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[摘 要]深度学习是一种学习方式，更是一种思维方式。运算能力是学生学习数学过程中必备的基本数学素养。在小学数学运算教学中，引导学生深度学习，帮助他们整体把握运算的算理和算法，创造合理的运算方法，在理解算理的过程中获得基本的数学能力，最終实现数学课程标准对提升学生数学素养的要求。
[关键词]深度学习;运算教学;数学素养
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2021）17-0043-03
一、问题的提出
在运算教学中，学生的问题和错误是最突出的（如图1），但学生往往将错因归结为“马虎”“粗心”，为避免出错常采用“多写”“多练”的浅层学习方式。
小学数学课程标准将运算能力作为十个核心素养之一，并提出“学生要能够根据法则和运算律正确地进行运算，培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径来解决问题”的目标要求。而“寻求合理、简洁的运算途径来解决问题”恰恰是浅层学习所不能给予的。
“深度学习”理论为改变这一现状提供了可能。它已经成为变革数学教学方式、提升数学课堂效能、发展数学核心素养的重要途径。上海师范大学黎加厚教授认为，深度学习“是在理解学习的基础上，学习者能够批判性地学习新的思想和事实，并将它们融入原有的认知结构中，能够在众多的思想间进行联系，并能够将已有知识迁移到新的情境中，做出决策和完成解决问题的学习”。美国学者更强调深度学习是一种主动的应用与经历，是“以创新方式向学生传递丰富的核心学习内容，引导他们有效学习并能将其所学付诸应用;基于项目的学习、基于问题的学习、基于探究的学习、基于挑战的学习，有助于学生获得更多主动的学习的经历”。
二、深度学习的特征
运算教学中的深度学习强调以下三个基本特征。
1.深度学习强调情境的作用
学生在课堂学习中所获得的运算能力主要由三个层面构成（如图2），即运算正确层面、算理理解层面和算法表达层面。问题情境是实现这三个层面的共同发展的重要基础，学生通过问题情境可以对运算进行深入的思考与解读，借助情境解读运算的算理，沟通不同的算法之间的联系，更重要的是能够把运算回归到具体的情境之中，紧密联系数学与生活。
以北师大版教材三年级上册“运白菜”一课为例，学生依托情境提出第一次运256棵，第二次运280棵，也可以一次运走536棵白菜，而且根据情境，还能解释清楚为什么不能用280减256的道理。正是基于不同的“运输”情境，才实现了学生对不同算法的深度思考与合理解读。
2.深度学习强调知识的联系
运算知识并不是孤立的，它们之间存在着紧密的联系。学生利用深度学习能够更好地把握运算知识的核心算理，有效地建构知识之间的联系，在沟通算法的基础上进一步提升运算能力。比如，北师大版教材一年级上册“进位加法”的学习就有这样的特点。在9加几的学习中，教材借助直观操作和计数器模型，不断突出“凑十”思想在进位加法中的作用。学生在研究“9 5”的过程中发现，无论是拆5还是拆9，都要创造出1个10。可见在显性“凑十”方法的背后，却是隐性的学生对加数拆分的把握与理解。“凑”是操作，“拆”是思维。“拆”是“凑”的基础，“凑”是“拆”的结果。“凑”与“拆”的紧密联系，共同构成了学生对进位加法运算的深度理解。在后续加法运算的学习中，学生能够运用这一联系，灵活地采用不同的方法，合理地进行运算与表达。
3.深度学习强调思维的参与
学生对数的认识，不仅限于对意义本身的学习，运算学习也是一个对数的意义不断丰富的学习过程。在这一过程中，深度学习能够实现运算技能与逻辑思维等能力的有机整合。因此，运算不仅是一种数学的操作能力，更是一种数学的思维能力。
比如，学生在深度学习分数意义的过程中，除了从平均分的角度来认识，还可从度量的角度来思考，教师在课堂中是这样做的。
出示长方形： [ ]。
师：如果这个长方形是“1”，那 表示它的多少？
生1：通过折一折或者平均分长方形，可以知道这一小部分表示[14]。
师：如果是[14]，那么这个新的长方形[ ]又表示多少？
生2：可能是[54]，[64]……
师：怎么才能知道它到底是多少？
生3：用小长方形 比一比、量一量就知道了。
学生借助分数单位，不仅加深了对分数的理解，还通过分数单位不断累加的过程，为分数运算的学习做好了重要储备。
三、深度学习的探索
1.充分利用问题情境
适当的问题情境，能够为学生的深度学习提供有效的支撑。以北师大版教材三年级下册“买新书”一课为例，教材并不是直接出示连除算式让学生计算，而是先呈现了把书放进书架的情境，并提出了“平均每个书架每层放多少本书？”的问题让学生尝试解决。
学生在思考如何摆放书的过程中，逐渐发现了不同的摆法，并用不同的算式记录不同的摆放过程，甚至还提出了一个与教材不同的算式“200÷4÷2”。学生对这个算式的解释更加有趣，他们认为可以把两个小书架并排放在一起组成一个大书架，200÷4就表示一层书的数量，再除以2就知道其中一个小书架里一层书的数量。
可见，问题情境不仅能促进学生对运算问题进行深入的研究，还能引发学生创造性地解决问题，实现学生对运算的深度学习与思考。
2.充分建立知识链接
通过深度学习，能促进学生沟通运算知识前后的联系，把握运算与其他知识之间的联系，使得运算不再是一个孤立的技能点，而是一组链接的知识团，运算成为深度学习的支架。
比如，在北师大版教材四年级下册“小数乘法”中，学生对小数乘整数的理解是基于教材中“每块橡皮0.2元，4块橡皮就是0.8元”这个情境的，但乘法不仅只有“几个几”这一个层面，还应该包含“几的十（百、千……）分之几”这个层面。尽管学生在课上掌握了算法，但在课后的练习中却遇到了困难。 学生面对情境（如图3）中的问题，都能顺利得到0.6×3和0.8×2的结果，但不同的是，他们能说清0.8×2的意义，却说不清0.6×3的意义。
针对学生出现的困难，教师调整了教学目标，不断追问学生：“为什么不是3个0.6？为什么不可以說成3个0.6？”于是，师生之间有了这样一段充满思考的对话。
生1：算式“0.6×3=1.8（元）”中的0.6表示3个0.6千克。（教师没有马上评价，而是将学生的思维逐渐聚焦到乘法意义上）
师：真的是这样吗？我们一起来看看0.6表示什么。
师（用手比画算式中的0.6，3个0.6千克合起来是1.8千克，并指着算式中的1.8元）：它们表示的意思一样吗？
生2：都是1.8，数据一样，但表示的含义不同。
师：算式是0.6×3，可0.6千克不够1千克。那这个算式该怎么理解？
（学生面对教师的追问陷入了沉思）
整数乘法有两种理解方式，为什么面对这个算式，学生都犹豫了呢？
在学生充分表达了对平均分的理解后，教师引导学生对小数运算的意义展开了深度学习。学生不仅关注了小数乘法的现实意义，还不断地将其和其他知识建立联系，形成连接紧密的知识团。
（1）借助直观图，对比解读算式
师：这个图（如图4）能表达0.6×3这个算式吗？
生1：就是把3元平均分成10份，表示其中的6份，算式是3÷10×6。
师：刚刚同学们解释的是3÷10×6这个算式，并没有解释0.6×3这个算式啊？
生（异口同声）：它们都是一回事。
师：在现实生活中，确实有0.6个这样的事，之所以用小数来表示，是因为单位变大了，当数量不足1时，我们不再说0.6个3，而是说3的6/10是多少。
（2）借助单位换算，深入理解乘法
生2（从单位换算的角度来理解算式）：因为0.6千克等于600克，所以3÷1000就是0.003（元/克），因此600×0.003=1.8（元）。
师：为什么要单位换算？
生3：因为0.6千克和600克是一样多的，可以想1克有多少元，再想600个1克是多少元，这种方法和乘法算式也是一回事。
学生通过这样的深度学习活动，将整数乘法的意义与小数乘法的意义沟通起来，同时还借助之前的学习经验，从不同的角度不断丰富和拓展对小数运算的理解，更为重要的是，在小数运算初期开展的深度学习，不仅为后续学习小数运算提供了重要的学习支架，还为未来学习分数运算奠定了坚实的基础。
深度学习为学生提供了更多的思考机会与选择的可能，让每一个学生有机会站在更高的视角，从算法和算理两个角度重新建构对运算的理解。
3.充分关注反思素养
深度学习需要反思型的思维方式，特别是建构运算知识时更需要学生运用批判性思维对新的运算进行理性分析，寻找学习支架，有效地凝聚运算能力。屈佳芬认为，深度学习获得的知识是系统化、结构化的，学生面临新问题时，才能快速地进行类比、 联想、迁移、创新，从而解决问题。这一点在运算教学中显得尤为突出。
深度学习的反思活动应该是多种多样，形态各异的。形式上可以是基于结果的，也可以是基于过程的;内容上可以有考试、作业之后的错因分析，也可以有课堂学习中的思维导图以及算法联系等。
学生在学习分数运算之后，试图寻找分数运算与分数比较之间的联系，无论采用何种方法都始终在不断加深对分数单位的理解，不断突出分数单位的作用和价值。
每个学生的思维水平是不同，群体思维不能替代个体思维。教师在运算教学中要给学生相对充足的时间与空间，要让他们个性化的思维显性化，逐渐形成多角度的思考与反思，这也是深度学习的重要一环，而学生的反思能力应该成为衡量运算素养的重要标志。
4.充分把握单元整体
运算教学中的深度学习始终关注对运算单元的整体把握。黄卫华认为，这样并不是要强化学习过程，而是要使学习活动更为科学有效。也不是要增加学生的负担，而是要使学习活动更为合理、饱满。因此，教师要从整体把握单元的高度，全面把握单元目标和重难点，根据教材单元主题及学生的认知思维对整个单元的教材进行合理的选择、重组和沟通，使整个学习单元的线索更清晰，运算能力培养的路径更加合理。
以北师大版教材中分数运算单元的整体把握为例（如表1），深度学习不仅加强了学生对分数运算的能力，还推动了他们对分数意义的理解。
在知识的分布上，教材把分数运算大单元分散到两个学段、三册教材和四个认识维度之中，每个部分又根据计算特征和意义的不同，划分出若干知识点。
在单元内容的联系上，学生学习分数运算单元之前，不同层次地涉足了分数意义的相关内容。因此，学生在分数大单元的学习中，能够始终以分数运算为线索，不断加深对分数意义的理解。
在运算学习的路径上，学生先后经历了三次不同的路径体验，无论从分数单位个数的增减，还是分数的意义与应用;无论从度量标准的统一，还是计算结果的凝聚，都始终依托着分数运算的学习路径。
通过整体把握分数运算单元，学生才能沿着这样的学习线索开展深度学习，实现分数运算能力的整体把握与全面发展。
综上所述，为了促进学生的深度学习，教师要整体把握运算单元，以运算情境为载体，以运算知识为途径，以反思交流为手段，实现学生主动建构运算知识和技能的学习方式，最终实现提升运算素养的育人目标，为学生的未来成长做好储备。
[ 参 考 文 献 ]
[1] 周华杰.在信息化教学中实现深度学习[J].中小学信息技术教育，2005（2）.
[2] 何玲，黎加厚.促进学生深度学习[J].计算机教与学，2005（5）.
[3] 焦建利.《地平线报告》2015基础教育版简评[J].中国信息技术教育，2015（21）.
[4] 屈佳芬.引领学生深度学习：路径与策略[J].江苏教育研究，2017（28）.
[5] 程明喜.小学数学“深度学习”教学策略研究[J].数学教育学报，2019（4）.
[6] 黄卫华.对小学数学课堂深度学习的几点思考[J].基础教育参考，2018（5）.
（责编 黄春香）
[关键词]深度学习;运算教学;数学素养
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2021）17-0043-03
一、问题的提出
在运算教学中，学生的问题和错误是最突出的（如图1），但学生往往将错因归结为“马虎”“粗心”，为避免出错常采用“多写”“多练”的浅层学习方式。
小学数学课程标准将运算能力作为十个核心素养之一，并提出“学生要能够根据法则和运算律正确地进行运算，培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径来解决问题”的目标要求。而“寻求合理、简洁的运算途径来解决问题”恰恰是浅层学习所不能给予的。
“深度学习”理论为改变这一现状提供了可能。它已经成为变革数学教学方式、提升数学课堂效能、发展数学核心素养的重要途径。上海师范大学黎加厚教授认为，深度学习“是在理解学习的基础上，学习者能够批判性地学习新的思想和事实，并将它们融入原有的认知结构中，能够在众多的思想间进行联系，并能够将已有知识迁移到新的情境中，做出决策和完成解决问题的学习”。美国学者更强调深度学习是一种主动的应用与经历，是“以创新方式向学生传递丰富的核心学习内容，引导他们有效学习并能将其所学付诸应用;基于项目的学习、基于问题的学习、基于探究的学习、基于挑战的学习，有助于学生获得更多主动的学习的经历”。
二、深度学习的特征
运算教学中的深度学习强调以下三个基本特征。
1.深度学习强调情境的作用
学生在课堂学习中所获得的运算能力主要由三个层面构成（如图2），即运算正确层面、算理理解层面和算法表达层面。问题情境是实现这三个层面的共同发展的重要基础，学生通过问题情境可以对运算进行深入的思考与解读，借助情境解读运算的算理，沟通不同的算法之间的联系，更重要的是能够把运算回归到具体的情境之中，紧密联系数学与生活。
以北师大版教材三年级上册“运白菜”一课为例，学生依托情境提出第一次运256棵，第二次运280棵，也可以一次运走536棵白菜，而且根据情境，还能解释清楚为什么不能用280减256的道理。正是基于不同的“运输”情境，才实现了学生对不同算法的深度思考与合理解读。
2.深度学习强调知识的联系
运算知识并不是孤立的，它们之间存在着紧密的联系。学生利用深度学习能够更好地把握运算知识的核心算理，有效地建构知识之间的联系，在沟通算法的基础上进一步提升运算能力。比如，北师大版教材一年级上册“进位加法”的学习就有这样的特点。在9加几的学习中，教材借助直观操作和计数器模型，不断突出“凑十”思想在进位加法中的作用。学生在研究“9 5”的过程中发现，无论是拆5还是拆9，都要创造出1个10。可见在显性“凑十”方法的背后，却是隐性的学生对加数拆分的把握与理解。“凑”是操作，“拆”是思维。“拆”是“凑”的基础，“凑”是“拆”的结果。“凑”与“拆”的紧密联系，共同构成了学生对进位加法运算的深度理解。在后续加法运算的学习中，学生能够运用这一联系，灵活地采用不同的方法，合理地进行运算与表达。
3.深度学习强调思维的参与
学生对数的认识，不仅限于对意义本身的学习，运算学习也是一个对数的意义不断丰富的学习过程。在这一过程中，深度学习能够实现运算技能与逻辑思维等能力的有机整合。因此，运算不仅是一种数学的操作能力，更是一种数学的思维能力。
比如，学生在深度学习分数意义的过程中，除了从平均分的角度来认识，还可从度量的角度来思考，教师在课堂中是这样做的。
出示长方形： [ ]。
师：如果这个长方形是“1”，那 表示它的多少？
生1：通过折一折或者平均分长方形，可以知道这一小部分表示[14]。
师：如果是[14]，那么这个新的长方形[ ]又表示多少？
生2：可能是[54]，[64]……
师：怎么才能知道它到底是多少？
生3：用小长方形 比一比、量一量就知道了。
学生借助分数单位，不仅加深了对分数的理解，还通过分数单位不断累加的过程，为分数运算的学习做好了重要储备。
三、深度学习的探索
1.充分利用问题情境
适当的问题情境，能够为学生的深度学习提供有效的支撑。以北师大版教材三年级下册“买新书”一课为例，教材并不是直接出示连除算式让学生计算，而是先呈现了把书放进书架的情境，并提出了“平均每个书架每层放多少本书？”的问题让学生尝试解决。
学生在思考如何摆放书的过程中，逐渐发现了不同的摆法，并用不同的算式记录不同的摆放过程，甚至还提出了一个与教材不同的算式“200÷4÷2”。学生对这个算式的解释更加有趣，他们认为可以把两个小书架并排放在一起组成一个大书架，200÷4就表示一层书的数量，再除以2就知道其中一个小书架里一层书的数量。
可见，问题情境不仅能促进学生对运算问题进行深入的研究，还能引发学生创造性地解决问题，实现学生对运算的深度学习与思考。
2.充分建立知识链接
通过深度学习，能促进学生沟通运算知识前后的联系，把握运算与其他知识之间的联系，使得运算不再是一个孤立的技能点，而是一组链接的知识团，运算成为深度学习的支架。
比如，在北师大版教材四年级下册“小数乘法”中，学生对小数乘整数的理解是基于教材中“每块橡皮0.2元，4块橡皮就是0.8元”这个情境的，但乘法不仅只有“几个几”这一个层面，还应该包含“几的十（百、千……）分之几”这个层面。尽管学生在课上掌握了算法，但在课后的练习中却遇到了困难。 学生面对情境（如图3）中的问题，都能顺利得到0.6×3和0.8×2的结果，但不同的是，他们能说清0.8×2的意义，却说不清0.6×3的意义。
针对学生出现的困难，教师调整了教学目标，不断追问学生：“为什么不是3个0.6？为什么不可以說成3个0.6？”于是，师生之间有了这样一段充满思考的对话。
生1：算式“0.6×3=1.8（元）”中的0.6表示3个0.6千克。（教师没有马上评价，而是将学生的思维逐渐聚焦到乘法意义上）
师：真的是这样吗？我们一起来看看0.6表示什么。
师（用手比画算式中的0.6，3个0.6千克合起来是1.8千克，并指着算式中的1.8元）：它们表示的意思一样吗？
生2：都是1.8，数据一样，但表示的含义不同。
师：算式是0.6×3，可0.6千克不够1千克。那这个算式该怎么理解？
（学生面对教师的追问陷入了沉思）
整数乘法有两种理解方式，为什么面对这个算式，学生都犹豫了呢？
在学生充分表达了对平均分的理解后，教师引导学生对小数运算的意义展开了深度学习。学生不仅关注了小数乘法的现实意义，还不断地将其和其他知识建立联系，形成连接紧密的知识团。
（1）借助直观图，对比解读算式
师：这个图（如图4）能表达0.6×3这个算式吗？
生1：就是把3元平均分成10份，表示其中的6份，算式是3÷10×6。
师：刚刚同学们解释的是3÷10×6这个算式，并没有解释0.6×3这个算式啊？
生（异口同声）：它们都是一回事。
师：在现实生活中，确实有0.6个这样的事，之所以用小数来表示，是因为单位变大了，当数量不足1时，我们不再说0.6个3，而是说3的6/10是多少。
（2）借助单位换算，深入理解乘法
生2（从单位换算的角度来理解算式）：因为0.6千克等于600克，所以3÷1000就是0.003（元/克），因此600×0.003=1.8（元）。
师：为什么要单位换算？
生3：因为0.6千克和600克是一样多的，可以想1克有多少元，再想600个1克是多少元，这种方法和乘法算式也是一回事。
学生通过这样的深度学习活动，将整数乘法的意义与小数乘法的意义沟通起来，同时还借助之前的学习经验，从不同的角度不断丰富和拓展对小数运算的理解，更为重要的是，在小数运算初期开展的深度学习，不仅为后续学习小数运算提供了重要的学习支架，还为未来学习分数运算奠定了坚实的基础。
深度学习为学生提供了更多的思考机会与选择的可能，让每一个学生有机会站在更高的视角，从算法和算理两个角度重新建构对运算的理解。
3.充分关注反思素养
深度学习需要反思型的思维方式，特别是建构运算知识时更需要学生运用批判性思维对新的运算进行理性分析，寻找学习支架，有效地凝聚运算能力。屈佳芬认为，深度学习获得的知识是系统化、结构化的，学生面临新问题时，才能快速地进行类比、 联想、迁移、创新，从而解决问题。这一点在运算教学中显得尤为突出。
深度学习的反思活动应该是多种多样，形态各异的。形式上可以是基于结果的，也可以是基于过程的;内容上可以有考试、作业之后的错因分析，也可以有课堂学习中的思维导图以及算法联系等。
学生在学习分数运算之后，试图寻找分数运算与分数比较之间的联系，无论采用何种方法都始终在不断加深对分数单位的理解，不断突出分数单位的作用和价值。
每个学生的思维水平是不同，群体思维不能替代个体思维。教师在运算教学中要给学生相对充足的时间与空间，要让他们个性化的思维显性化，逐渐形成多角度的思考与反思，这也是深度学习的重要一环，而学生的反思能力应该成为衡量运算素养的重要标志。
4.充分把握单元整体
运算教学中的深度学习始终关注对运算单元的整体把握。黄卫华认为，这样并不是要强化学习过程，而是要使学习活动更为科学有效。也不是要增加学生的负担，而是要使学习活动更为合理、饱满。因此，教师要从整体把握单元的高度，全面把握单元目标和重难点，根据教材单元主题及学生的认知思维对整个单元的教材进行合理的选择、重组和沟通，使整个学习单元的线索更清晰，运算能力培养的路径更加合理。
以北师大版教材中分数运算单元的整体把握为例（如表1），深度学习不仅加强了学生对分数运算的能力，还推动了他们对分数意义的理解。
在知识的分布上，教材把分数运算大单元分散到两个学段、三册教材和四个认识维度之中，每个部分又根据计算特征和意义的不同，划分出若干知识点。
在单元内容的联系上，学生学习分数运算单元之前，不同层次地涉足了分数意义的相关内容。因此，学生在分数大单元的学习中，能够始终以分数运算为线索，不断加深对分数意义的理解。
在运算学习的路径上，学生先后经历了三次不同的路径体验，无论从分数单位个数的增减，还是分数的意义与应用;无论从度量标准的统一，还是计算结果的凝聚，都始终依托着分数运算的学习路径。
通过整体把握分数运算单元，学生才能沿着这样的学习线索开展深度学习，实现分数运算能力的整体把握与全面发展。
综上所述，为了促进学生的深度学习，教师要整体把握运算单元，以运算情境为载体，以运算知识为途径，以反思交流为手段，实现学生主动建构运算知识和技能的学习方式，最终实现提升运算素养的育人目标，为学生的未来成长做好储备。
[ 参 考 文 献 ]
[1] 周华杰.在信息化教学中实现深度学习[J].中小学信息技术教育，2005（2）.
[2] 何玲，黎加厚.促进学生深度学习[J].计算机教与学，2005（5）.
[3] 焦建利.《地平线报告》2015基础教育版简评[J].中国信息技术教育，2015（21）.
[4] 屈佳芬.引领学生深度学习：路径与策略[J].江苏教育研究，2017（28）.
[5] 程明喜.小学数学“深度学习”教学策略研究[J].数学教育学报，2019（4）.
[6] 黄卫华.对小学数学课堂深度学习的几点思考[J].基础教育参考，2018（5）.
（责编 黄春香）