积。自然数是“1”的依次计数、累加，分数是相同分数单位的依次计数、累加，二者异曲同工。数（shù）源于数（shǔ），分数能不能像自然数一样数出来呢？教学《分数的再认识》时，笔者设计了一系列数数活动，帮助学生进一步理解分数的意义，打通整数与分数的内部结构。
师：下面这些图的阴影部分可以用哪个分数来表示？
生1：图①③④都可以用[34]表示，图②可以用[23]表示。
师：数是数出来的，选一幅图数一数。
生2：我数的第一幅图，1，2，3，[34]。
生3：我认为不对，要以[14]为单位数，1个[14]，2个[14]，3个[14]。
生4：我这样数的，[14]，[24]，[34]。
师：你更欣赏哪种数法？以哪个数为单位数更准确？
生5：生2这样数，会让别人误认为数的是自然数，生3数的是分数单位的个数，我认为生4的数法最好。
师：看来数分数用分数单位来数更合适。谁来说一说图②？
生6：图②是以[13]为单位，[13]，[23]。
师：自然数可以把数与图一一对应着数，分数可以这样数吗？图①、图③、图④都可以用[34]表示，数的时候，有什么区别？
生7：图①和图④可以用一根手指数，图③要用两根指头数。
生8：图③的一份是两个，每次数都要对应两个。
师：以[14]为单位，数几次可以数到[34]？以[13]为单位，数几次可以数到[23]？
生9：数到[34]需要数三次，数到[23]需要两次。
生10：一个分数，分子是几就需要数几次。数[34]和数3是一样的，数三次就行了。
生11：分母是几，分数单位就是几分之一;分子是几，就有几个分数单位。
师：图3和图4涂色部分圆形的个数不一样，为什么都可以用[34]表示？
生12：[34]是四份中的三份，平均分四份，表示三份，都可以用[34]表示。
数（shǔ）数（shù）的本质就是数计数单位的个数。笔者引导学生像数自然数一样数分数，让学生逐渐感悟到：分数和整数一样，都是通过单位的计量与累加得到的，分数也要一个一个地累加，数几次就有几个这样的单位。不同的是，自然数的单位“1”对应的就是实物“1”，分数单位“[14]”对应不同的数（量）。
三、分数是“比”出来的
数具有双重含义，既可以表示具体数（量），也可以表示非具体数（率）。在整数的学习中，“倍的认识”让学生将认识数的眼光由“量”拓展到“率”。倍是“两个数之间倍比关系”的源头，当两数之比大于“1”时，用“倍”描述，当两数之比小于“1”时，用“几分之几”表示。在教学《求一个数是另一个数的几分之几》时，笔者进行了如下教学。
师：自然数3除了表示某种物品的数量是3外，还能表示什么？
生1：3倍。
师：这个3在这里表示一种关系。你们能画图表示这种关系吗？（展示学生作品） 师：如上图，第一行的圆和第二行的圆的数量都发生了变化，为什么还是3倍的关系？
生2：6÷2=3;3÷1=3。
生3：不论第一行圆的数量是多少，只要第二行的圆的数量有3个那么多，就是3倍。
师：那第一行圆的个数是第二行圆的个数的几倍？可以用哪个数来形容它们的关系？
生4：1÷3=[13];2÷6=[13]。
生5：第一行圆的个数比第二行圆的个数少，可以用[13]来表示它们的关系。
师：求一个数是另一个数的几倍，还可以怎样表达？
生6：几分之几。
师：表达两个数量的关系时，什么时候用“几倍”，什么时候用“几分之几”？
生7：大数除以小数的时候，结果大于1，就几倍;小数除以大数时，结果小于1，就用几分之几。
师：其实，分数和整数一样，有时表示数量，如6个圆，[13]个月饼，有时表示的是一种关系，如6个圆是2个圆的3倍，2个圆是6个圆的[13]。
师（课件出示）：下图可以用哪些分数来表示？想一想这个分数表示的是数量，还是一种关系？
生8：图①的涂色部分可以用[12]表示。
生9：[12]表示的是一种关系，1个圆是半个圆的2倍，半个圆是1个圆的[12]。
生10：[12]也可以表示数量，这个半圆就是[12]个圆。
师：图②的涂色部分呢？（学生为[12]和[14]这两个答案争论不休）你们说的[12]和[14]表示的是数量，还是一种关系？
生11：[12]表示半个圆和1个圆的关系，半个圆是1个圆的[12]。
生12：不对，这里有2个圆，是4份，半个圆占1份，图2要表达的是半个圆与两个圆的关系，是[12]。
师：用[12]来表示有没有合理的地方？
生13：可以说涂色部分是[12]个圆，用[12]表示数量。
笔者用“一个数是另一个数的几倍”引出“一个数是另一个数的几分之几”，将整数与分数意义的内涵做了关联，让学生感悟到：分数和整数一样，既可以表示实际数量的多少，又可以表示两个数量之间的倍比关系。
分数是一个非常抽象的概念，内涵丰富、表征多元。链接自然数的学习经验，让分数教学与学生的经验顺利接轨，突出了知识间的内在聯系，深化了学生对分数意义的本质理解。
（作者单位：宜城市窑湾小学）
责任编辑