论文部分内容阅读
很多同学都有这样的经历：考完试感觉很好，但实际的分数与估计的分数有较大的出入。按理说对照着参考答案应该不会有很大的误差，到底是什么原因造成的呢？原因是：答题不规范。高考不仅仅考查学生对知识的掌握，答题的严密性和规范性也是考查的一个重点。答题规范了就可以颗粒归仓，不规范就会出现“会而不对”，“对而不全”等现象。高考答题的规范化要求有很多方面:答题工具、答题规则与程序、答题位置、答题过程及书写格式要求等。养成良好的答题习惯,可以帮助考生多得分,至少不会失去一些应得分。下面我就数列这个章节进行举例：
【例1】 在等比数列{an}中,若公比q=4,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式为 .
错解 4n-1.
错因分析 平时练习时不注重通项公式书写的规范性。
正确解法 an=4n-1.
防错机制 本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式的应用，属基础题。若失分则非常可惜。同学们如果思想上高度重视，平时作业时认真落实则会避免此类低级错误。
解答题与填空题比较，同类型的试题，但也有本质的区别。首先，解答题应答时，考生不仅要提供出最后的结论，还得写出或说出解答过程的主要步骤，提供合理、合法的说明，解答题成绩的评定不仅看最后的结论，还要看其推演和论证过程，分情况判定分数，用以反映其差别。
所以同学们在解答的时候，一定
要做到面面俱到。
【例2】 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n-5an-85，n∈N
*.
（1） 证明：{an-1}是等比数列；
（2） 求数列{Sn}的通项公式，并求出使得
Sn+1>Sn
成立的最小正整数n.
错解 （1） 当n=1时，a1=-14；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-5an+5an-1+1，
所以an-1=56(an-1-1)，所以数列{an-1}是等比数列.
（2） 由（1）知：an-1=-15•56n-1，得an=1-15•56n-1，
从而Sn=75•56n-1+n-90(n∈N*)；
由Sn+1>Sn，得56n-1<225,n>log56225+1≈14.9，最小正整数n=15.
错因分析 证明等比数列时要说明三个方面①从第二项起；②首项不为零；③公比不为零。由于平时作业中太随意，不注意答题的关键点，（1） 的解答中“首项不为零”没有说明。有些同学
经常这样想：我只要会就行了，很简单的题目我都写出来干嘛呢？素不知习惯成自然，慢慢地就养成了解题不严密，答题不规范的毛病。从而“会而不对”。
正确解法 （1） 当n=1时，a1=-14；
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-5an+5an-1+1，
所以an-1=56(an-1-1)，4分
又a1-1=-15≠0，
所以数列{an-1}是等比数列.6分
（2） 由（1）知：an-1=-15•56n-1，得an=1-15•56n-1，8分
从而Sn=75•56n-1+n-90(n∈N*)；10分
由Sn+1>Sn，得56n-1<225，12分
n>log56225+1≈14.9，最小正整数n=15.14分
防错机制 平时解题时，重视关键点的说明。对平时的作业要高度重视，该说明完整的一个字都不要少。
【例3】 已知等差数列{an}的首项为a，公差为b，等比数列{bn}的首项为b，公比为a，其中a，b都是大于1的正整数，且a1 （1） 求a的值；
（2） 若对于任意的n∈N+，总存在m∈N+，使得am+3=bn成立，求b的值；
（3） 令Cn=an+1+bn，问数列{Cn}中是否存在连续三项成等比数列？若存在，求出所有成等比数列的连续三项；若不存在，请说明理由.
错解 （1） 由已知，得an=a+(n-1)b,bn=b•an-1.由a1 因a，b都为大于1的正整数，故a≥2.又b>a，故b≥3.
再由ab
由b>a，故(a-2)b 由b≥3，故a-3<0，解得a<3.
于是2≤a<3，根据a∈N，可得a=2.
（2） 由a=2，对于任意的n∈N*，均存在m∈N+，使得b(m-1)+5=b•2n-1，
所以b=5时，存在正自然数m=2n-1满足题意.
（3） 设数列{Cn}中，Cn,Cn+1,Cn+2成等比数列，由Cn=2+nb+b•2n-1，(Cn+1)2=Cn•Cn+2，得：
(2+nb+b+b•2n)2=(2+nb+b•2n-1)•(2+nb+2b+b•2n+1).
化简，得b=2n+(n-2)•b•2n-1.
当n=2时，b=4时，等式成立.这三项依次是18，30，50.
错因分析 虽然上面的解法得到了最后的答案，但第（2）（3）问中说理不清，造成了一定的失分。这种错误比较普遍，其原因是平时作业的随意性，碰到不好说明的部分就敷衍了事，只求答案不求过程，从而“对而不全”。
正确解法 （1） 由已知，得an=a+(n-1)b,bn=b•an-1.由a1 因a，b都为大于1的正整数，故a≥2.又b>a，故b≥3.2分
再由ab
由b>a，故(a-2)b
由b≥3，故a-3<0，解得a<3.4分
于是2≤a<3，根据a∈N，可得a=2.6分
（2） 由a=2，对于任意的n∈N*，均存在m∈N+，使得b(m-1)+5=b•2n-1，则b(2n-1-m+1)=5.
又b≥3，由数的整除性，得b是5的约数.
故2n-1-m+1=1，b=5.
所以b=5时，存在正自然数m=2n-1满足题意.9分
（3） 设数列{Cn}中，Cn,Cn+1,Cn+2成等比数列，由Cn=2+nb+b•2n-1，(Cn+1)2=Cn•Cn+2，得：
(2+nb+b+b•2n)2=(2+nb+b•2n-1)•(2+nb+2b+b•2n+1).
化简，得b=2n+(n-2)•b•2n-1.11分
当n=1，b=1时，等式成立，而b≥3，不成立.
12分
当n=2时，b=4时，等式成立.
13分
当n≥3时，b=2n+(n-2)•b•2n-1>(n-2)•b•2n-1≥4b，这与b≥3矛盾.
这时等式不成立.14分
综上所述，当b≠4时，不存在连续三项成等比数列；当b=4时，数列{Cn}中的第二、三、四项成等比数列，这三项依次是18，30，50.16分
防错机制 平时在简答题的训练中要养成面面俱到的习惯，每一步的说理要到位。解题时不要因为“看看结果就出来了”而不加以说明。
牛刀小试
1. 过点P(1,0)作曲线C:y=xk(x∈(0,+∞),k∈N*,k>1)的切线，切点为M1，设M1在x轴上的投影是点P1.又过点P1作曲线C的切线，切点为M2，设M2在x轴上的投影是点P2，….依此下去，得到一系列点M1，M2…，Mn，…，设它们的横坐标a1，a2，…，an，…，构
成数列为{an}.求证数列{an}是等比数列，并求其通项公式.
2. 已知数列{an}中，a1=1,且点P(an,an+1)(n∈N*)在直线x-y+1=0上.
（1） 求数列{an}的通项公式；
（2） 若函数f(n)=1n+a1+1n+a2+1n+a3+…+1n+ann∈N,且n≥2,求函数f(n)的最小值；
（3） 设bn=1an,Sn表示数列bn的前n项和.试问：是否存在关于n的整式g(n)，使得
S1+S2+S3+…+Sn-1=(Sn-1)•g(n)对于一切不小于2的自然数n恒成立？
若存在，写出g(n)的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由.
【参考答案】
1. 对C:y=xk求导数，得y′=kxk-1，切点是Mn(an,akn)的切线方程是y-akn=kak-1n(x-an).2分
当n=1时，切线过点P（1，0），得a1=kk-1；
当n>1时，切线过点Pn-1（an-1，0），得anan-1=kk-1，4分
因为k>1，故a1=kk-1≠0，公比kk-1≠0，
所以数列{an}是以a1=kk-1为首项，kk-1为公比的等比数列，
所以数列{an}的通项公式为an=kk-1n,n∈N*.6分
2. （1） 由点P(an,an+1)在直线x-y+1=0上，
即an+1-an=1，2分
且a1=1，数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，
an=1+(n-1)•1=n(n≥2)，a1=1同样满足，所以an=n.4分
（2） f(n)=1n+1+1n+2+…+12n，
f(n+1)=1n+2+1n+3+1n+4…+12n+1+12n+2，6分
f(n+1)-f(n)=12n+1+12n+2-1n+1>12n+2+12n+2-1n+1=0，
所以f(n)是单调递增，故f(n)的最小值是f（2）=712，10分
（3） bn=1n，可得Sn=1+12+13+…+1n，Sn-Sn-1=1n(n≥2)，12分
nSn-(n-1)Sn-1=Sn-1+1，
(n-1)Sn-1-(n-2)Sn-2=Sn-2+1…2S2-S1=S1+1，
nSn-S1=S1+S2+S3+…+Sn-1+n-1，
S1+S2+S3+…+Sn-1=nSn-n=n(Sn-1)，n≥2，14分
g(n)=n，
故存在关于n的整式g（n）=n,使得对于一切不小于2的自然数n恒成立。16分
(作者：杨黄健，启东市大江中学）
【例1】 在等比数列{an}中,若公比q=4,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式为 .
错解 4n-1.
错因分析 平时练习时不注重通项公式书写的规范性。
正确解法 an=4n-1.
防错机制 本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式的应用，属基础题。若失分则非常可惜。同学们如果思想上高度重视，平时作业时认真落实则会避免此类低级错误。
解答题与填空题比较，同类型的试题，但也有本质的区别。首先，解答题应答时，考生不仅要提供出最后的结论，还得写出或说出解答过程的主要步骤，提供合理、合法的说明，解答题成绩的评定不仅看最后的结论，还要看其推演和论证过程，分情况判定分数，用以反映其差别。
所以同学们在解答的时候，一定
要做到面面俱到。
【例2】 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n-5an-85，n∈N
*.
（1） 证明：{an-1}是等比数列；
（2） 求数列{Sn}的通项公式，并求出使得
Sn+1>Sn
成立的最小正整数n.
错解 （1） 当n=1时，a1=-14；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-5an+5an-1+1，
所以an-1=56(an-1-1)，所以数列{an-1}是等比数列.
（2） 由（1）知：an-1=-15•56n-1，得an=1-15•56n-1，
从而Sn=75•56n-1+n-90(n∈N*)；
由Sn+1>Sn，得56n-1<225,n>log56225+1≈14.9，最小正整数n=15.
错因分析 证明等比数列时要说明三个方面①从第二项起；②首项不为零；③公比不为零。由于平时作业中太随意，不注意答题的关键点，（1） 的解答中“首项不为零”没有说明。有些同学
经常这样想：我只要会就行了，很简单的题目我都写出来干嘛呢？素不知习惯成自然，慢慢地就养成了解题不严密，答题不规范的毛病。从而“会而不对”。
正确解法 （1） 当n=1时，a1=-14；
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-5an+5an-1+1，
所以an-1=56(an-1-1)，4分
又a1-1=-15≠0，
所以数列{an-1}是等比数列.6分
（2） 由（1）知：an-1=-15•56n-1，得an=1-15•56n-1，8分
从而Sn=75•56n-1+n-90(n∈N*)；10分
由Sn+1>Sn，得56n-1<225，12分
n>log56225+1≈14.9，最小正整数n=15.14分
防错机制 平时解题时，重视关键点的说明。对平时的作业要高度重视，该说明完整的一个字都不要少。
【例3】 已知等差数列{an}的首项为a，公差为b，等比数列{bn}的首项为b，公比为a，其中a，b都是大于1的正整数，且a1
（2） 若对于任意的n∈N+，总存在m∈N+，使得am+3=bn成立，求b的值；
（3） 令Cn=an+1+bn，问数列{Cn}中是否存在连续三项成等比数列？若存在，求出所有成等比数列的连续三项；若不存在，请说明理由.
错解 （1） 由已知，得an=a+(n-1)b,bn=b•an-1.由a1
再由ab
由b>a，故(a-2)b
于是2≤a<3，根据a∈N，可得a=2.
（2） 由a=2，对于任意的n∈N*，均存在m∈N+，使得b(m-1)+5=b•2n-1，
所以b=5时，存在正自然数m=2n-1满足题意.
（3） 设数列{Cn}中，Cn,Cn+1,Cn+2成等比数列，由Cn=2+nb+b•2n-1，(Cn+1)2=Cn•Cn+2，得：
(2+nb+b+b•2n)2=(2+nb+b•2n-1)•(2+nb+2b+b•2n+1).
化简，得b=2n+(n-2)•b•2n-1.
当n=2时，b=4时，等式成立.这三项依次是18，30，50.
错因分析 虽然上面的解法得到了最后的答案，但第（2）（3）问中说理不清，造成了一定的失分。这种错误比较普遍，其原因是平时作业的随意性，碰到不好说明的部分就敷衍了事，只求答案不求过程，从而“对而不全”。
正确解法 （1） 由已知，得an=a+(n-1)b,bn=b•an-1.由a1
再由ab
由b>a，故(a-2)b
由b≥3，故a-3<0，解得a<3.4分
于是2≤a<3，根据a∈N，可得a=2.6分
（2） 由a=2，对于任意的n∈N*，均存在m∈N+，使得b(m-1)+5=b•2n-1，则b(2n-1-m+1)=5.
又b≥3，由数的整除性，得b是5的约数.
故2n-1-m+1=1，b=5.
所以b=5时，存在正自然数m=2n-1满足题意.9分
（3） 设数列{Cn}中，Cn,Cn+1,Cn+2成等比数列，由Cn=2+nb+b•2n-1，(Cn+1)2=Cn•Cn+2，得：
(2+nb+b+b•2n)2=(2+nb+b•2n-1)•(2+nb+2b+b•2n+1).
化简，得b=2n+(n-2)•b•2n-1.11分
当n=1，b=1时，等式成立，而b≥3，不成立.
12分
当n=2时，b=4时，等式成立.
13分
当n≥3时，b=2n+(n-2)•b•2n-1>(n-2)•b•2n-1≥4b，这与b≥3矛盾.
这时等式不成立.14分
综上所述，当b≠4时，不存在连续三项成等比数列；当b=4时，数列{Cn}中的第二、三、四项成等比数列，这三项依次是18，30，50.16分
防错机制 平时在简答题的训练中要养成面面俱到的习惯，每一步的说理要到位。解题时不要因为“看看结果就出来了”而不加以说明。
牛刀小试
1. 过点P(1,0)作曲线C:y=xk(x∈(0,+∞),k∈N*,k>1)的切线，切点为M1，设M1在x轴上的投影是点P1.又过点P1作曲线C的切线，切点为M2，设M2在x轴上的投影是点P2，….依此下去，得到一系列点M1，M2…，Mn，…，设它们的横坐标a1，a2，…，an，…，构
成数列为{an}.求证数列{an}是等比数列，并求其通项公式.
2. 已知数列{an}中，a1=1,且点P(an,an+1)(n∈N*)在直线x-y+1=0上.
（1） 求数列{an}的通项公式；
（2） 若函数f(n)=1n+a1+1n+a2+1n+a3+…+1n+ann∈N,且n≥2,求函数f(n)的最小值；
（3） 设bn=1an,Sn表示数列bn的前n项和.试问：是否存在关于n的整式g(n)，使得
S1+S2+S3+…+Sn-1=(Sn-1)•g(n)对于一切不小于2的自然数n恒成立？
若存在，写出g(n)的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由.
【参考答案】
1. 对C:y=xk求导数，得y′=kxk-1，切点是Mn(an,akn)的切线方程是y-akn=kak-1n(x-an).2分
当n=1时，切线过点P（1，0），得a1=kk-1；
当n>1时，切线过点Pn-1（an-1，0），得anan-1=kk-1，4分
因为k>1，故a1=kk-1≠0，公比kk-1≠0，
所以数列{an}是以a1=kk-1为首项，kk-1为公比的等比数列，
所以数列{an}的通项公式为an=kk-1n,n∈N*.6分
2. （1） 由点P(an,an+1)在直线x-y+1=0上，
即an+1-an=1，2分
且a1=1，数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，
an=1+(n-1)•1=n(n≥2)，a1=1同样满足，所以an=n.4分
（2） f(n)=1n+1+1n+2+…+12n，
f(n+1)=1n+2+1n+3+1n+4…+12n+1+12n+2，6分
f(n+1)-f(n)=12n+1+12n+2-1n+1>12n+2+12n+2-1n+1=0，
所以f(n)是单调递增，故f(n)的最小值是f（2）=712，10分
（3） bn=1n，可得Sn=1+12+13+…+1n，Sn-Sn-1=1n(n≥2)，12分
nSn-(n-1)Sn-1=Sn-1+1，
(n-1)Sn-1-(n-2)Sn-2=Sn-2+1…2S2-S1=S1+1，
nSn-S1=S1+S2+S3+…+Sn-1+n-1，
S1+S2+S3+…+Sn-1=nSn-n=n(Sn-1)，n≥2，14分
g(n)=n，
故存在关于n的整式g（n）=n,使得对于一切不小于2的自然数n恒成立。16分
(作者：杨黄健，启东市大江中学）