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学习进阶理论认为，学习进阶从一个较大的时间跨度研究学习者连贯且逐渐深入的思维路径，倡导核心概念学习进阶和关键能力学习进阶的整合。学习进阶的过程是学生松散的生活经验与严谨的数学概念长期博弈的过程，进阶成功的标志是知识的转化和思维品质的提升。对于小学生的数学学习来说，最重要的是发展其数学思维。因此，注重意义构建，促进思维进阶，尤显重要。
一、数形结合，抽象本质
作为一种数学思想方法，数形结合既可以借助数的精确性来阐明形的某些属性，也可以借助形的几何直观性来阐明数与数之间的某种关系。从苏教版小学数学教材编排来看，学生在学习整数除法后，接下来将学习小数除法和分数除法，在“数与代数”领域中，许多知识都关乎算理和算法的理解与掌握，这些规定性的知识学习，如果教师关注意义建构，采取数形结合进行教学，有助于学生真正理解概念，进而掌握算理算法。学生就会逐步脱离教师所创设的学习情境、单位名称等非本质属性，抽象出小数除法、分数除法等数学本质，实现数学学习的本质回归。
一位教师在教学苏教版数学教材五年级上册“小数除法”时，创设了这样一个情境：每片口罩0.7元，共3.5元，能买多少片口罩？在师生列出算式3.5÷0.7之后，教师组织学生开展小组讨论，说一说，你是怎么想的？怎样计算3.5÷0.7？为了帮助学生理解，教师提供了方格图（图略）。
学生动手操作，在视觉、触觉、运动觉协同感知事物的同时，以内部语言展开思维。有的学生从元角分的意义来思考，想35角钱里有几个7角钱;有的学生把小数除法转化为整数除法，想35个0.1里有几个7个0.1;有的学生在方格纸上涂涂画画，结合小数的意义来理解……这些可以帮助学生较好地理解了3.5÷0.7的意义，算理直观明了;另一方面，转化的数学思想方法悄然无声地进入学生的心中。学生很快从3.5÷0.7自觉迁移到0.35÷0.07……教师站在思维发展的高度处理教材，突破了教学的重点与难点，较好地建立了整数除法、小数除法以及除数是一位小数、除数是两位小数的除法计算之间的联系，促进了学生的数学理解，为后续学习分数除法提供了更加有力的支持。
同理，在教学苏教版数学教材五年级上册“解决问题的策略——一一列举”时，教师可先出示例题：“王大叔用22根1米长的木条围成一个长方形花圃，怎样围面积最大？”教师要求学生在弄清题意后，利用已有的解决问题的策略来尝试解决问题。很多学生会想到采用列举的策略直接列式（此时列举没有顺序，是零乱的），也有的学生想到画图的策略、列表整理的策略等，教师组织学生上台展示，不难发现，有的学生就采用了一一列举的策略，通过画图，将这个长方形花圃的长与宽一一对应，面积也就一一对应起来，学生直观地看到，当长方形的长是6米、宽是5米时，花圃的面积最大。此时，教师利用课件出示了采用列表整理的策略，并要求学生结合左右两幅图认真思考：从整体来看，你有什么发现？
学生发现：当长方形的长和宽越接近时，长方形的面积越大。有的学生甚至猜想：如果修改长方形周长的数据，有可能得到一个正方形，而正方形的面积是最大的……
由此可见，教师创设一定的问题情境，可以帮助学生联系已有知识经验来解决问题。但真正的学习从学生发现和提出问题开始，不断产生问题也成为学习的动力。设计螺旋上升式的问题链，从横向上看，可以让不同层次的学生都能参与思考。尽管最初的列举没有顺序，有的学生甚至写不完整，但在比较中就有了发现，在修正中就产生了学习的需要，明白一一列举了才能不重复、不遗漏的道理。从纵向上看，教师可以让学生的思维不断爬坡，对问题的理解不断加深，对其策略才有较为深刻的印象。当学生自觉脱离问题情境，领悟其实质，抽象其本质，在形成了大量表象的基础上，展开理性想象，在具有一定结构的问题链中思考，问题链就成为思维发展的台阶，学生的学科关键能力得以螺旋上升，数学思维得以进阶。
二、多元表征，感知意义
所谓的数学多元表征，是指将同一个数学学习对象可以有叙述性（言语化表征）和描绘性（视觉化表征）两种本质不同的表征形式。在日常数学教学活动中，如果教师运用实物、模型、符号、语言、操作、情境、图形等多种表征形式来支持数学活动，对数学过程进行科学表述，那无疑有助于学生对数学概念的理解，促进思维进阶。
在教学苏教版数学教材五年级下册“用字母表示数”时，学生亲历由数字表示数到用字母表示数、由日常语言表示数量关系到同符号语言来表示数量关系的抽象过程，是学生数学思维发展的一次跨越。如何理解“用字母既可以表示不变的数量，又可以用来表示变化的数量，既可以表示已知的数量，还可以表示未知的数量”是教学难点，学生只有正确理解这个难点，才能感受用字母表示数的意义和价值。为此，笔者设计了这样一个操作活动：请你画图表示出a×4，并在小组里交流，说说它表示什么意思？学生通过独立思考，有了自己的想法。
生1：一支铅笔的价格为a元，4支铅笔的总价为a×4元。
生2：一块饼干的质量为a千克，4块饼干的总质量为a×4千克。
生3：一本数学书的价格为a元，4本数学书的总价为a×4元。
生4：一条线段长a厘米，4条线段的總长为a×4厘米。
从学生的想法中不难发现：有的学生用a表示一支铅笔的单价，那么4a就表示4支铅笔的总价。有的学生用a表示一块饼干的质量，那么4a就表示4块饼干的总质量。也有的学生用a表示一条线段的长度，那么4a就表示4条线段的总长度……从数量、单价、总价或者速度、时间、路程等数量关系分析入手，学生通过多元表征，初步感知了“用字母表示数”的意义，对数的理解自然上升到了更高的水平。
在日常数学教学活动中，笔者发现，数学的多元表征是包括了数学文字、公式、概念、性质的“数”，以及涵盖了模型、图形、图像的“形”。在小学数学概念教学中，多元表征非常重要。在探索“和与积的奇偶性”这一规律时，教师可以先出示课前导学单（如图1），要求学生自主探索：任意写两个不是0的自然数，看看它们的和是奇数还是偶数？同时，采用画一画的方式来说明其中的道理，通过观察加数的奇偶性以及和的奇偶性，你有什么发现？ 在任务驱动下，学生通过举例（如图2），初步猜想：偶数+偶数一定等于偶数吗？奇数+奇数一定等于偶数吗？有了猜想后，如何来解释其中的要义呢？
有的學生用图形来表征，有的学生用文字来解释，还有的学生用小棒、用符号来解释（如图3），结合学生原生态的作品，教师采用课件演示，让学生明白其中的道理：为什么“偶数+偶数一定是偶数，奇数+奇数一定是偶数，奇数+偶数一定是奇数”？
课至此，我们发现，学生经过独立思考、小组自主探究与合作交流，了解了两个数或几个数的和的奇偶性，有了自己的猜想，再经历举例、观察、猜想、多元表征后的验证等数学活动过程，得出自己的结论，感受由具体到抽象、由特殊到一般的探索发现方法，从一个新的角度丰富了对奇数和偶数意义的认识，感受了数学规律的多样性和趣味性，进一步发展了符号意识，促进了数学思考。
三、自主勾连，促进思维
史宁中教授指出：数学素养的培养，特别是创新人才的培养，是“悟”出来的，而不是“教”出来的。因为数学的结果是“看”出来的，而不是“证”出来的。要培育学生的学科关键能力，日常的数学课堂教学应以问题导学为有效路径，巧妙设计变式问题，引导学生在观察、比较中，加深对概念的理解、对公式的掌握，打破知识之间的壁垒，把握知识之间的联系和区别，帮助学生形成良好的认知结构，促进思维发展。
例如，在苏教版数学教材五年级上册“多边形的面积”单元整理与复习课中，笔者真正站在学习者的角度，从结构化的视角设计教学，先组织学生开展探究性学习：想象一下，上底和下底的和为8、高为3的梯形，它的上底和下底可能是多少？请你画一画。进而启发学生思考：能否用梯形的面积公式推导出其他图形的面积公式来呢？
开放题推动了学生对问题的深层次理解，学生对这些平面图形面积公式推导过程有了深层次思考。学生观察：当梯形的上底从3变为0，下底不变，高不变，那么，梯形就变成了一个三角形，而面积公式是同样适用的。同理，不难发现，当梯形逐渐变为平行四边形、长方形、正方形（特殊的长方形）时，梯形的面积计算公式同样适用。
至此，笔者并不满足于学生的发现，出示了图4，让学生从左往右观察，再从右往左观察，说一说有什么发现。
从左往右看，根据长方形面积计算公式可以推导出其他图形的面积公式。而从右往左看，我们在探究一种新的图形面积计算时，都是把它转化成已经学过的图形来进行探究的，复杂的梯形面积公式同样也适用于其他多边形的面积计算……通过引领学生整体分析，让学生既见树木，又见森林。从梯形面积计算的推导过程，自觉勾连其他多边形的面积计算公式，完善了平面图形面积之间的联系，转化的数学思想方法也深入学生心中，培育学生的高阶思维能力也落到了实处。
还有一位教师在教学苏教版数学教材六年级上册“百分数的意义”时，采用了先学后教、顺学而导的形式，要求学生预习后自主提问：百分数可能与原来学的哪些知识有联系，有怎样的联系呢？学生经过独立思考，有了自己的想法。
有的学生认为，分数、百分数都表示了两个数的倍数关系。有的学生认为，百分数是一种特殊的分数。有的学生认为，百分数与分数联系非常多，两者是有不同的。
学生有了之前“认识整数、认识分数、认识小数”等数学活动经验，结合丰富的生活学习经验，在认识百分数的意义时，自觉地勾连知识，迁移方法。有的学生提出了“生活中有没有十分数？”“还有没有千分数、万分数”等问题。有的学生提出了“百分数与小数的互相转化，百分数问题的计算”等问题。最后，师生一起总结全课，形成如下板书（如图5）。
弗赖登塔尔曾反复强调，学习数学的唯一正确方法是“再创造”。因而，教师的任务是引导和帮助学生自觉勾连知识，适当进行“再创造”。而数学上的发现和创造，不能仅依靠事实材料，更需要有适切的问题去引领，使学生能够逐渐逼近知识的本质，进而提高探索能力，提升他们的学科关键能力。学生对百分数有着天然的疑问，简单问题通过自学或者小组内讨论便能解决，课堂展示的是梳理出来的主要问题、核心问题。比如百分数的意义、百分数的作用、百分数的好处、百分数与分数的联系、百分数的特点等。随着对问题的聚焦和深入研讨，学生感受到了百分数的简洁性，体会到了百分数在生活中的诸多价值……基于这样的理解与组织教学，学生再把百分数与十分数、千分数、万分数等自主勾连，自觉对比和联系，对百分数的学习会更加深刻和全面。
数学是思维的体操，教师要认真研读每一个教学内容，读懂每一个学生，丰富教学资源，精心设计教学流程，注重意义构建，关注学习力的提高，促进学生解决问题能力的提升和思维的进阶，从而实现高品质的教学。
（作者单位：江苏省张家港市梁丰小学）
作者简介
陈惠芳，江苏省特级教师，正高级教师。苏州市小学数学名教师，苏州市第二届教育领军人才，苏州市优秀教育工作者，现任职于江苏省张家港市梁丰小学。近年来，倡导“基于生态理念的对话式教学”的教学主张，追求“真实·自然·对话·生长”的课堂教学风格。先后主持或参与多项全国、江苏省、苏州市教科规划课题。在《人民教育》等期刊发表教育文章500多篇，出版个人专著两本。
一、数形结合，抽象本质
作为一种数学思想方法，数形结合既可以借助数的精确性来阐明形的某些属性，也可以借助形的几何直观性来阐明数与数之间的某种关系。从苏教版小学数学教材编排来看，学生在学习整数除法后，接下来将学习小数除法和分数除法，在“数与代数”领域中，许多知识都关乎算理和算法的理解与掌握，这些规定性的知识学习，如果教师关注意义建构，采取数形结合进行教学，有助于学生真正理解概念，进而掌握算理算法。学生就会逐步脱离教师所创设的学习情境、单位名称等非本质属性，抽象出小数除法、分数除法等数学本质，实现数学学习的本质回归。
一位教师在教学苏教版数学教材五年级上册“小数除法”时，创设了这样一个情境：每片口罩0.7元，共3.5元，能买多少片口罩？在师生列出算式3.5÷0.7之后，教师组织学生开展小组讨论，说一说，你是怎么想的？怎样计算3.5÷0.7？为了帮助学生理解，教师提供了方格图（图略）。
学生动手操作，在视觉、触觉、运动觉协同感知事物的同时，以内部语言展开思维。有的学生从元角分的意义来思考，想35角钱里有几个7角钱;有的学生把小数除法转化为整数除法，想35个0.1里有几个7个0.1;有的学生在方格纸上涂涂画画，结合小数的意义来理解……这些可以帮助学生较好地理解了3.5÷0.7的意义，算理直观明了;另一方面，转化的数学思想方法悄然无声地进入学生的心中。学生很快从3.5÷0.7自觉迁移到0.35÷0.07……教师站在思维发展的高度处理教材，突破了教学的重点与难点，较好地建立了整数除法、小数除法以及除数是一位小数、除数是两位小数的除法计算之间的联系，促进了学生的数学理解，为后续学习分数除法提供了更加有力的支持。
同理，在教学苏教版数学教材五年级上册“解决问题的策略——一一列举”时，教师可先出示例题：“王大叔用22根1米长的木条围成一个长方形花圃，怎样围面积最大？”教师要求学生在弄清题意后，利用已有的解决问题的策略来尝试解决问题。很多学生会想到采用列举的策略直接列式（此时列举没有顺序，是零乱的），也有的学生想到画图的策略、列表整理的策略等，教师组织学生上台展示，不难发现，有的学生就采用了一一列举的策略，通过画图，将这个长方形花圃的长与宽一一对应，面积也就一一对应起来，学生直观地看到，当长方形的长是6米、宽是5米时，花圃的面积最大。此时，教师利用课件出示了采用列表整理的策略，并要求学生结合左右两幅图认真思考：从整体来看，你有什么发现？
学生发现：当长方形的长和宽越接近时，长方形的面积越大。有的学生甚至猜想：如果修改长方形周长的数据，有可能得到一个正方形，而正方形的面积是最大的……
由此可见，教师创设一定的问题情境，可以帮助学生联系已有知识经验来解决问题。但真正的学习从学生发现和提出问题开始，不断产生问题也成为学习的动力。设计螺旋上升式的问题链，从横向上看，可以让不同层次的学生都能参与思考。尽管最初的列举没有顺序，有的学生甚至写不完整，但在比较中就有了发现，在修正中就产生了学习的需要，明白一一列举了才能不重复、不遗漏的道理。从纵向上看，教师可以让学生的思维不断爬坡，对问题的理解不断加深，对其策略才有较为深刻的印象。当学生自觉脱离问题情境，领悟其实质，抽象其本质，在形成了大量表象的基础上，展开理性想象，在具有一定结构的问题链中思考，问题链就成为思维发展的台阶，学生的学科关键能力得以螺旋上升，数学思维得以进阶。
二、多元表征，感知意义
所谓的数学多元表征，是指将同一个数学学习对象可以有叙述性（言语化表征）和描绘性（视觉化表征）两种本质不同的表征形式。在日常数学教学活动中，如果教师运用实物、模型、符号、语言、操作、情境、图形等多种表征形式来支持数学活动，对数学过程进行科学表述，那无疑有助于学生对数学概念的理解，促进思维进阶。
在教学苏教版数学教材五年级下册“用字母表示数”时，学生亲历由数字表示数到用字母表示数、由日常语言表示数量关系到同符号语言来表示数量关系的抽象过程，是学生数学思维发展的一次跨越。如何理解“用字母既可以表示不变的数量，又可以用来表示变化的数量，既可以表示已知的数量，还可以表示未知的数量”是教学难点，学生只有正确理解这个难点，才能感受用字母表示数的意义和价值。为此，笔者设计了这样一个操作活动：请你画图表示出a×4，并在小组里交流，说说它表示什么意思？学生通过独立思考，有了自己的想法。
生1：一支铅笔的价格为a元，4支铅笔的总价为a×4元。
生2：一块饼干的质量为a千克，4块饼干的总质量为a×4千克。
生3：一本数学书的价格为a元，4本数学书的总价为a×4元。
生4：一条线段长a厘米，4条线段的總长为a×4厘米。
从学生的想法中不难发现：有的学生用a表示一支铅笔的单价，那么4a就表示4支铅笔的总价。有的学生用a表示一块饼干的质量，那么4a就表示4块饼干的总质量。也有的学生用a表示一条线段的长度，那么4a就表示4条线段的总长度……从数量、单价、总价或者速度、时间、路程等数量关系分析入手，学生通过多元表征，初步感知了“用字母表示数”的意义，对数的理解自然上升到了更高的水平。
在日常数学教学活动中，笔者发现，数学的多元表征是包括了数学文字、公式、概念、性质的“数”，以及涵盖了模型、图形、图像的“形”。在小学数学概念教学中，多元表征非常重要。在探索“和与积的奇偶性”这一规律时，教师可以先出示课前导学单（如图1），要求学生自主探索：任意写两个不是0的自然数，看看它们的和是奇数还是偶数？同时，采用画一画的方式来说明其中的道理，通过观察加数的奇偶性以及和的奇偶性，你有什么发现？ 在任务驱动下，学生通过举例（如图2），初步猜想：偶数+偶数一定等于偶数吗？奇数+奇数一定等于偶数吗？有了猜想后，如何来解释其中的要义呢？
有的學生用图形来表征，有的学生用文字来解释，还有的学生用小棒、用符号来解释（如图3），结合学生原生态的作品，教师采用课件演示，让学生明白其中的道理：为什么“偶数+偶数一定是偶数，奇数+奇数一定是偶数，奇数+偶数一定是奇数”？
课至此，我们发现，学生经过独立思考、小组自主探究与合作交流，了解了两个数或几个数的和的奇偶性，有了自己的猜想，再经历举例、观察、猜想、多元表征后的验证等数学活动过程，得出自己的结论，感受由具体到抽象、由特殊到一般的探索发现方法，从一个新的角度丰富了对奇数和偶数意义的认识，感受了数学规律的多样性和趣味性，进一步发展了符号意识，促进了数学思考。
三、自主勾连，促进思维
史宁中教授指出：数学素养的培养，特别是创新人才的培养，是“悟”出来的，而不是“教”出来的。因为数学的结果是“看”出来的，而不是“证”出来的。要培育学生的学科关键能力，日常的数学课堂教学应以问题导学为有效路径，巧妙设计变式问题，引导学生在观察、比较中，加深对概念的理解、对公式的掌握，打破知识之间的壁垒，把握知识之间的联系和区别，帮助学生形成良好的认知结构，促进思维发展。
例如，在苏教版数学教材五年级上册“多边形的面积”单元整理与复习课中，笔者真正站在学习者的角度，从结构化的视角设计教学，先组织学生开展探究性学习：想象一下，上底和下底的和为8、高为3的梯形，它的上底和下底可能是多少？请你画一画。进而启发学生思考：能否用梯形的面积公式推导出其他图形的面积公式来呢？
开放题推动了学生对问题的深层次理解，学生对这些平面图形面积公式推导过程有了深层次思考。学生观察：当梯形的上底从3变为0，下底不变，高不变，那么，梯形就变成了一个三角形，而面积公式是同样适用的。同理，不难发现，当梯形逐渐变为平行四边形、长方形、正方形（特殊的长方形）时，梯形的面积计算公式同样适用。
至此，笔者并不满足于学生的发现，出示了图4，让学生从左往右观察，再从右往左观察，说一说有什么发现。
从左往右看，根据长方形面积计算公式可以推导出其他图形的面积公式。而从右往左看，我们在探究一种新的图形面积计算时，都是把它转化成已经学过的图形来进行探究的，复杂的梯形面积公式同样也适用于其他多边形的面积计算……通过引领学生整体分析，让学生既见树木，又见森林。从梯形面积计算的推导过程，自觉勾连其他多边形的面积计算公式，完善了平面图形面积之间的联系，转化的数学思想方法也深入学生心中，培育学生的高阶思维能力也落到了实处。
还有一位教师在教学苏教版数学教材六年级上册“百分数的意义”时，采用了先学后教、顺学而导的形式，要求学生预习后自主提问：百分数可能与原来学的哪些知识有联系，有怎样的联系呢？学生经过独立思考，有了自己的想法。
有的学生认为，分数、百分数都表示了两个数的倍数关系。有的学生认为，百分数是一种特殊的分数。有的学生认为，百分数与分数联系非常多，两者是有不同的。
学生有了之前“认识整数、认识分数、认识小数”等数学活动经验，结合丰富的生活学习经验，在认识百分数的意义时，自觉地勾连知识，迁移方法。有的学生提出了“生活中有没有十分数？”“还有没有千分数、万分数”等问题。有的学生提出了“百分数与小数的互相转化，百分数问题的计算”等问题。最后，师生一起总结全课，形成如下板书（如图5）。
弗赖登塔尔曾反复强调，学习数学的唯一正确方法是“再创造”。因而，教师的任务是引导和帮助学生自觉勾连知识，适当进行“再创造”。而数学上的发现和创造，不能仅依靠事实材料，更需要有适切的问题去引领，使学生能够逐渐逼近知识的本质，进而提高探索能力，提升他们的学科关键能力。学生对百分数有着天然的疑问，简单问题通过自学或者小组内讨论便能解决，课堂展示的是梳理出来的主要问题、核心问题。比如百分数的意义、百分数的作用、百分数的好处、百分数与分数的联系、百分数的特点等。随着对问题的聚焦和深入研讨，学生感受到了百分数的简洁性，体会到了百分数在生活中的诸多价值……基于这样的理解与组织教学，学生再把百分数与十分数、千分数、万分数等自主勾连，自觉对比和联系，对百分数的学习会更加深刻和全面。
数学是思维的体操，教师要认真研读每一个教学内容，读懂每一个学生，丰富教学资源，精心设计教学流程，注重意义构建，关注学习力的提高，促进学生解决问题能力的提升和思维的进阶，从而实现高品质的教学。
（作者单位：江苏省张家港市梁丰小学）
作者简介
陈惠芳，江苏省特级教师，正高级教师。苏州市小学数学名教师，苏州市第二届教育领军人才，苏州市优秀教育工作者，现任职于江苏省张家港市梁丰小学。近年来，倡导“基于生态理念的对话式教学”的教学主张，追求“真实·自然·对话·生长”的课堂教学风格。先后主持或参与多项全国、江苏省、苏州市教科规划课题。在《人民教育》等期刊发表教育文章500多篇，出版个人专著两本。