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〔关键词〕 排列组合；分步计数；分类计数；插空法
〔中图分类号〕 G633.62〔文献标识码〕 C
〔文章编号〕 1004—0463（2007）08（Ａ）—0046—02
高考前夕，在复习排列组合时，我精心准备了一道相关题目：某班新年联欢会原定5个节目，后来又增添了两个新节目，若将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（ ）．
（A）42（B）30（C）20（D）12
意料之中，一题多解
出示题目不久，就有好多同学小声报答案.我要求大家从多个角度思考，寻求一题多解.几分钟后，学生的回答如下：
学生1：由分步计数原理，先排其中的一个节目，可从6个空中选一个，再排第二个节目，可从7个空中选一个，则共有Ｃ Ｃ =42种.
学生2：由分类计数原理，分为两类：第一类是两个节目不相邻，从6个空中选2个排列；第二类是两个节目相邻，从6个空中选1个，两个节目全排列.共有A +C A =42种．
学生3：从7个位置中选取2个位置给新节目，且排序，剩下的5个位置给原定的5个节目，无须排序，故而有C A =42种．
教师：比较３种解法，前两种解法是最基本的解法，体现了排列组合的精髓——分类计数原理和分步计数原理，而第三种解法是通法，思维层次较高，同样要求大家能灵活使用.
变换条件，设问引争
教师：我顺口提这么一个问题，将“新增两个节目”的条件改为“新增两个相声和三个小品，且要求任何两个相声和任何三个小品节目都不相邻”，有多少种插法？（就这么无意的一问，却引起了“轩然大波”）．
学生４：仍然采用插空法，先将两个相声节目插入原来5个节目的6个空中，再将3个小品节目插入已排好的7个节目的8个空中，共有A A =10080种．
教师：大家赞成这个解法吗?
大多数同学说对，也有一些同学有不同意见.
学生５：我也是用插空法，但得到的结果却与学生４不同.先将3个小品节目插入原来5个节目的6个空中，再将2个相声节目插入已排好的8个节目的9个空中，共有A A =8640种.
学生5刚说完，同学们就七嘴八舌，议论纷纷.我想，这是难得的、探究的好时机，于是我就改变了原先的计划．
教师：两位同学的解法似乎都合理，而结果却相差甚远!谁对谁错，或者还有其他方法?请同学们冷静思考，待会我们一起交流．
积极探索，曙光浮现
学生1：我认为两个结果都不对，因为他们解题的实质相同，只不过是顺序不同，所以只要一个对，另一个也就肯定对.而最终结果不相同，所以都不对，至于错在哪里，我还没有想好.
学生３：任何两个相声和任何两个小品都不相邻，我们是不是遗漏了什么?
学生６：我对比了学生４和学生５的解法，发现了一个问题：若用○表示原来的节目，用●表示新添的相声节目，用△表示新添的小品节目，按学生４的先后顺序，有这样一种排法○△●△○○△●○○，按学生５的排法无论如何都没有．
学生７：我也发现学生５有一种排法○●△●○○△○△○，按学生４的排法也没有．
查缺补漏，完善思考
教师：上面几位同学的分析，使我们找到了症结，那怎么解答呢？
学生８：学生４遗漏了两个相声连排插入小品的情形，遗漏的可计算如下：先使两个相声连排插空，有A C 种，如○●●○○○○，再将3个小品插入，且两个相声之间必有一个小品节目，如：○●△●○△○△○○，有C A 种，故为A C C A =1512种，两个合起来插入法共为10080+1512=11592种．
学生５：我刚好遗漏了：（1）两个小品中插入相声的情形；（2）3个小品连排时中间插入两个相声的情形.遗漏的计算如下：（1）先使两个小品连排，另一个小品隔开，有A A 种，再使一个相声插入两个小品连排之中，另一个相声与之隔开，有C C 种，如：○△●△○●△○○○；（2）先使3个小品连排，有A C 种，再使两个相声插入3个小品之间，有A 种，如：○△●△●△○○○○．两种遗漏情形合起来有A A C C +A C A =2952种，和前面的加起来插入方法共有：8640+2952=11592种．
教师：上面两位同学的分析很清楚，从这个过程我们可以看到，思考时要严谨，不能有思维定势，否则就会丢三落四，出现差错．这节课我们讨论到此，我想时间允许的话，你们还会有更多的好方法.
课后反思，更上一层楼
本节课显然没有按照原有的教学设计进行，即“没有完成教学任务”，但学生的收获是比较大的.从一题多解到一题多变，培养了学生的思维能力，使学生体验到了积极参与的愉悦、发现问题的喜悦、成功的欢悦!
“无意”提出问题，是教师在教学时的一种尝试，也是教师暴露自身思维的一种形式，这种形式将有助于引发学生思维的创新，对学生来说是十分有益的.
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”
〔中图分类号〕 G633.62〔文献标识码〕 C
〔文章编号〕 1004—0463（2007）08（Ａ）—0046—02
高考前夕，在复习排列组合时，我精心准备了一道相关题目：某班新年联欢会原定5个节目，后来又增添了两个新节目，若将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（ ）．
（A）42（B）30（C）20（D）12
意料之中，一题多解
出示题目不久，就有好多同学小声报答案.我要求大家从多个角度思考，寻求一题多解.几分钟后，学生的回答如下：
学生1：由分步计数原理，先排其中的一个节目，可从6个空中选一个，再排第二个节目，可从7个空中选一个，则共有Ｃ Ｃ =42种.
学生2：由分类计数原理，分为两类：第一类是两个节目不相邻，从6个空中选2个排列；第二类是两个节目相邻，从6个空中选1个，两个节目全排列.共有A +C A =42种．
学生3：从7个位置中选取2个位置给新节目，且排序，剩下的5个位置给原定的5个节目，无须排序，故而有C A =42种．
教师：比较３种解法，前两种解法是最基本的解法，体现了排列组合的精髓——分类计数原理和分步计数原理，而第三种解法是通法，思维层次较高，同样要求大家能灵活使用.
变换条件，设问引争
教师：我顺口提这么一个问题，将“新增两个节目”的条件改为“新增两个相声和三个小品，且要求任何两个相声和任何三个小品节目都不相邻”，有多少种插法？（就这么无意的一问，却引起了“轩然大波”）．
学生４：仍然采用插空法，先将两个相声节目插入原来5个节目的6个空中，再将3个小品节目插入已排好的7个节目的8个空中，共有A A =10080种．
教师：大家赞成这个解法吗?
大多数同学说对，也有一些同学有不同意见.
学生５：我也是用插空法，但得到的结果却与学生４不同.先将3个小品节目插入原来5个节目的6个空中，再将2个相声节目插入已排好的8个节目的9个空中，共有A A =8640种.
学生5刚说完，同学们就七嘴八舌，议论纷纷.我想，这是难得的、探究的好时机，于是我就改变了原先的计划．
教师：两位同学的解法似乎都合理，而结果却相差甚远!谁对谁错，或者还有其他方法?请同学们冷静思考，待会我们一起交流．
积极探索，曙光浮现
学生1：我认为两个结果都不对，因为他们解题的实质相同，只不过是顺序不同，所以只要一个对，另一个也就肯定对.而最终结果不相同，所以都不对，至于错在哪里，我还没有想好.
学生３：任何两个相声和任何两个小品都不相邻，我们是不是遗漏了什么?
学生６：我对比了学生４和学生５的解法，发现了一个问题：若用○表示原来的节目，用●表示新添的相声节目，用△表示新添的小品节目，按学生４的先后顺序，有这样一种排法○△●△○○△●○○，按学生５的排法无论如何都没有．
学生７：我也发现学生５有一种排法○●△●○○△○△○，按学生４的排法也没有．
查缺补漏，完善思考
教师：上面几位同学的分析，使我们找到了症结，那怎么解答呢？
学生８：学生４遗漏了两个相声连排插入小品的情形，遗漏的可计算如下：先使两个相声连排插空，有A C 种，如○●●○○○○，再将3个小品插入，且两个相声之间必有一个小品节目，如：○●△●○△○△○○，有C A 种，故为A C C A =1512种，两个合起来插入法共为10080+1512=11592种．
学生５：我刚好遗漏了：（1）两个小品中插入相声的情形；（2）3个小品连排时中间插入两个相声的情形.遗漏的计算如下：（1）先使两个小品连排，另一个小品隔开，有A A 种，再使一个相声插入两个小品连排之中，另一个相声与之隔开，有C C 种，如：○△●△○●△○○○；（2）先使3个小品连排，有A C 种，再使两个相声插入3个小品之间，有A 种，如：○△●△●△○○○○．两种遗漏情形合起来有A A C C +A C A =2952种，和前面的加起来插入方法共有：8640+2952=11592种．
教师：上面两位同学的分析很清楚，从这个过程我们可以看到，思考时要严谨，不能有思维定势，否则就会丢三落四，出现差错．这节课我们讨论到此，我想时间允许的话，你们还会有更多的好方法.
课后反思，更上一层楼
本节课显然没有按照原有的教学设计进行，即“没有完成教学任务”，但学生的收获是比较大的.从一题多解到一题多变，培养了学生的思维能力，使学生体验到了积极参与的愉悦、发现问题的喜悦、成功的欢悦!
“无意”提出问题，是教师在教学时的一种尝试，也是教师暴露自身思维的一种形式，这种形式将有助于引发学生思维的创新，对学生来说是十分有益的.
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”