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【摘要】本文针对2017年美国波多黎各飓风受灾情况进行分析，开发了一个“DroneGo”空中救灾响应系统。文中综合运用了规划模型对系统进行高效合理的设计，采用线性加权法对模型进行了检验。根据波多黎各各地区预期医疗用品的需求，通过整数规划模型确定出各类型无人机货运湾的最优数量，由穷举法确定出货运集装箱的包装配置。为了按照救援的紧急程度对受灾地区进行救援，我们先进行聚类分析，从经济效益，安全性和供求情况方面考虑，在优化思想基础上，建立针对选址问题的非线性规划模型，从而确定出集装箱的最佳位置。最后，采用线性加权法对模型进行检验，证明了模型的可行性，并且对模型进行了评价和推广。
【关键词】整数规划 聚类分析 非线性规划
【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2020）15-0253-03
1.引言
飓风是一种十分复杂且危害性极大的自然灾害，2017年美国波多黎各遭遇的严重飓风，对当地建筑物，居民生活，通信网络等方面造成了严重的破坏。当飓风出现后，选择科学合理的救援方法和渠道，配备先进的救援装备，实施有效的救援方略，营救幸存者，减少财产损失，是飓风救援的首要任务。随着多功能传感器和航空遥感技术水平的不断提高，无人机装备配置的性能大幅提高，通过无人机可进行灾区医疗用品运送和视频侦查，推动了灾后救援装备的智能化、规模化、产业化，因此对无人机配送问题的研究也得到了国内外学者的广泛关注[1-3]。
建立可移动式灾难响应系统对于应急救援具有重要意义，该系统可以通过无人机舰队进行医疗用品的援助和空中视频侦察工作，经过规范合理地安排，极大提高救援的响应能力。本文以美国波多黎各受灾情况为研究对象，设计一个合理高效的“DroneGo”可移动式灾难响应系统。根据2017年美国波多黎各地区的受灾情况，以及医疗套餐需求情况，根据数学建模的思想[4-8]，设计一支无人机舰队和医疗套餐。同时为最多三个标准ISO集装箱设计相关的包装配置和最佳安放位置，以达到最高效的救援运输方式，使灾难响应系统能够进行医疗套餐的交付和道路网络的视频侦察。
2.基于整数规划的无人机数量集装箱配置模型
根据波多黎各地区的飓风场景要求以及各地区医疗用品的需求，通过整数规划模型确定出各类型无人机货运湾的最优数量。为了尽量减少任何需要缓冲材料的未使用空间，再次通过整数规划模型确定各个型号无人机所需的数量，最后通过组合最优的方式确定三个ISO货运集装箱的包装配置。
2.1各类型无人机货运湾最优数量的确定
首先，据美国医疗中心数据显示医疗套餐MED1，MED2，MED3的需求量分别为7，2，4。
其次我们根据具体数据和信息，得到求解各类型无人机货运湾最优数量的整数规划模型：
其中a为无人机货运湾1型号的数量，b为无人机货运湾2型号的数量，z为无人机货运湾1型号和2型号数量总和，通过实际所给的各类型无人机货运湾的维度可知，1型无人机货运湾的容量为1120，1型无人机货运湾的容量为9600;另外，装载医疗套餐时应限制三个维度不能超出货运湾的维度限制，因此可以得出如（2）式所示的约束条件。
通过LINGO软件求得无人机货运湾1型号的最优数量为1个，无人机货运湾2型号的最优数量为6个。
第三步，各类型无人机最优数量的确定。
首先设A，B，…H型无人机的数量为xi，有效负载质量为mi，有效容量为vi，三个方向的维度分别为li，bi，hi，标准ISO集装箱的有效容量为V，y为剩余空间体积，通过官方数据比较，由于A型号，C型号，H型号的体积大而负载少，运输速度低，运输时间短，因此不考虑这三种型号的无人机的使用。假设无人机与无人机运货湾均只能横向放置在标准ISO货物集装箱内，且要满足未使用空间达到最小，因此目标函数为：
其中（4）式表示运输时必须满足所运输的医疗套餐的重量小于所使用无人机的最大有效负载，（5）式表示医疗套餐的容量小于无人机的最大存储容量，（6）式表示医疗套餐的各个维度小于无人机的维度，（7）式和（8）式表示各类无人机的数量等于所求得的无人机所运载的无人机货运湾各个类型的最优数量。
利用LINDO软件求得，选用一架B型无人机，一架E型无人机，五架F型无人机组成无人机舰队进行救援。
2.2三个ISO货运集装箱的包装配置数量
通过上述模型求解得出的各类型无人机货运湾的最优数量，利用穷举法列举出所有装运的可能情况，经过检验，得到空间利用率最大的配置数量方式为：
ISO集装箱1{B，E，F}，
ISO集装箱2{F，F}，
ISO集装箱3{F，F}，
其中{}中为各类型无人机代号。
3.基于非线性规划的集装箱选址模型
该模型以2.1中模型的求解结果为基础，首先采用聚类算法的思想，以五个交货地点的需求量，道路网络勘查和人口密度为权重因子，进行聚类分析。其次从经济效益，安全性和就近原则和供求情况方面考虑，在优化思想的基础上，建立针对选址问题的非线性规划模型，确定安置三个DroneGo災难响应系统标准ISO集装箱的最佳位置。
3.1聚类中心的确定
首先根据给出的5个交货地区（贾卡多，圣巴勃罗，圣胡安，巴亚蒙，阿雷西博）， 查阅资料分析出交货地区的道路交通情况（本文假设通过地区主干道路的数量衡量道路交通情况），计算出各地区所需要的医疗套餐的数量，并计算出这5个地区了人口密度如表1所示。
其次根据以上的5个指标进行聚类分析：将5个地区按照所选指标划分类别，使得同一类中的元素之间的相似性比其他类的元素的相似性更强。目的在于使类间元素的同质性最大化和类与类间元素的异质性最大化，使聚到同一个数据集中的样本应该有相似之处（在此理解为各个医院或医疗中心的需求相似），而属于不同组的样本无相似之处。由聚类分析法得出：若将这5个地区划分为三类，则贾卡多和阿雷西博分为一类，圣巴勃罗和圣胡安 分为一类，巴亚蒙为一类，结果如图1所示。 由此产生三个聚类中心，因此将一个标准ISO集装箱单独安置在巴亚蒙，然后通过选址优化的方法将剩余两个标准ISO集装箱以路径最短的原则安置在最合适的位置。
3.2三个灾难响应系统标准集装箱的最佳位置
首先假设三个标准ISO集装箱最佳位置为（pi，qi）且集装箱日储量为ei（i=1，2）;5家医疗机构的位置为（aj，bj），5家医疗机构所需紧急医疗软件包量为dj（j=1，2，3，4）;最佳位置i向5家医疗机构的运送量为cij，因此B问题的目标函数为：
最佳位置如图2中黄色五角星位置。
4.模型的检验
为了提高波多黎各最佳位置的应急能力，对波多黎各现有的3个最佳位置的应急适应能力进行综合评价，以便为加强波多黎各最佳位置应急能力提供定量依据，采用线性加权法对模型进行检验。根据美国《最佳灾难响应系统所在场所设计规划》的要求，综合考虑以空气质量，地理位置，人均密度3项作为评价指标，以最佳位置的基准与专家学者的意见确定各指标的组合权重，基于线性加权方式，得出最佳位置的综合应急适应能力的评价结果。
4.1 确定最佳位置应急能力评价指标
（1）空气质量相对偏差
空气质量相对偏差是指最佳位置平均空气质量与正常空气质量差异率，即为
（2）地理位置相对偏差
地理位置相对偏差是指最佳位置到东海岸（受灾严重区）距离与中部地区到东海岸距离差异率，即为
（3）人均密度相对偏差
人均密度相对偏差是指最佳位置人口密度与波多黎各的人口密度差异率，即为
4.2 确定应急能力评价指标的权重系数
根据美国《最佳灾难响应系统所在场所设计规划》的要求，综合考虑以空气质量，地理位置，人均密度3项作为评价指标，以最佳位置的基准与专家学者的意见确定各指标的组合权重为0.25，0.25，0.5。
4.3 线性加权综合力评价
根据以上3项指标，按照线性加权法对波多黎各最佳位置进行综合评价，则综合评价函数为：
δ较小，表示其与标准的偏差较小，即该模型的适宜性强。
5.总结
本文的模型不仅仅适用于解决最佳选址问题，它对规划问题的求解都可以起到指导作用。此论文中的模型使用范围非常广泛，不仅可以应用到其他服务性行业的选址和运输方案的确定，例如TPS问题，还可以应用于其他种类的应急设施设置，例如交巡警服务平台的合理调度研究问题，只不过需要考虑的约束条件和相应的目标函数有所不同。因此模型有很好的通用性。
致谢：本文工作受到河南省研究生教育优质课程、河南省大学生创新创业计划项目、理学院教研项目的支持和资助，在此表示感谢。
参考文献：
[1]石梓涵. 无人机物流配送路径及布局优化设计[J]. 电子制作， 2018（23）：60-62+21.
[2]汪芸芳， 刘粉. 无人机配送中心布局优化研究[J]. 中国储运， 2017（12）：122-123.
[3]叶春森， 王雪轩， 时章漫， 黄成成. 人工智能背景下的配送网络优化方法研究[J]. 重庆工商大学学报（自然科学版）， 2018（06）：22-26.
[4]姜启源. 数学模型（第五版）[M]. 北京：高等教育出版社，2018.
[5]李志林. 数学建模与典型案例分析[M]. 北京：化学工业出版社，2006.
[6]潘斌. 数学建模课程[M]. 北京：化學工业出版社，2016.
[7]卓金武. MATLAB数学建模方法与实践. 北京：北京航空航天大学，2018.
[8]钱颂迪. 运筹学[M]. 北京：清华大学出版社，2012.
作者简介：
任雨霞（1998-），女，河南内黄人，主要从事数学与应用数学方面的研究。
李威凌（1998-），男，湖南株洲人，主要从事数学与应用数学方面的研究。
曹建莉（1971-），女，河南巩义人，博士，教授，硕士生导师，主要从事孤立子可积系统、数学模型方面的研究。
【关键词】整数规划 聚类分析 非线性规划
【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2020）15-0253-03
1.引言
飓风是一种十分复杂且危害性极大的自然灾害，2017年美国波多黎各遭遇的严重飓风，对当地建筑物，居民生活，通信网络等方面造成了严重的破坏。当飓风出现后，选择科学合理的救援方法和渠道，配备先进的救援装备，实施有效的救援方略，营救幸存者，减少财产损失，是飓风救援的首要任务。随着多功能传感器和航空遥感技术水平的不断提高，无人机装备配置的性能大幅提高，通过无人机可进行灾区医疗用品运送和视频侦查，推动了灾后救援装备的智能化、规模化、产业化，因此对无人机配送问题的研究也得到了国内外学者的广泛关注[1-3]。
建立可移动式灾难响应系统对于应急救援具有重要意义，该系统可以通过无人机舰队进行医疗用品的援助和空中视频侦察工作，经过规范合理地安排，极大提高救援的响应能力。本文以美国波多黎各受灾情况为研究对象，设计一个合理高效的“DroneGo”可移动式灾难响应系统。根据2017年美国波多黎各地区的受灾情况，以及医疗套餐需求情况，根据数学建模的思想[4-8]，设计一支无人机舰队和医疗套餐。同时为最多三个标准ISO集装箱设计相关的包装配置和最佳安放位置，以达到最高效的救援运输方式，使灾难响应系统能够进行医疗套餐的交付和道路网络的视频侦察。
2.基于整数规划的无人机数量集装箱配置模型
根据波多黎各地区的飓风场景要求以及各地区医疗用品的需求，通过整数规划模型确定出各类型无人机货运湾的最优数量。为了尽量减少任何需要缓冲材料的未使用空间，再次通过整数规划模型确定各个型号无人机所需的数量，最后通过组合最优的方式确定三个ISO货运集装箱的包装配置。
2.1各类型无人机货运湾最优数量的确定
首先，据美国医疗中心数据显示医疗套餐MED1，MED2，MED3的需求量分别为7，2，4。
其次我们根据具体数据和信息，得到求解各类型无人机货运湾最优数量的整数规划模型：
其中a为无人机货运湾1型号的数量，b为无人机货运湾2型号的数量，z为无人机货运湾1型号和2型号数量总和，通过实际所给的各类型无人机货运湾的维度可知，1型无人机货运湾的容量为1120，1型无人机货运湾的容量为9600;另外，装载医疗套餐时应限制三个维度不能超出货运湾的维度限制，因此可以得出如（2）式所示的约束条件。
通过LINGO软件求得无人机货运湾1型号的最优数量为1个，无人机货运湾2型号的最优数量为6个。
第三步，各类型无人机最优数量的确定。
首先设A，B，…H型无人机的数量为xi，有效负载质量为mi，有效容量为vi，三个方向的维度分别为li，bi，hi，标准ISO集装箱的有效容量为V，y为剩余空间体积，通过官方数据比较，由于A型号，C型号，H型号的体积大而负载少，运输速度低，运输时间短，因此不考虑这三种型号的无人机的使用。假设无人机与无人机运货湾均只能横向放置在标准ISO货物集装箱内，且要满足未使用空间达到最小，因此目标函数为：
其中（4）式表示运输时必须满足所运输的医疗套餐的重量小于所使用无人机的最大有效负载，（5）式表示医疗套餐的容量小于无人机的最大存储容量，（6）式表示医疗套餐的各个维度小于无人机的维度，（7）式和（8）式表示各类无人机的数量等于所求得的无人机所运载的无人机货运湾各个类型的最优数量。
利用LINDO软件求得，选用一架B型无人机，一架E型无人机，五架F型无人机组成无人机舰队进行救援。
2.2三个ISO货运集装箱的包装配置数量
通过上述模型求解得出的各类型无人机货运湾的最优数量，利用穷举法列举出所有装运的可能情况，经过检验，得到空间利用率最大的配置数量方式为：
ISO集装箱1{B，E，F}，
ISO集装箱2{F，F}，
ISO集装箱3{F，F}，
其中{}中为各类型无人机代号。
3.基于非线性规划的集装箱选址模型
该模型以2.1中模型的求解结果为基础，首先采用聚类算法的思想，以五个交货地点的需求量，道路网络勘查和人口密度为权重因子，进行聚类分析。其次从经济效益，安全性和就近原则和供求情况方面考虑，在优化思想的基础上，建立针对选址问题的非线性规划模型，确定安置三个DroneGo災难响应系统标准ISO集装箱的最佳位置。
3.1聚类中心的确定
首先根据给出的5个交货地区（贾卡多，圣巴勃罗，圣胡安，巴亚蒙，阿雷西博）， 查阅资料分析出交货地区的道路交通情况（本文假设通过地区主干道路的数量衡量道路交通情况），计算出各地区所需要的医疗套餐的数量，并计算出这5个地区了人口密度如表1所示。
其次根据以上的5个指标进行聚类分析：将5个地区按照所选指标划分类别，使得同一类中的元素之间的相似性比其他类的元素的相似性更强。目的在于使类间元素的同质性最大化和类与类间元素的异质性最大化，使聚到同一个数据集中的样本应该有相似之处（在此理解为各个医院或医疗中心的需求相似），而属于不同组的样本无相似之处。由聚类分析法得出：若将这5个地区划分为三类，则贾卡多和阿雷西博分为一类，圣巴勃罗和圣胡安 分为一类，巴亚蒙为一类，结果如图1所示。 由此产生三个聚类中心，因此将一个标准ISO集装箱单独安置在巴亚蒙，然后通过选址优化的方法将剩余两个标准ISO集装箱以路径最短的原则安置在最合适的位置。
3.2三个灾难响应系统标准集装箱的最佳位置
首先假设三个标准ISO集装箱最佳位置为（pi，qi）且集装箱日储量为ei（i=1，2）;5家医疗机构的位置为（aj，bj），5家医疗机构所需紧急医疗软件包量为dj（j=1，2，3，4）;最佳位置i向5家医疗机构的运送量为cij，因此B问题的目标函数为：
最佳位置如图2中黄色五角星位置。
4.模型的检验
为了提高波多黎各最佳位置的应急能力，对波多黎各现有的3个最佳位置的应急适应能力进行综合评价，以便为加强波多黎各最佳位置应急能力提供定量依据，采用线性加权法对模型进行检验。根据美国《最佳灾难响应系统所在场所设计规划》的要求，综合考虑以空气质量，地理位置，人均密度3项作为评价指标，以最佳位置的基准与专家学者的意见确定各指标的组合权重，基于线性加权方式，得出最佳位置的综合应急适应能力的评价结果。
4.1 确定最佳位置应急能力评价指标
（1）空气质量相对偏差
空气质量相对偏差是指最佳位置平均空气质量与正常空气质量差异率，即为
（2）地理位置相对偏差
地理位置相对偏差是指最佳位置到东海岸（受灾严重区）距离与中部地区到东海岸距离差异率，即为
（3）人均密度相对偏差
人均密度相对偏差是指最佳位置人口密度与波多黎各的人口密度差异率，即为
4.2 确定应急能力评价指标的权重系数
根据美国《最佳灾难响应系统所在场所设计规划》的要求，综合考虑以空气质量，地理位置，人均密度3项作为评价指标，以最佳位置的基准与专家学者的意见确定各指标的组合权重为0.25，0.25，0.5。
4.3 线性加权综合力评价
根据以上3项指标，按照线性加权法对波多黎各最佳位置进行综合评价，则综合评价函数为：
δ较小，表示其与标准的偏差较小，即该模型的适宜性强。
5.总结
本文的模型不仅仅适用于解决最佳选址问题，它对规划问题的求解都可以起到指导作用。此论文中的模型使用范围非常广泛，不仅可以应用到其他服务性行业的选址和运输方案的确定，例如TPS问题，还可以应用于其他种类的应急设施设置，例如交巡警服务平台的合理调度研究问题，只不过需要考虑的约束条件和相应的目标函数有所不同。因此模型有很好的通用性。
致谢：本文工作受到河南省研究生教育优质课程、河南省大学生创新创业计划项目、理学院教研项目的支持和资助，在此表示感谢。
参考文献：
[1]石梓涵. 无人机物流配送路径及布局优化设计[J]. 电子制作， 2018（23）：60-62+21.
[2]汪芸芳， 刘粉. 无人机配送中心布局优化研究[J]. 中国储运， 2017（12）：122-123.
[3]叶春森， 王雪轩， 时章漫， 黄成成. 人工智能背景下的配送网络优化方法研究[J]. 重庆工商大学学报（自然科学版）， 2018（06）：22-26.
[4]姜启源. 数学模型（第五版）[M]. 北京：高等教育出版社，2018.
[5]李志林. 数学建模与典型案例分析[M]. 北京：化学工业出版社，2006.
[6]潘斌. 数学建模课程[M]. 北京：化學工业出版社，2016.
[7]卓金武. MATLAB数学建模方法与实践. 北京：北京航空航天大学，2018.
[8]钱颂迪. 运筹学[M]. 北京：清华大学出版社，2012.
作者简介：
任雨霞（1998-），女，河南内黄人，主要从事数学与应用数学方面的研究。
李威凌（1998-），男，湖南株洲人，主要从事数学与应用数学方面的研究。
曹建莉（1971-），女，河南巩义人，博士，教授，硕士生导师，主要从事孤立子可积系统、数学模型方面的研究。