论文部分内容阅读
〔关键词〕 数学教学；有理数；运算；性质符号；运算
符号；加法；减法
〔中图分类号〕 G633.6２〔文献标识码〕 A
〔文章编号〕 1004—0463（201１）０9（B）—0046—0２
“有理数的运算”是中学数学的重要教学内容之一，它是对学生在小学学过的“不带符号的整数、小数、分数的运算”的拓展。因此，如果不去揭示有理数与学生已学过的不带符号的数之间的关系、性质符号与运算符号之间的关系，而重新去建立一整套运算法则，往往就会使学生在学过有理数之后，反而把以前学过的简单问题复杂化了。因此，本人认为在教学有理数的意义和运算的过程中需要明确以下几个问题。
一、有理数和不带符号的数都是客观存在的
在自然界里，任何静止、平衡都是相对的，绝对运动和相对静止是客观存在的。我们知道，客观存在的事物必有一定的空间形式和数量关系，因此，物体的运动状态和静止状态也就需要用不同的量来表示。
小学生在低年级就会用尺子量长度，懂得物体的重量，认识货币，相应地认识表示这些量的整数、小数、分数，这些数就是我们用以和有理数区别开来的、不带符号的数（不为零的算术数）。而我们在表示位置的移动、运动的速度、相反意义的量时，需要将它们的方向（意义）和数量用一个“数”来表示，这才引进了“有理数”。
至于有理数的绝对值，它仅仅是用以表示数量相同而意义相反（或运动方向相反）的两个有理数的共同属性。也可以说它是用以连结有理数和仅仅表示它的数量部分的那个不带符号的数的纽带。
二、正和负是不可分割的两个方面
根据辩证唯物主义矛盾论的观点，没有正就无所谓负，同样没有负也就无所谓正。正和负是相互矛盾的不可分割的两个方面，各方都以对方为自己存在的前提。由于正数的性质符号可以略去不写，因此不带符号的数在形式上与正数可以相同，但绝不能因此而把小学生在学习有理数以前所认识并进行运算的数就看成是正数。因为正数是相对于负数而言的，在那时没有负数因而也就无所谓正数了。我们在表示有理数时，只要用负号就可以把表示相反意义的量的一方同另一方区别开来。
负号后面不仅可以跟随一个不带负号的数，也可以跟随一个有理数，它的意义就是这个有理数的相反数。例如，－a表示a的相反数，当a是正值时，－a是负值；而当a是负值时，－a却是正值。因而当解方程－x＝3时，x＝－3；而解方程－5x＝－10时，5x＝10，从而x＝2。也正是根据这个道理，我们就可以更容易理解两个量的比值或变化率是负值的意义。例如，多数的金属都是热胀冷缩，即温度增高时膨胀，而温度降低时收缩。我们把表示金属长度变化与温度变化的两个有理数的比，称为某种金属的线膨胀系数。显然，上述线膨胀系数都是正值，因为金属长度的变化与温度的方向相同。反之，对于有些金属（例如铅）是热缩冷胀，其长度的变化与温度的变化方向相反，因而它的线膨胀系数就是负值。同样，对于正比例函数y=kx，当k取负值时，它的意义就表示y和 x虽然在数量上成正比，但是变化的方向却是相反的。
三、整体与分解是研究有理数的有效方法
为了表达相反意义的量或者说运动着的量，人们用一个不带符号的数加上一个正号或负号，来分别表示这个量的数量和它的意义（或运动方向），这样就构成了一个有理数。前面的正号或负号称为有理数的性质符号，后面的不带符号的数称为有理数的绝对值。
我们在许多场合必须把有理数作为一个整体来研究。如，数的大小是建立在数轴上点的顺序基础上的，我们在数轴上表示一个有理数，就必须把它的两个组成部分作为一个整体来考虑，以确定它在数轴上的位置。例如，在比较有理数＋3和－5的大小时，就只有把＋3和－5都分别作为一个整体来研究时才能得到＋3＞－5的结论。又如，在合并同类项的过程中，当需要移动项的位置时，也必须把每一项的有理数都当作一个整体看待。例如，在2a-3b-5a-7b=2a-5a-3b-7b的运算过程，就是把－5a和-3b中的－5和－3都作为一个整体来考虑时才能交换这两项的位置。
但在有些场合下，必须把有理数分解成它的两个组成部分来研究。在通过分析有理数的加法和乘法的意义得出运算法则时，就是这种情况。例如，在求多余6斤和不足8斤合后的总和时，小学生早就知道是把多余和不足相互抵消后仍然不足2斤。把这个运算过程加以抽象，就是对两个有理数＋6和－8进行运算，因为它们的性质符号相反，我们就把这两个有理数的绝对值，即两个不带符号的数6和8进行减法运算得到8－6＝2，而这个运算结果2的性质符号应和那个绝对值较大的有理数－8具有相同的符号，因而结果是－2。
四、加法和减法的相互转化、有理数的运算要充分考虑其条件性和必要性
在四则运算中，加法和减法是乘法和除法的基础。而在有理数的运算中加法和减法都是客观存在的。因此，我们在运算过程中，把有理数的减法转化为加法，或把有理数的加法转化为减法来运算，转化的条件是把减数或者带负号的加数用它的相反数替代。这是因为加和减的意义是相反的，因而，在一个数用它的相反数代替的条件下，加法和减法可以相互转化。
但是，在运算过程中是否需要先转化再运算，还要考虑是否必要。我们如果把有理数表示的量还原成它的实际意义来进行运算，那么意义相同的两个量的加、减运算实际上就是早已学过的不带符号的数的加、减运算，因此，对于两个符号相同的有理数的加、减运算，实质上不存在加和减的互相转化问题。但对于异号的两个数的加、减运算，则必须转化成不带符号的数的加、减运算，或相同符号的加、减运算，才能算出结果。如，9＋（－7）＝9－7＝2，6－（－2）＝6＋2＝8，－3－7＝－3＋（－7）＝－10等都是这样的例子。
五、性质符号和运算符号具有同一性
在任何一个有理数的加、减运算的式子中，必然既有运算符号，又有性质符号，而且“加”和“正”都用“＋”号表示，“减”和“负”都用“－”号表示，这就说明了它们共处于一个统一体中。因为如果没有运算符号，那就不是一个运算式子，而如果没有性质符号，那就不成为有理数的运算了。又由于在用相反数代替原来的一个加数或减数的条件下，也就是在改变加数或减数的性质符号的条件下，加和减的运算可以相互转化。例如，3－5和－5－2既可以看成3减5和－5减2，又可看成3加－5和－5加－2，至于究竟把“＋”、“－”看作是运算符号还是性质符号，则完全根据需要来决定。通常看作运算符号时运算比较方便，但在合并同类项需要移动项的位置时，则看作性质符号比较方便。
编辑：刘立英
符号；加法；减法
〔中图分类号〕 G633.6２〔文献标识码〕 A
〔文章编号〕 1004—0463（201１）０9（B）—0046—0２
“有理数的运算”是中学数学的重要教学内容之一，它是对学生在小学学过的“不带符号的整数、小数、分数的运算”的拓展。因此，如果不去揭示有理数与学生已学过的不带符号的数之间的关系、性质符号与运算符号之间的关系，而重新去建立一整套运算法则，往往就会使学生在学过有理数之后，反而把以前学过的简单问题复杂化了。因此，本人认为在教学有理数的意义和运算的过程中需要明确以下几个问题。
一、有理数和不带符号的数都是客观存在的
在自然界里，任何静止、平衡都是相对的，绝对运动和相对静止是客观存在的。我们知道，客观存在的事物必有一定的空间形式和数量关系，因此，物体的运动状态和静止状态也就需要用不同的量来表示。
小学生在低年级就会用尺子量长度，懂得物体的重量，认识货币，相应地认识表示这些量的整数、小数、分数，这些数就是我们用以和有理数区别开来的、不带符号的数（不为零的算术数）。而我们在表示位置的移动、运动的速度、相反意义的量时，需要将它们的方向（意义）和数量用一个“数”来表示，这才引进了“有理数”。
至于有理数的绝对值，它仅仅是用以表示数量相同而意义相反（或运动方向相反）的两个有理数的共同属性。也可以说它是用以连结有理数和仅仅表示它的数量部分的那个不带符号的数的纽带。
二、正和负是不可分割的两个方面
根据辩证唯物主义矛盾论的观点，没有正就无所谓负，同样没有负也就无所谓正。正和负是相互矛盾的不可分割的两个方面，各方都以对方为自己存在的前提。由于正数的性质符号可以略去不写，因此不带符号的数在形式上与正数可以相同，但绝不能因此而把小学生在学习有理数以前所认识并进行运算的数就看成是正数。因为正数是相对于负数而言的，在那时没有负数因而也就无所谓正数了。我们在表示有理数时，只要用负号就可以把表示相反意义的量的一方同另一方区别开来。
负号后面不仅可以跟随一个不带负号的数，也可以跟随一个有理数，它的意义就是这个有理数的相反数。例如，－a表示a的相反数，当a是正值时，－a是负值；而当a是负值时，－a却是正值。因而当解方程－x＝3时，x＝－3；而解方程－5x＝－10时，5x＝10，从而x＝2。也正是根据这个道理，我们就可以更容易理解两个量的比值或变化率是负值的意义。例如，多数的金属都是热胀冷缩，即温度增高时膨胀，而温度降低时收缩。我们把表示金属长度变化与温度变化的两个有理数的比，称为某种金属的线膨胀系数。显然，上述线膨胀系数都是正值，因为金属长度的变化与温度的方向相同。反之，对于有些金属（例如铅）是热缩冷胀，其长度的变化与温度的变化方向相反，因而它的线膨胀系数就是负值。同样，对于正比例函数y=kx，当k取负值时，它的意义就表示y和 x虽然在数量上成正比，但是变化的方向却是相反的。
三、整体与分解是研究有理数的有效方法
为了表达相反意义的量或者说运动着的量，人们用一个不带符号的数加上一个正号或负号，来分别表示这个量的数量和它的意义（或运动方向），这样就构成了一个有理数。前面的正号或负号称为有理数的性质符号，后面的不带符号的数称为有理数的绝对值。
我们在许多场合必须把有理数作为一个整体来研究。如，数的大小是建立在数轴上点的顺序基础上的，我们在数轴上表示一个有理数，就必须把它的两个组成部分作为一个整体来考虑，以确定它在数轴上的位置。例如，在比较有理数＋3和－5的大小时，就只有把＋3和－5都分别作为一个整体来研究时才能得到＋3＞－5的结论。又如，在合并同类项的过程中，当需要移动项的位置时，也必须把每一项的有理数都当作一个整体看待。例如，在2a-3b-5a-7b=2a-5a-3b-7b的运算过程，就是把－5a和-3b中的－5和－3都作为一个整体来考虑时才能交换这两项的位置。
但在有些场合下，必须把有理数分解成它的两个组成部分来研究。在通过分析有理数的加法和乘法的意义得出运算法则时，就是这种情况。例如，在求多余6斤和不足8斤合后的总和时，小学生早就知道是把多余和不足相互抵消后仍然不足2斤。把这个运算过程加以抽象，就是对两个有理数＋6和－8进行运算，因为它们的性质符号相反，我们就把这两个有理数的绝对值，即两个不带符号的数6和8进行减法运算得到8－6＝2，而这个运算结果2的性质符号应和那个绝对值较大的有理数－8具有相同的符号，因而结果是－2。
四、加法和减法的相互转化、有理数的运算要充分考虑其条件性和必要性
在四则运算中，加法和减法是乘法和除法的基础。而在有理数的运算中加法和减法都是客观存在的。因此，我们在运算过程中，把有理数的减法转化为加法，或把有理数的加法转化为减法来运算，转化的条件是把减数或者带负号的加数用它的相反数替代。这是因为加和减的意义是相反的，因而，在一个数用它的相反数代替的条件下，加法和减法可以相互转化。
但是，在运算过程中是否需要先转化再运算，还要考虑是否必要。我们如果把有理数表示的量还原成它的实际意义来进行运算，那么意义相同的两个量的加、减运算实际上就是早已学过的不带符号的数的加、减运算，因此，对于两个符号相同的有理数的加、减运算，实质上不存在加和减的互相转化问题。但对于异号的两个数的加、减运算，则必须转化成不带符号的数的加、减运算，或相同符号的加、减运算，才能算出结果。如，9＋（－7）＝9－7＝2，6－（－2）＝6＋2＝8，－3－7＝－3＋（－7）＝－10等都是这样的例子。
五、性质符号和运算符号具有同一性
在任何一个有理数的加、减运算的式子中，必然既有运算符号，又有性质符号，而且“加”和“正”都用“＋”号表示，“减”和“负”都用“－”号表示，这就说明了它们共处于一个统一体中。因为如果没有运算符号，那就不是一个运算式子，而如果没有性质符号，那就不成为有理数的运算了。又由于在用相反数代替原来的一个加数或减数的条件下，也就是在改变加数或减数的性质符号的条件下，加和减的运算可以相互转化。例如，3－5和－5－2既可以看成3减5和－5减2，又可看成3加－5和－5加－2，至于究竟把“＋”、“－”看作是运算符号还是性质符号，则完全根据需要来决定。通常看作运算符号时运算比较方便，但在合并同类项需要移动项的位置时，则看作性质符号比较方便。
编辑：刘立英