摘 要 本文中首先给出充要条件的概念及一些判断方法；然后根据具体实例找出学生对充要条件判断失误的原因，接着给出一个容易忽略的题型，一题多用，最后讲到另一 种特例，挖掘题目中的隐含条件，并将之推广到整个中学数学的教学过程中。
　　关键词 充分条件 必要条件 充要条件 等价
　　一、关于充要条件的概念
　　若p€H！q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件
　　若p€H#q，则称p是q的充要条件
　　若p€H！q，且q≠>p则称p是q的充分不必要条件
　　若p≠>q，且p€H！q则称p是q的必要不充分条件
　　若q<≠>p，则称p是q的既不充分也不必要条件
　　二、教师如何教
　　充要条件的判断，是近年来高考和会考试卷中的热门题，也是学生学习的难点。结合解析几何和高中试验课本数学第1册关于充要条件的内容，现归纳出如下三种解法：
　　1、定义法
　　（1）若A€H！B则A是B的充分条件，B是A的必要条件。
　　（2）若A€H！B且B≠>A，则A是B的充分非必要条件；B是A的必要非充分条件。
　　（3）若A€H#B，则A是B的充要条件。
　　（4）若A≠>B且B≠>A，则A既非B的充分条件，也非B的必要条件。
　　2、逆否法（命题法）
　　（1）若A€H！B，则A是B的必要条件；B是A的充分条件。
　　（2）若A€H！B且B≠>A，则A是B的必要非充分条件；B是A的充分非必要条件。
　　（3）若A€H#B，则A是B的充分条件。
　　（4）若A≠>B且B≠>A，则A既非B的充分条件，也非B的必要条件。
　　3、集合法
　　记条件A、B对应的集合分别为A、B，则有
　　（1）若A€H誃（或B€H誂），则A是B的充分条件，B是A的必要条件。
　　（2）若A€H袯（或B€H誂），则A是B的充分非必要条件；B是A的必要非充分条件。
　　（3）若A=B（或B=A即B€H誂且A€H誃），则A是B的充要条件。
　　三、如何在实际中应用
　　其实充要条件不仅仅是就题论题，还可以“一题多用”。
　　命题 已知A，B是△ABC的两个内角，则sinA>sinB€H#AB>。设R是△ABC外接圆的半径，sinA>sinB€H#2RsinA>2RsinBa>bA>B命题为真。
　　利用上述命题，有时可以比较方便地解决一些三角形的问题。
　　四、在整个教学过程中如何教，应用此理论
　　在高中数学课本中，介绍了“充分条件”和“必要条件”的概念，教学上往往是局限于能判断给定命题中条件的充分性或必要性。实际上，有许多题目本身并未出现“充分条件”和“必要条件”的字样，但在解题思考中，自觉应用“充分条件”，“必要条件”的概念，却成为加深理解，避免误入歧途的重要保证。学生在解题思考中经常会因忽视“充分条件”和“必要条件”的应用而导致错解。
　　例1已知：2≤a+b≤4， 1≤a-b≤2，求4a-2b的范围？
　　错解 由题设条件2≤a+b≤4 （1）， 1≤a-b≤2 （2）
　　则（1）+（2）得 3≤2a≤6，即6≤4a≤12 （3），
　　由（2）得 -2≤-a+b-≤1 （4）， （1）+（4） 得 0≤2b≤3，
　　即 -3≤-2b≤0 （5），（3）+（5） 得 3≤4a≤-2b≤12.
　　分析 本题的正确答案为54a-2b10。而上面解法的每个步骤，都应用了不等式的性质，却为什么得到错误的答案呢？错误的根本原因，是没有运用“充分条件”和“必要条件”的概念，区分不等式的性质中，哪些可以用来解不等式，而哪些可以用来证明不等式。
　　证明不等式（或等式），只要求每一步的结论是前提的必要条件；但解不等式（或方程）要求的是同解过程，即必须是：“充分且必要”条件，不能只是必要条件。
　　正解 令4a-2b=m（a+b）+n（a-b），易得m=1，n=3
　　1≤a-b≤2， 3≤3（a-b）≤6 （1） 又 2≤a+b≤4 （2）
　　（1）+（2）得 5≤4a≤-2b≤10
　　上述例题错解在学生的解题中是经常可以见到的，这样的例子很多。题目本身并未现“充分条件”或“必要条件”的字样，但整个解题过程却都要应用它进行思考，可见它的重要性。
　　参考文献：
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　　[3]濮安山.中学数学教学论[M].哈尔滨工业大学出版社，2002.
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　　[5]刘婷.论文可以这样写[J].中学数学教学参考，2004（3）.
　　[6]徐照武.一个充要条件及其应用[J].数学通讯，2002（10）.
　　（作者单位：湖北省襄阳职业技术学院）