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一、案例背景
随着多媒体技术在数学教学运用中的普及，作为认知工具和手段已广泛应用于数学教学中，各种教学资源、要素和教学环节更加协调起来。尤其是在随堂课中学生突发形成的刁钻的、甚至是“无理的”数学问题，如果不对这些问题及时加以具体化、生活化的解决，很难满足学生的“胃口”，而几何画板的动态变化的特性及多媒体的诸多优点就很好地解决了此类问题的困惑。
在《平面直角坐标系》复习课中，有这样一道题目：直角三角形ABC的顶点A（2，0），B（2，3），A是直角点，斜边长为5，则顶点C的坐标是什么？这道题的预设目的是让学生注意这样的点C有两个，而学生却对直角点进行了变式置疑，生成了一道变式题，即点C或点B为直角点时，点C的坐标情况？在自主探究过程中，学生发现这样的点不止一个，并大胆对点C的坐标情况进行猜测，而猜测的理论依据尚未形成，这时运用几何画板，把学生对点C的坐标轨迹的猜测进行直观验证，使抽象的概念形象化、直观化，在学生脑中形成表象。
二、案例描述
抛出问题：直角三角形ABC的顶点A（2，0），B（2，3），A是直角点，斜边长为5，则顶点C的坐标是什么？
师：谁来讲一讲点C的确定过程？
其闯（不假思索）：这很简单，首先画平面直角坐标系，确定点A、B的位置，连接点A、B得AB=3，因为点A为直角点，过点A作AB的垂线，即X轴，那么点C肯定在X轴上，连接点B、C，BC=5，利用勾股定理，得出AC=4，所以点C坐标为（6，0）。
师：很好，思路很明确，但点C一定在点B的右边吗？
其闯（恍然大悟）：有！点C有两个。还有一个在（-2，0）。
（一切尽在自己的掌控中，预设中的问题也解决了，准备继续下一个题目的讲解了。）
突然，班里的“智多星”益都又开口了：老师，如果以点C为直角点，那点C坐标又是怎样？（好家伙！他又要改变我的计划了。同学们也开始唧唧喳喳地讨论了，看着他们激昂的兴致，不忍心打断。）
永成：如果点C为直角顶点，斜边就是线段AB等于3，而条件是斜边为5，除非把斜边为5的条件去掉！
师：提得好！我们就把斜边为5的条件去掉，现在我们一起来寻找点C为直角顶点时的坐标。（学生动笔画，我用几何画板作出直角坐标系、描出点A、B、C。）
（说明：学生提出的具有挑战性的问题使课堂的气氛顿时活跃起来，话音未落大家已经开始讨论了。利用课堂中的生成问题资源，因势利导，也发现这是一个极好的培养学生发散性思维，增强学生敢于探究、敢于创新的意识与能力的机会。）
李敏（猜测）：点C会不会在线段AB的中垂线上？
芝芝：线段AB的中垂线上有无数个点，到底哪些点是要找的点C呢？
生：（思考，讨论）
几个学生（猜测）：中垂线上的点分别与点A、B连接构成等腰直角三角形就可以啦！
师：好，我们就用几何画板试试看。那如何做出这个等腰直角三角形呢？
（目的是引导学生从角的角度来找）
生：只要做出等腰三角形的两个底角都是45°就可以了。
师：好，就按你们的想法老师在几何画板上画，你们动手画图。
（说明：1.作线段AB的中垂线L。2.作∠CAB=∠BAC=45°）
其柯（我们班的“快一拍”高兴地）：∠ACB=90°了，哈，点C就是我们要找的点了。
伟国：那它的坐标是什么？
生：（在伟国的提醒下，有拿起笔讨论、计算）点C坐标是（3.5，1.5）。
师：那么满足要求的点还有吗？
生：还有一个是（0.5，1.5）。
师：还有吗？
生：（啊？对老师的不断追问学生兴致盎然。思考、活跃激烈地辩论……）
朦朦（怀疑）：按刚才的做法，只要保证两个角和等于90°，那点C就是直角点了。比如30°和60°的和也是90°。
生（不感相信自己）：和为90°，这样的度数有无数个，那有无数个点C了？
师：好，大家都这样想，现在我们就任意多做几对角，只要和为90°，看看有什么新发现？
（说明：老师和学生同时动手操作描点，更激起学生的挑战意识，他们认真、仔细描点，期待着能与老师有同样或不一样的结果和发现。）
生（描出几个点后，猜测）：这样的点C连起来是曲线？
生（七嘴八舌）：我也这样觉得，好像是圆？
师：好，现在老师就利用几何画板呈现：请同学们注意老师变换的角度的和，随着角度的变化，点C的运动轨迹。看看和你们画的、猜测的是否一样？
（说明：同学们认真地观察、期待着。通过几何画板的演示，学生体验到在和为90°的情况下，随着∠CAB和∠CBA的数据的不断变化，点C位置也随之变化的过程。最终形成的运动轨迹——圆，在学生的脑海里渗透了直角坐标系中点的运动变化的思想。当圆形成的刹那，教室里一片掌声，孩子们在为自己的大胆置疑、猜测而开心、激动，更多的是为自己的劳动成果而欣喜。）
生（惊呼）：真的是个圆！
李敏（突然）：那点C的坐标怎么确定啊？
生：（光顾高兴了，忘了要求的内容了，同学们高兴的脸上渐渐露出愁容，再次陷入思考，教室里静悄悄的）
洪良：如果点C运动到点A、B上就不能构成三角形了，那点A、B不在轨迹上。
其柯：刚才在中垂线上的两个点在轨迹上！
师：既然点C有无数个，我们很难一一确定它们的坐标，但是我们能不能确定它的范围呢？
生（思考片刻）：可以。
生：0.5≤Xc≤3.50＜Yc＜3
师：老师希望同学们都能养成善于发现问题和提出问题的习惯，更要养成积极思考的习惯，今天同学们通过自己大胆地猜测、小组激烈地讨论、不厌其烦的描点，经历了复杂的思考过程，终于得出点C的轨迹并确定了点C的坐标范围，同时也验证了自己的猜想并得到了几何画板的直观验证。
话音未落，又一个问题抛了出来。看来习题课要改上讨论课了。
生：（学生盯着几何画板图提出置疑）：这仅仅是我们推测出来的结论，不知道几何画板可靠不可靠呢？
师（喜悦）：太好了！这个问题提得真好。我们现在就来寻找它的理论依据吧。
在坐标系中拉动点C时，请同学们仔细观察线段OA、OB、OC有没有变化。请同学们先解决下列问题。
步骤一：
（板书）已知：如图在△ABC中，CD是AB边上的中线，且CD=1/2AB，那么△ABC是直角三角形吗？请说出理由。
生解：∵CD是AB边上的中线，且CD=1/2AB
∴AD=BD=CD
∴∠CAB=∠ACD∠ABC=∠BCD
又∵∠CAB+∠ACD+∠ABC+∠BCD=180°
∴∠ACD+∠BCD=90°
即∠ACB=90°
∴△ABC是以AB為斜边的直角三角形。
师：通过这道题，你们得到什么样的结论？
嫦嫦：在一个三角形中，如果一条边的中线等于这条边的一半，那么，这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形。
盈盈：直角三角形又多一种判定方法了!
步骤二：（对照图五）
连接点H、E（点E是点C轨迹上的任意点）。
师：大家发现了什么？
生（齐答）：线段HE是圆的半径，即HE= AB
生：其实只要保证∠EBA+∠EAB=90°，就会有HE= AB，按步骤一的结论，可以得到△ABE是以边AB为斜边的直角三角形，∠AEB为直角。
师：那么，现在你们相信自己的推测了吧？
生（齐答）：相信。
师：同学们，还可以发现什么呢？
生：如果已知一条斜边，找这个三角形的直角点，就可以以这已知斜边的中心为圆心，以已知斜边的一半长度为半径作圆，该圆上的点即为三角形的直角点（斜边的两端点除外）。
师：几何画板动画演示。
三、教学反思与分析
1.本节课将数学的课堂教学与多媒体技术有机结合，充分发挥几何画板在直观表现、反馈灵活、交互生成等方面的优势。
在学生探究过程中，把学生探究的思维过程以生动形象的图象变化呈现在学生面前，使学生体验形象与抽象的关系，对学生大胆的猜测进行了及时有效的直观验证。学生获得了成功的喜悦，更增强了学习数学的信心和深入探究数学问题的勇气。在确定点C的运动轨迹的过程中，通过几何画板演示，学生体验到随着∠CAB和∠CBA的数据的不断变化，点C位置也随之变化的整个过程。最终形成的运动轨迹——圆，初步体验直角坐标系中点的运动变化的思想。如果把圆的形成过程仅通过学生或老师的语言描述，抽象的概念无法形成表象，学生看不到实像，就形不成认识。而几何画板却起到了画龙点睛的作用。从教学效果来看，这节数学课与几何画板的整合是必要的、合理的。几何画板的指南针的作用，不仅激发了学生的学习兴趣，同时也提高了学生的数学思维能力、敢于创新和勇于探究的意识。
2.预设与生成是数学课堂教学中“静”与“动”的对立统一。课前预设是教学规划实施的蓝本，动态生成是课堂教学的点睛之作。
布卢姆说过：“人们无法预料教学所产生的成果的全部范围，如果没有教学预料不到的成果，教学也就不成为艺术了。”在自主、合作、探究的学习理念指引下，学生往往会大胆置疑，提出有争议性、有探究价值的生成性问题，针对学生抛出的远离教学主线的“任意球”，教师应及时抓住，或回应或反击或再击，进行组织、参与、引导。使师生双方真正沉浸在自主、合作、探究的学习氛围中。伴随着新课改的理念，给予学生更多的空间，抓住瞬间的美丽，把欣然而至的精彩留住。■
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
随着多媒体技术在数学教学运用中的普及，作为认知工具和手段已广泛应用于数学教学中，各种教学资源、要素和教学环节更加协调起来。尤其是在随堂课中学生突发形成的刁钻的、甚至是“无理的”数学问题，如果不对这些问题及时加以具体化、生活化的解决，很难满足学生的“胃口”，而几何画板的动态变化的特性及多媒体的诸多优点就很好地解决了此类问题的困惑。
在《平面直角坐标系》复习课中，有这样一道题目：直角三角形ABC的顶点A（2，0），B（2，3），A是直角点，斜边长为5，则顶点C的坐标是什么？这道题的预设目的是让学生注意这样的点C有两个，而学生却对直角点进行了变式置疑，生成了一道变式题，即点C或点B为直角点时，点C的坐标情况？在自主探究过程中，学生发现这样的点不止一个，并大胆对点C的坐标情况进行猜测，而猜测的理论依据尚未形成，这时运用几何画板，把学生对点C的坐标轨迹的猜测进行直观验证，使抽象的概念形象化、直观化，在学生脑中形成表象。
二、案例描述
抛出问题：直角三角形ABC的顶点A（2，0），B（2，3），A是直角点，斜边长为5，则顶点C的坐标是什么？
师：谁来讲一讲点C的确定过程？
其闯（不假思索）：这很简单，首先画平面直角坐标系，确定点A、B的位置，连接点A、B得AB=3，因为点A为直角点，过点A作AB的垂线，即X轴，那么点C肯定在X轴上，连接点B、C，BC=5，利用勾股定理，得出AC=4，所以点C坐标为（6，0）。
师：很好，思路很明确，但点C一定在点B的右边吗？
其闯（恍然大悟）：有！点C有两个。还有一个在（-2，0）。
（一切尽在自己的掌控中，预设中的问题也解决了，准备继续下一个题目的讲解了。）
突然，班里的“智多星”益都又开口了：老师，如果以点C为直角点，那点C坐标又是怎样？（好家伙！他又要改变我的计划了。同学们也开始唧唧喳喳地讨论了，看着他们激昂的兴致，不忍心打断。）
永成：如果点C为直角顶点，斜边就是线段AB等于3，而条件是斜边为5，除非把斜边为5的条件去掉！
师：提得好！我们就把斜边为5的条件去掉，现在我们一起来寻找点C为直角顶点时的坐标。（学生动笔画，我用几何画板作出直角坐标系、描出点A、B、C。）
（说明：学生提出的具有挑战性的问题使课堂的气氛顿时活跃起来，话音未落大家已经开始讨论了。利用课堂中的生成问题资源，因势利导，也发现这是一个极好的培养学生发散性思维，增强学生敢于探究、敢于创新的意识与能力的机会。）
李敏（猜测）：点C会不会在线段AB的中垂线上？
芝芝：线段AB的中垂线上有无数个点，到底哪些点是要找的点C呢？
生：（思考，讨论）
几个学生（猜测）：中垂线上的点分别与点A、B连接构成等腰直角三角形就可以啦！
师：好，我们就用几何画板试试看。那如何做出这个等腰直角三角形呢？
（目的是引导学生从角的角度来找）
生：只要做出等腰三角形的两个底角都是45°就可以了。
师：好，就按你们的想法老师在几何画板上画，你们动手画图。
（说明：1.作线段AB的中垂线L。2.作∠CAB=∠BAC=45°）
其柯（我们班的“快一拍”高兴地）：∠ACB=90°了，哈，点C就是我们要找的点了。
伟国：那它的坐标是什么？
生：（在伟国的提醒下，有拿起笔讨论、计算）点C坐标是（3.5，1.5）。
师：那么满足要求的点还有吗？
生：还有一个是（0.5，1.5）。
师：还有吗？
生：（啊？对老师的不断追问学生兴致盎然。思考、活跃激烈地辩论……）
朦朦（怀疑）：按刚才的做法，只要保证两个角和等于90°，那点C就是直角点了。比如30°和60°的和也是90°。
生（不感相信自己）：和为90°，这样的度数有无数个，那有无数个点C了？
师：好，大家都这样想，现在我们就任意多做几对角，只要和为90°，看看有什么新发现？
（说明：老师和学生同时动手操作描点，更激起学生的挑战意识，他们认真、仔细描点，期待着能与老师有同样或不一样的结果和发现。）
生（描出几个点后，猜测）：这样的点C连起来是曲线？
生（七嘴八舌）：我也这样觉得，好像是圆？
师：好，现在老师就利用几何画板呈现：请同学们注意老师变换的角度的和，随着角度的变化，点C的运动轨迹。看看和你们画的、猜测的是否一样？
（说明：同学们认真地观察、期待着。通过几何画板的演示，学生体验到在和为90°的情况下，随着∠CAB和∠CBA的数据的不断变化，点C位置也随之变化的过程。最终形成的运动轨迹——圆，在学生的脑海里渗透了直角坐标系中点的运动变化的思想。当圆形成的刹那，教室里一片掌声，孩子们在为自己的大胆置疑、猜测而开心、激动，更多的是为自己的劳动成果而欣喜。）
生（惊呼）：真的是个圆！
李敏（突然）：那点C的坐标怎么确定啊？
生：（光顾高兴了，忘了要求的内容了，同学们高兴的脸上渐渐露出愁容，再次陷入思考，教室里静悄悄的）
洪良：如果点C运动到点A、B上就不能构成三角形了，那点A、B不在轨迹上。
其柯：刚才在中垂线上的两个点在轨迹上！
师：既然点C有无数个，我们很难一一确定它们的坐标，但是我们能不能确定它的范围呢？
生（思考片刻）：可以。
生：0.5≤Xc≤3.50＜Yc＜3
师：老师希望同学们都能养成善于发现问题和提出问题的习惯，更要养成积极思考的习惯，今天同学们通过自己大胆地猜测、小组激烈地讨论、不厌其烦的描点，经历了复杂的思考过程，终于得出点C的轨迹并确定了点C的坐标范围，同时也验证了自己的猜想并得到了几何画板的直观验证。
话音未落，又一个问题抛了出来。看来习题课要改上讨论课了。
生：（学生盯着几何画板图提出置疑）：这仅仅是我们推测出来的结论，不知道几何画板可靠不可靠呢？
师（喜悦）：太好了！这个问题提得真好。我们现在就来寻找它的理论依据吧。
在坐标系中拉动点C时，请同学们仔细观察线段OA、OB、OC有没有变化。请同学们先解决下列问题。
步骤一：
（板书）已知：如图在△ABC中，CD是AB边上的中线，且CD=1/2AB，那么△ABC是直角三角形吗？请说出理由。
生解：∵CD是AB边上的中线，且CD=1/2AB
∴AD=BD=CD
∴∠CAB=∠ACD∠ABC=∠BCD
又∵∠CAB+∠ACD+∠ABC+∠BCD=180°
∴∠ACD+∠BCD=90°
即∠ACB=90°
∴△ABC是以AB為斜边的直角三角形。
师：通过这道题，你们得到什么样的结论？
嫦嫦：在一个三角形中，如果一条边的中线等于这条边的一半，那么，这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形。
盈盈：直角三角形又多一种判定方法了!
步骤二：（对照图五）
连接点H、E（点E是点C轨迹上的任意点）。
师：大家发现了什么？
生（齐答）：线段HE是圆的半径，即HE= AB
生：其实只要保证∠EBA+∠EAB=90°，就会有HE= AB，按步骤一的结论，可以得到△ABE是以边AB为斜边的直角三角形，∠AEB为直角。
师：那么，现在你们相信自己的推测了吧？
生（齐答）：相信。
师：同学们，还可以发现什么呢？
生：如果已知一条斜边，找这个三角形的直角点，就可以以这已知斜边的中心为圆心，以已知斜边的一半长度为半径作圆，该圆上的点即为三角形的直角点（斜边的两端点除外）。
师：几何画板动画演示。
三、教学反思与分析
1.本节课将数学的课堂教学与多媒体技术有机结合，充分发挥几何画板在直观表现、反馈灵活、交互生成等方面的优势。
在学生探究过程中，把学生探究的思维过程以生动形象的图象变化呈现在学生面前，使学生体验形象与抽象的关系，对学生大胆的猜测进行了及时有效的直观验证。学生获得了成功的喜悦，更增强了学习数学的信心和深入探究数学问题的勇气。在确定点C的运动轨迹的过程中，通过几何画板演示，学生体验到随着∠CAB和∠CBA的数据的不断变化，点C位置也随之变化的整个过程。最终形成的运动轨迹——圆，初步体验直角坐标系中点的运动变化的思想。如果把圆的形成过程仅通过学生或老师的语言描述，抽象的概念无法形成表象，学生看不到实像，就形不成认识。而几何画板却起到了画龙点睛的作用。从教学效果来看，这节数学课与几何画板的整合是必要的、合理的。几何画板的指南针的作用，不仅激发了学生的学习兴趣，同时也提高了学生的数学思维能力、敢于创新和勇于探究的意识。
2.预设与生成是数学课堂教学中“静”与“动”的对立统一。课前预设是教学规划实施的蓝本，动态生成是课堂教学的点睛之作。
布卢姆说过：“人们无法预料教学所产生的成果的全部范围，如果没有教学预料不到的成果，教学也就不成为艺术了。”在自主、合作、探究的学习理念指引下，学生往往会大胆置疑，提出有争议性、有探究价值的生成性问题，针对学生抛出的远离教学主线的“任意球”，教师应及时抓住，或回应或反击或再击，进行组织、参与、引导。使师生双方真正沉浸在自主、合作、探究的学习氛围中。伴随着新课改的理念，给予学生更多的空间，抓住瞬间的美丽，把欣然而至的精彩留住。■
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”