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课程改革以来数学课堂教学的生活化、情境化、活动化、探究化等得到人们的认同与实施，为数学课堂教学增添了新的活力与动力。然而课堂教学形式多样与丰富的背后却出现了知识与技能未能有效完成，过程与方法未能有效落实，情感、态度、价值观未能有效提升的教学低效现象，提高数学课堂教学有效性已成为当前数学课程改革中的一个重要的热点问题。因此，反思数学教学中存在的低效现象，探寻如何切实对数学知识进行深化与处理，使数学的教学形式与内容均符合学生的认知规律，体现数学的特征与本质，是提高数学课堂教学有效性的根本与关键。
一、数学知识处理存在的低效现象
1.知识目标低浅化
数学课程改革中删除了一些繁、难、偏、旧的数学知识，提高了教学的活动性、过程性、情感性等要求，致使有些教师认为教学从现实情境入手，学生能做题、会算法、可判别，学生喜欢，就算达到教学目标了，教学缺少数学思想与方法的渗透，通常使学生会计算但往往不懂算理，会解题但往往不会数学地思考，会解决数学问题但往往不会解决现实问题等，造成数学知识学习的肤浅与低效。从表面上看，数学知识是由问题、定义、定理、规则等不同类型的知识构成的，但数学更深层次的结构与内容，如数学的方法、思想、思维、哲理等往往都蕴含在这些定义、定理、规则之中，数学知识与数学思想方法之间是“毛”与“皮”的关系，前者是后者的载体。低层次的、缺少数学思想方法的数学教学是培养不出学生的数学素养、培养不出学生用数学的思维看问题的能力与智慧的。
2.知识探究无果化
新课程实施中对过程性目标及研究性学习的强调，误使一些教师仅重过程，一节课下来只有过程而没有结果的现象在数学的课堂教学中不断出现，造成课堂教学的“无果而终”。
3.知识结构松散化
当下大部分数学教材在知识的呈现与设置上多采取螺旋上升的方式，有些内容的处理较注重学生的认知规律，导致数学课堂教学中数学知识的结构特征变得谈化与隐蔽，甚至是缺失。如小学数学的统计部分内容，一般的实验教材大概有8到11册设置统计的内容，有的一册书上只设置一课时，虽然一些教师在用教材教学时对有关的教学内容进行了处理，但对大部分数学教师来说，往往按教材设置的脉络进行教学，在一些数学课堂教学中看不到数学知识的结构，知识体系松散，数学知识的结构及其功能在教学中得不到体现，致使数学课堂教学低效。
4.知识重难点单一化
学生是学习的主体，让不同的学生获得不同的数学，关注学生的主体性、因材施教等理念在课程改革中得到了教师的认同，但翻阅教案，观察数学的课堂教学不难发现，一节课的教学重难点是根据数学知识的逻辑难度来呈现与设置，而不是根据具体的学生个体来探寻教学的重难点，造成教学重难点的单一。如此预设与实施的课堂教学对一部分学生是有效的，但对另一部分学生则是低效或无效的。不同的学生，在各自不同的家庭中成长，学生的知识经验、学习方式、心理准备等方面都存在着一定的差异，使他们的数学知识水平参差不齐，学习难点各不相同。单一的重难点只能照顾一部分学生的个性认知特征，对另一部分学生来说不可能进行有效的因学施教，因人施教。
5.知识兴趣外在化
数学课程改革强调数学知识的生活化、情境化、游戏化，注重多媒体技术在课堂教学中的应用，从一定程度上改变了传统数学教学方式枯燥、单调的现象，给数学教学增添了新的活力。但这些教学手段或技术对数学知识的学习来说，主要是运用外在的技术与方法来激发学生学习数学的外在兴趣。如果仅局限于此，从长远的观点来看，往往是低效的。兴趣作为求知的先导与学习的动力，具有内在兴趣与外在兴趣之分，外在兴趣与内在兴趣相比是短效的、是激发学生迈向知识殿堂的第一步，让学生继续迈进，使学生由趣入迷，要用数学知识本身的内在规律与特征激发学生学习数学的兴趣，兴趣的激发往往比学习本身更重要。
二、提高数学课堂教学有效性的知识性处理策略
教学内容决定教学形式，数学知识的有效性无疑是数学课堂教学有效性的最基本、最重要的条件与保证之一。从教学目标的角度来看，知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观的三维目标应以知识和技能为主线，过程与方法以及情感态度与价值观都是以知识为载体来实现的[1]。从心理学的角度来看，专家思维和解决问题的能力之所以高，并不是由于他们有一套一般的“思维技巧”或思维策略，而是因为他们有一整套组织得很好的知识，这些知识支持他们进行计划和有谋略的思维[2]。因此，教学要以知识学习的有效性为根本，要采取必要的策略使教学内容的处理与呈现方式符合学生的学习规律，体现数学的特性与本质，使课堂教学中的数学知识能成功引起、维持和促进学生的有意义学习，以有效提高数学知识的育人价值。
1.思想方法主导化，提升课堂教学的品质
数学思想方法是数学知识的深层结构，要着手这一层次的结构来设计数学教学，即使对内容较浅显的小学数学来说，也蕴藏着的丰富的数学思想方法。数学家张景中先生曾指出：“小学数学内容尽管简单，里面却蕴含了一些深刻的数学思想……许多数学思想是可以早期渗透的”。《数学课程标准》也明确提出要使学生“获得必需的数学思想方法”。因此，教师在数学教学时对数学概念、规则、公式等处理要从数学思想方法的角度考虑，对数学习题的选择与设计也要用数学的思想方法去创设，以数学的思想方法为主要的引导因素，设计有关教学内容与过程，挖掘出数学知识背后所蕴含的数学思想、数学观点等，让学生体悟、领会、理解，以达到更高层次、更有效的数学教学，提升课堂教学的有效性与育人品质。
如在分数的概念、大小比较、约分等教学时始终利用图形进行解释、说明、推理等，以数形结合的思想方法为主線设计与引导学生学的过程。在算术的四则运算教学中，可设计一个数不变，另一个数变化，得数变化且有规律性的练习，不断让学生领悟与理解函数思想，这样从低年级的简单整数运算、分数运算，再到高年级的正比例、反比例等相关的知识用函数的思想方法设计、联系，使知识脉络化，自始至终地体现函数的思想方法，使学生在获得知识的同时，从更高层面上获得数学的思想方法，使数学教学的有效性、数学教学的育人价值得到提升。 2.探究全程化，体现数学化的思维过程
探究学习作为课堂中的一种学习方式，主要是指教师不把现成结论告诉学生，而是学生自己在教师指导下自主发现问题、探究问题、获得结论的过程。有探究无结果，认为探究性学习只需重视过程，是“过程教育”、“不太在乎知识”，实则是把教学方法与教学内容相脱离，孤立进行探究过程技能的训练，其结果必然演变为徒有形式的机械练习或无理论指导的盲目摸索，因而需要加以摒弃[3]。
数学课堂教学中的探究一般包括以下环节：观察分析事实或现象→抽象出有意义的数学问题→归纳与提出数学猜测→验证或证明数学结论→给出事实与现象的数学解释。数学探究中既要体现数学知识的生成与发展，又要关注数学结论的重要性，体现出数学探究的全程化，体现出课堂教学中数学探究的内容、方法和手段这三种要素及其相互制约关系，让学生在知识发生过程中感悟、理解、形成结论，体现数学化的思维过程，再在结论的指导下运用，实现知识的发展，达到数学探究的过程价值与结果价值的平衡。
3.内容结构化，注重数学知识的系统特征
数学知识有很强的结构性与系统性。布尔巴基学派认为数学主要研究各种数学结构的特征，结构关系比组成结构的元素更重要，并提出数学的基本结构有代数结构、拓扑结构、序结构三种。一般说来，数学知识结构是由数学概念和命题构成的数学知识体系，它以公理化、符号化的方式反映了人类对世界数量关系和空间形式的认识成果，是科学真理的客观反映。数学知识的这种结构化、系统性的特征对学生学习数学，对学生认识数学的特征都有重要的影响。
虽然中小学数学的结构化水平较低，但广义一点来说，即使小学数学教学中的一些知识模块，如算术、认识图形、概率与统计等都是一个结构。以自然数为例，其实我们重点研究的并不是每个具体的数是什么，而是这些数之间的结构关系——和、差、积、商等（计算就是找关系，任两个自然数通过某种关系对应了第三个数），各种算法恰恰是这些结构关系的具体表述。布鲁纳曾提出学习某一门学科，就要掌握这门学科的基本结构，在数学教学中较好的应用数学的结构关系、系统整体等特性，能从系统的角度提高数学课堂教学的效益，避免因数学知识结构松散导致的数学教学的低效现象。
4.重难点层次化，强调个性化的数学知识基础
造成数学教学重难点单一化现象的主要原因是仅从数学知识的内在逻辑来考虑教学的设计，这样一节课所存在的重难点一般是唯一的。但每一个学生都是一个独特的人，由于受不同遗传因素、社会环境、家庭条件的影响，已具有自己独特的认知风格；每一个学生也都是一个具体的人，在数学学习上有自己的数学观念、数学知识基础、数学活动经验等。因此从学生的角度来讲教学的重难点是不同的，是有差异的。教师在教学时不要唯一的强调数学知识方面的重难点，而要关注不同的学生存在的不同问题，关注不同学生所具有的不同的数学知识基础，要从学生的角度来看学习的重难点，关注学生数学知识基础的个性化，要给学生提出自己存在问题的机会与空间。
目前，义务教育阶段的中小学生大部分已就近入学，学校均衡发展的政策方针已实施，导致同一班级学生的异质化现象加大，数学学习的认知水平的差别增大，因此重难点的多元化处理，分层次的教学与评价显得更加重要与必要。否则对一部分学生来说在课堂教学中将产生重难点的偏离，造成数学教学的低效。
5.认知失调化，提高数学知识的内在兴趣
数学逻辑关系的推理与递进，数学知识的抽象与统一等都会不同程度地引起学生的认知失调，从而激发学生寻求认知与心理平衡的动力与兴趣。美国心理学家利昂·费斯汀格（Leon Festinger）认为在一般情况下，人们都有维持自己的观点或信念一致性的需要，以保持心理平衡，如果人们的观念出现了前后不一致或相互矛盾时，就会产生认知上的失调，这时人的心理会出现紊乱或不安，就会力求通过重新组织或改变自己的认知结构，以达到新的认知上的平衡。这也就是说，学生在遇到数学逻辑矛盾时有消除或减少认知失调的内在需求，为此会采取各种途径努力使自己的认知协调一致，并且主动地避免可能增加失调的情境和信息，从而主动地产生数学认知的动力与兴趣。
三、反思
在课堂教学中数学知识既是学生学习的目标，又是学生发展的手段，对数学知识的深化与处理是提高数学课堂教学有效性的基点。数学知识有学术形态与教育形态两种形式，前者按照逻辑演绎方式进行形式化的表述，显示出一种“冰冷的美丽”，后者则是依照人的认知规律使人容易接受的陈述，呈现为火热的思考过程。在数学课堂教学中对数学知识的处理要注重二者的转化与均衡，偏于一隅往往会导致数学教学的低效或无效，要使学生在“火热的”数学思考中生成“冰冷的美丽”，让学生因数学的求知而善于解决问题，因数学的求知而变得更有智慧，因数学的求知而变得更有人格魅力。
参考文献
[1] 余文森．课堂教学有效性的探索．教育评论，2006（6）．
[2] [美]布兰思福特.人是如何學习的——大脑、心理、经验及学校.程可拉译.上海：华东师范大学出版社，2002．
[3] 徐学福，宋乃庆．20世纪探究教学理论的发展及启示.西南师范大学学报（人文杜告科学版），2001（4）．
[4] 张奠宙，李旭辉．关于数学知识的学术形态和教育形态．数学教学，2007（8）．
（责任编辑 刘永庆）
一、数学知识处理存在的低效现象
1.知识目标低浅化
数学课程改革中删除了一些繁、难、偏、旧的数学知识，提高了教学的活动性、过程性、情感性等要求，致使有些教师认为教学从现实情境入手，学生能做题、会算法、可判别，学生喜欢，就算达到教学目标了，教学缺少数学思想与方法的渗透，通常使学生会计算但往往不懂算理，会解题但往往不会数学地思考，会解决数学问题但往往不会解决现实问题等，造成数学知识学习的肤浅与低效。从表面上看，数学知识是由问题、定义、定理、规则等不同类型的知识构成的，但数学更深层次的结构与内容，如数学的方法、思想、思维、哲理等往往都蕴含在这些定义、定理、规则之中，数学知识与数学思想方法之间是“毛”与“皮”的关系，前者是后者的载体。低层次的、缺少数学思想方法的数学教学是培养不出学生的数学素养、培养不出学生用数学的思维看问题的能力与智慧的。
2.知识探究无果化
新课程实施中对过程性目标及研究性学习的强调，误使一些教师仅重过程，一节课下来只有过程而没有结果的现象在数学的课堂教学中不断出现，造成课堂教学的“无果而终”。
3.知识结构松散化
当下大部分数学教材在知识的呈现与设置上多采取螺旋上升的方式，有些内容的处理较注重学生的认知规律，导致数学课堂教学中数学知识的结构特征变得谈化与隐蔽，甚至是缺失。如小学数学的统计部分内容，一般的实验教材大概有8到11册设置统计的内容，有的一册书上只设置一课时，虽然一些教师在用教材教学时对有关的教学内容进行了处理，但对大部分数学教师来说，往往按教材设置的脉络进行教学，在一些数学课堂教学中看不到数学知识的结构，知识体系松散，数学知识的结构及其功能在教学中得不到体现，致使数学课堂教学低效。
4.知识重难点单一化
学生是学习的主体，让不同的学生获得不同的数学，关注学生的主体性、因材施教等理念在课程改革中得到了教师的认同，但翻阅教案，观察数学的课堂教学不难发现，一节课的教学重难点是根据数学知识的逻辑难度来呈现与设置，而不是根据具体的学生个体来探寻教学的重难点，造成教学重难点的单一。如此预设与实施的课堂教学对一部分学生是有效的，但对另一部分学生则是低效或无效的。不同的学生，在各自不同的家庭中成长，学生的知识经验、学习方式、心理准备等方面都存在着一定的差异，使他们的数学知识水平参差不齐，学习难点各不相同。单一的重难点只能照顾一部分学生的个性认知特征，对另一部分学生来说不可能进行有效的因学施教，因人施教。
5.知识兴趣外在化
数学课程改革强调数学知识的生活化、情境化、游戏化，注重多媒体技术在课堂教学中的应用，从一定程度上改变了传统数学教学方式枯燥、单调的现象，给数学教学增添了新的活力。但这些教学手段或技术对数学知识的学习来说，主要是运用外在的技术与方法来激发学生学习数学的外在兴趣。如果仅局限于此，从长远的观点来看，往往是低效的。兴趣作为求知的先导与学习的动力，具有内在兴趣与外在兴趣之分，外在兴趣与内在兴趣相比是短效的、是激发学生迈向知识殿堂的第一步，让学生继续迈进，使学生由趣入迷，要用数学知识本身的内在规律与特征激发学生学习数学的兴趣，兴趣的激发往往比学习本身更重要。
二、提高数学课堂教学有效性的知识性处理策略
教学内容决定教学形式，数学知识的有效性无疑是数学课堂教学有效性的最基本、最重要的条件与保证之一。从教学目标的角度来看，知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观的三维目标应以知识和技能为主线，过程与方法以及情感态度与价值观都是以知识为载体来实现的[1]。从心理学的角度来看，专家思维和解决问题的能力之所以高，并不是由于他们有一套一般的“思维技巧”或思维策略，而是因为他们有一整套组织得很好的知识，这些知识支持他们进行计划和有谋略的思维[2]。因此，教学要以知识学习的有效性为根本，要采取必要的策略使教学内容的处理与呈现方式符合学生的学习规律，体现数学的特性与本质，使课堂教学中的数学知识能成功引起、维持和促进学生的有意义学习，以有效提高数学知识的育人价值。
1.思想方法主导化，提升课堂教学的品质
数学思想方法是数学知识的深层结构，要着手这一层次的结构来设计数学教学，即使对内容较浅显的小学数学来说，也蕴藏着的丰富的数学思想方法。数学家张景中先生曾指出：“小学数学内容尽管简单，里面却蕴含了一些深刻的数学思想……许多数学思想是可以早期渗透的”。《数学课程标准》也明确提出要使学生“获得必需的数学思想方法”。因此，教师在数学教学时对数学概念、规则、公式等处理要从数学思想方法的角度考虑，对数学习题的选择与设计也要用数学的思想方法去创设，以数学的思想方法为主要的引导因素，设计有关教学内容与过程，挖掘出数学知识背后所蕴含的数学思想、数学观点等，让学生体悟、领会、理解，以达到更高层次、更有效的数学教学，提升课堂教学的有效性与育人品质。
如在分数的概念、大小比较、约分等教学时始终利用图形进行解释、说明、推理等，以数形结合的思想方法为主線设计与引导学生学的过程。在算术的四则运算教学中，可设计一个数不变，另一个数变化，得数变化且有规律性的练习，不断让学生领悟与理解函数思想，这样从低年级的简单整数运算、分数运算，再到高年级的正比例、反比例等相关的知识用函数的思想方法设计、联系，使知识脉络化，自始至终地体现函数的思想方法，使学生在获得知识的同时，从更高层面上获得数学的思想方法，使数学教学的有效性、数学教学的育人价值得到提升。 2.探究全程化，体现数学化的思维过程
探究学习作为课堂中的一种学习方式，主要是指教师不把现成结论告诉学生，而是学生自己在教师指导下自主发现问题、探究问题、获得结论的过程。有探究无结果，认为探究性学习只需重视过程，是“过程教育”、“不太在乎知识”，实则是把教学方法与教学内容相脱离，孤立进行探究过程技能的训练，其结果必然演变为徒有形式的机械练习或无理论指导的盲目摸索，因而需要加以摒弃[3]。
数学课堂教学中的探究一般包括以下环节：观察分析事实或现象→抽象出有意义的数学问题→归纳与提出数学猜测→验证或证明数学结论→给出事实与现象的数学解释。数学探究中既要体现数学知识的生成与发展，又要关注数学结论的重要性，体现出数学探究的全程化，体现出课堂教学中数学探究的内容、方法和手段这三种要素及其相互制约关系，让学生在知识发生过程中感悟、理解、形成结论，体现数学化的思维过程，再在结论的指导下运用，实现知识的发展，达到数学探究的过程价值与结果价值的平衡。
3.内容结构化，注重数学知识的系统特征
数学知识有很强的结构性与系统性。布尔巴基学派认为数学主要研究各种数学结构的特征，结构关系比组成结构的元素更重要，并提出数学的基本结构有代数结构、拓扑结构、序结构三种。一般说来，数学知识结构是由数学概念和命题构成的数学知识体系，它以公理化、符号化的方式反映了人类对世界数量关系和空间形式的认识成果，是科学真理的客观反映。数学知识的这种结构化、系统性的特征对学生学习数学，对学生认识数学的特征都有重要的影响。
虽然中小学数学的结构化水平较低，但广义一点来说，即使小学数学教学中的一些知识模块，如算术、认识图形、概率与统计等都是一个结构。以自然数为例，其实我们重点研究的并不是每个具体的数是什么，而是这些数之间的结构关系——和、差、积、商等（计算就是找关系，任两个自然数通过某种关系对应了第三个数），各种算法恰恰是这些结构关系的具体表述。布鲁纳曾提出学习某一门学科，就要掌握这门学科的基本结构，在数学教学中较好的应用数学的结构关系、系统整体等特性，能从系统的角度提高数学课堂教学的效益，避免因数学知识结构松散导致的数学教学的低效现象。
4.重难点层次化，强调个性化的数学知识基础
造成数学教学重难点单一化现象的主要原因是仅从数学知识的内在逻辑来考虑教学的设计，这样一节课所存在的重难点一般是唯一的。但每一个学生都是一个独特的人，由于受不同遗传因素、社会环境、家庭条件的影响，已具有自己独特的认知风格；每一个学生也都是一个具体的人，在数学学习上有自己的数学观念、数学知识基础、数学活动经验等。因此从学生的角度来讲教学的重难点是不同的，是有差异的。教师在教学时不要唯一的强调数学知识方面的重难点，而要关注不同的学生存在的不同问题，关注不同学生所具有的不同的数学知识基础，要从学生的角度来看学习的重难点，关注学生数学知识基础的个性化，要给学生提出自己存在问题的机会与空间。
目前，义务教育阶段的中小学生大部分已就近入学，学校均衡发展的政策方针已实施，导致同一班级学生的异质化现象加大，数学学习的认知水平的差别增大，因此重难点的多元化处理，分层次的教学与评价显得更加重要与必要。否则对一部分学生来说在课堂教学中将产生重难点的偏离，造成数学教学的低效。
5.认知失调化，提高数学知识的内在兴趣
数学逻辑关系的推理与递进，数学知识的抽象与统一等都会不同程度地引起学生的认知失调，从而激发学生寻求认知与心理平衡的动力与兴趣。美国心理学家利昂·费斯汀格（Leon Festinger）认为在一般情况下，人们都有维持自己的观点或信念一致性的需要，以保持心理平衡，如果人们的观念出现了前后不一致或相互矛盾时，就会产生认知上的失调，这时人的心理会出现紊乱或不安，就会力求通过重新组织或改变自己的认知结构，以达到新的认知上的平衡。这也就是说，学生在遇到数学逻辑矛盾时有消除或减少认知失调的内在需求，为此会采取各种途径努力使自己的认知协调一致，并且主动地避免可能增加失调的情境和信息，从而主动地产生数学认知的动力与兴趣。
三、反思
在课堂教学中数学知识既是学生学习的目标，又是学生发展的手段，对数学知识的深化与处理是提高数学课堂教学有效性的基点。数学知识有学术形态与教育形态两种形式，前者按照逻辑演绎方式进行形式化的表述，显示出一种“冰冷的美丽”，后者则是依照人的认知规律使人容易接受的陈述，呈现为火热的思考过程。在数学课堂教学中对数学知识的处理要注重二者的转化与均衡，偏于一隅往往会导致数学教学的低效或无效，要使学生在“火热的”数学思考中生成“冰冷的美丽”，让学生因数学的求知而善于解决问题，因数学的求知而变得更有智慧，因数学的求知而变得更有人格魅力。
参考文献
[1] 余文森．课堂教学有效性的探索．教育评论，2006（6）．
[2] [美]布兰思福特.人是如何學习的——大脑、心理、经验及学校.程可拉译.上海：华东师范大学出版社，2002．
[3] 徐学福，宋乃庆．20世纪探究教学理论的发展及启示.西南师范大学学报（人文杜告科学版），2001（4）．
[4] 张奠宙，李旭辉．关于数学知识的学术形态和教育形态．数学教学，2007（8）．
（责任编辑 刘永庆）