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[编者按]“小学数学小课题研究的开发设计与实施策略研究”是南京师范大学附属新城小学承担的江苏省中小学教学重点课题，主要根据不同学段学生的生活经验与数学现实，选择与学生日常生活联系紧密的话题、课题展开数学小课题研究活动，培养学生的应用意识与创新意识，发展学生的数学素养。为使一线教师系统地了解该校这一教学实践的研究进展，熟悉数学小课题研究的具体操作，本刊将陆续发表该课题研究成果，以飨读者。
[摘要]近年来，随着研究性学习的风靡，数学小课题研究已成为一线教师关注的话题之一。数学小课题研究可改善学生的数学学习质态，让学生真正参与知识的形成、发展以及应用的过程，从而激发学习兴趣、促进数学理解、积累活动经验、提升核心素养，为师生的教与学打开另一扇窗。
[关键词]小课题 学习兴趣 数学理解 核心素养
任何一门学科教学的基本任务除了显性的知识技能传授之外，也承载着促进学生养成适应终身发展和社会发展所需要的必备品格和关键能力的重要使命。不同版本的教材在编写时已充分考虑到这一点，融基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验为一体，但由于种种原因，我们教师面对教材时，重点关注的往往还是外显于教材的知识与技能。为此，我们在现行教材的基础上，根据不同学段学生的生活经验与教学现实，选择一些与学生日常生活联系紧密的话题、课题开展数学研究活动，引导学生主动投入现实的、探索性的数学活动中，让学生走出教材、走出课堂，迎接新的挑战，品尝更多、更大的成功。
“掷骰子游戏”便是数学小课题研究中的内容之一，具体内容如下。
掷骰子游戏
研究目的
1.在掷骰子游戏中感受简单的随机现象；能列出掷骰子游戏中所有可能发生的结果。
2.通过试验、游戏等活动，感受同时掷两枚骰子，点数之和出现的可能性是有大小的，并通过观察、比较、推理、交流等活动对可能性的大小作出个性化描述，积累基本的数据分析经验。
研究過程
1.掷一掷
全班同学四人为一小组，其中A，B两名同学掷骰子，A先掷，B后掷，C负责数掷的次数，D负责将掷的结果记录在表格（如图1）中。比如，A掷2，B掷3，则在表格中第3行与第4列相交的空格（图1中“★”的位置）用画“正”字的方法记录1次。如此进行下去，两名同学各掷108次。
2.算一算
计算出每次掷的两枚骰子点数的和，并统计和为2，3，4，…，12的次数各是多少，填在表1中。
3.画一画
根据统计出的数据，制作条形统计图（如图2）。
4.说一说
和是几出现的次数最多？你有什么发现？
5.算一算
表2中横栏是A掷骰子可能出现的点数，竖栏是B掷骰子可能出现的点数。表中第2列数字是A掷l时，B掷1，2，3，4，5，6时两枚骰子的点数和，请接着将表格填写完整。
6.想一想
仔细观察表格中的数据和前面的实验，你发现了什么？
7.写一写
通过这次研究，你有什么收获？快写下来。
当我们带领学生开展这一小课题研究时，学生兴致盎然，他们在充分试验的基础上根据试验数据绘制出条形统计图，一眼便看出和为7的直条最高，自然是次数最多的。接着在“算一算”环节把同时掷两枚骰子朝上的点数相加出现的36种可能一一列举出来，学生从中很快发现和为7的可能性最大，也就解释了前面的试验结果。
随着社会的进步和人们生活的改善，人的活动空间越来越大，可以选择的机会越来越多，越来越需要随机思想，以便分析、判断，进而作出决策。因此，提前让学生接触简单的随机现象，帮助学生建立初步的随机思想尤为必要。但在一定条件下，重复同样的试验或观察，所得结果是不确定的，以至可能在试验前无法预测试验的结果。但随机现象也不是毫无规律的现象，如果试验重复的次数足够多，在试验结果中是能够看出规律的。而这些又该通过怎样的方式让学生感悟并逐步理解呢？数学小课题研究“掷骰子游戏”对此给出了回答。
回首这一小课题研究过程，最吸引人眼球的是108次“掷骰子”的数学实验。无疑，这种通过观察、操作、试验等实践活动，让学生习得知识、提高技能、积累经验、发展应用意识的学习方式为小学数学教学提供了更大的空间。
一、让数学更加“好玩”
数学大师陈省身先生曾为少年儿童题词——“数学好玩”，不难看出数学在大师心目中的美好印象。而现实中，与学生朝夕相处的数学却往往是烦琐的计算、抽象的公式和法则……究竟是什么遮挡了数学神奇、美妙的一面？原因是多方面的，但数学学习方式较为单一仍是主要原因之一。数学小课题研究通过真实的问题情境，引领学生“做中学”，使学生好玩、好动的天性得以满足，从而主动参与到学习活动中。
关于上述同时掷两枚骰子的问题，在日常教学中，教师带领学生探究这一问题时一般没有任何铺垫，只会列举出同时掷两枚骰子可能出现的36种情况：（1，1），（1，2），（1，3），…，（6，5），（6，6），然后将每种情况中两枚骰子朝上的点数的和计算出来，再在比较中得出答案。这样的过程看似无懈可击，也能使一部分学生明白其中的道理，但无数事实又无情地表明，大部分学生只是知其然，却不知其所以然，最多只是记住了结论。我们教学的对象是小学生，如此纯数学的推理既抽象又乏味，断不是我们期望的教学。而组织学生围绕问题开展掷骰子的游戏，一下子变换了解决问题的视角，从静态的推理变为动态的试验，让学生走到解决问题的前台，真正成为学习的主人，正所谓“实践出真知”，学生在实际动手试验中很快便获得了答案。更为重要的是，这样的活动彻底颠覆了以往课堂教学的固有模式，学生一直是在掷骰子的游戏中感悟知识的来龙去脉，个个兴致高涨、思维敏捷。 因此，“数学好玩”绝不是一句空洞的口号，作为教师，我们应将自己理解的数学用学生喜闻乐见的方式呈现出来，让数学好玩的一面真正彰显，就这一点而言，数学小课题研究正是有效路径之一。可以预见，当一个个新奇的数学小课题研究与精彩的数学实验相遇时，会让所有学生对数学学习充满渴望，而这不正是我们所期待的吗？
二、用实践支撑学生理性地思考问题
众所周知，数学是思维的科学，而理性思考是数学思维能力的核心，自然也是个人素养的重要组成部分。但对于小学生的数学学习而言，仍应从具体经验入手，有效的学习之路应充满具体经验，没有学生自己活动经验作支撑的学习犹如无源之水、无本之木。当然，随着学生年龄的增长、年级的升高，教学活动也不能止于具体经验，而要走向抽象，形成更普遍的认识。
纵观“掷骰子游戏”这一小课题研究的开展过程，首先通过分组掷108次骰子的试验获取真实且丰富的数据，然后加以整理，并根据数据作出判断，让学生初步体会数据中蕴含的规律，培养学生的实验品质。在这一过程中，学生可以进一步感受到尽管随机现象的结果在发生之前不能确定，但只要有充分的数据，就能找出随机现象结果的规律，让学生逐步养成用数据说话的习惯，发展学生的数据分析观念。在此基础上，师生进一步探讨“两个同学同时掷骰子，将朝上的点数相加，和是7的可能性最大”的原因便水到渠成。相信认真实验、善于思考的学生一定会经历从研究前的混沌不清到实验后的豁然开朗的心路历程，进而产生积极的学习情感。
可见，理想的数学教学应基于感性，发展理性，通过生动、形象、有趣的数学实验，使学生获得对数学知识的感性认识，再使这些感性认识向抽象的、理性的数学过渡和发展，并让学生在数学小课题研究的过程中自然而然地养成追根究底的习惯和理性的探索精神。
三、激活学生主动解决问题的意识
当前学生在面临问题时常常表现出惊人的相似之处。他们习惯于选择等待，等待教师的讲解，等待家长的点拨，等待同学的帮助……尽管有时他们眼前就有可以解决问题的工具，尽管解决问题的程序并不复杂。是什么让学生对可以用来解决问题的工具熟视无睹？是什么导致学生主动寻找解决问题策略的意识严重缺失呢？只要静下心来想一想，就不难发现，平时家长、教师包办、代替得太多太多。长此以往，当学生独立面对问题时，他们又怎么会主动寻找解决问题的策略呢？
因此，激活学生主动解决问题的意识成为当务之急。根据学生的年龄特征和学习内容的特点，我们设计出层次不同的数学实验，其中既有完全由教师设计好的数学小课题，学生只需根据既定的研究步骤开展活动；也有教师提供框架的半自主数学小课题研究，学生需根据自身的理解还原具体的研究过程，然后展开研究活动；还有单纯提供具体的问题情境，让学生自主设计研究方案解决问题的开放式数学小课题……学生设计与研究的过程，其实就是他们主动尝试从数学的角度运用所学的知识和方法解决问题的过程。相信随着类似经历的增多，学生主动解决问题的意识也会被悄悄激活。当这种意识逐渐增强，并慢慢形成一种习惯时，它就会成为学生一生取之不尽、用之不竭的财富。因为，这是长效的、可持续发展的，不会因为时间、地点和情境的改变而消失，并最终内化为学生的方法论，有效地提高学生解决问题的能力，提升学生的综合素养。
诚然，学生综合素养的提升是一个系统工程，我们不奢望也不可能仅靠有限的数学小课题研究活动的开展解决所有的问题。我们认为，数学小课题研究可以变革学生的学习观念和学习方式，为学生开辟一條减轻学习负担、培养“带得走”的能力的学习之路，从而让更多的学生乐意并有充沛的精力投入现实的、探索性的数学学习活动中去。
（责任编辑：李佳）
[摘要]近年来，随着研究性学习的风靡，数学小课题研究已成为一线教师关注的话题之一。数学小课题研究可改善学生的数学学习质态，让学生真正参与知识的形成、发展以及应用的过程，从而激发学习兴趣、促进数学理解、积累活动经验、提升核心素养，为师生的教与学打开另一扇窗。
[关键词]小课题 学习兴趣 数学理解 核心素养
任何一门学科教学的基本任务除了显性的知识技能传授之外，也承载着促进学生养成适应终身发展和社会发展所需要的必备品格和关键能力的重要使命。不同版本的教材在编写时已充分考虑到这一点，融基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验为一体，但由于种种原因，我们教师面对教材时，重点关注的往往还是外显于教材的知识与技能。为此，我们在现行教材的基础上，根据不同学段学生的生活经验与教学现实，选择一些与学生日常生活联系紧密的话题、课题开展数学研究活动，引导学生主动投入现实的、探索性的数学活动中，让学生走出教材、走出课堂，迎接新的挑战，品尝更多、更大的成功。
“掷骰子游戏”便是数学小课题研究中的内容之一，具体内容如下。
掷骰子游戏
研究目的
1.在掷骰子游戏中感受简单的随机现象；能列出掷骰子游戏中所有可能发生的结果。
2.通过试验、游戏等活动，感受同时掷两枚骰子，点数之和出现的可能性是有大小的，并通过观察、比较、推理、交流等活动对可能性的大小作出个性化描述，积累基本的数据分析经验。
研究過程
1.掷一掷
全班同学四人为一小组，其中A，B两名同学掷骰子，A先掷，B后掷，C负责数掷的次数，D负责将掷的结果记录在表格（如图1）中。比如，A掷2，B掷3，则在表格中第3行与第4列相交的空格（图1中“★”的位置）用画“正”字的方法记录1次。如此进行下去，两名同学各掷108次。
2.算一算
计算出每次掷的两枚骰子点数的和，并统计和为2，3，4，…，12的次数各是多少，填在表1中。
3.画一画
根据统计出的数据，制作条形统计图（如图2）。
4.说一说
和是几出现的次数最多？你有什么发现？
5.算一算
表2中横栏是A掷骰子可能出现的点数，竖栏是B掷骰子可能出现的点数。表中第2列数字是A掷l时，B掷1，2，3，4，5，6时两枚骰子的点数和，请接着将表格填写完整。
6.想一想
仔细观察表格中的数据和前面的实验，你发现了什么？
7.写一写
通过这次研究，你有什么收获？快写下来。
当我们带领学生开展这一小课题研究时，学生兴致盎然，他们在充分试验的基础上根据试验数据绘制出条形统计图，一眼便看出和为7的直条最高，自然是次数最多的。接着在“算一算”环节把同时掷两枚骰子朝上的点数相加出现的36种可能一一列举出来，学生从中很快发现和为7的可能性最大，也就解释了前面的试验结果。
随着社会的进步和人们生活的改善，人的活动空间越来越大，可以选择的机会越来越多，越来越需要随机思想，以便分析、判断，进而作出决策。因此，提前让学生接触简单的随机现象，帮助学生建立初步的随机思想尤为必要。但在一定条件下，重复同样的试验或观察，所得结果是不确定的，以至可能在试验前无法预测试验的结果。但随机现象也不是毫无规律的现象，如果试验重复的次数足够多，在试验结果中是能够看出规律的。而这些又该通过怎样的方式让学生感悟并逐步理解呢？数学小课题研究“掷骰子游戏”对此给出了回答。
回首这一小课题研究过程，最吸引人眼球的是108次“掷骰子”的数学实验。无疑，这种通过观察、操作、试验等实践活动，让学生习得知识、提高技能、积累经验、发展应用意识的学习方式为小学数学教学提供了更大的空间。
一、让数学更加“好玩”
数学大师陈省身先生曾为少年儿童题词——“数学好玩”，不难看出数学在大师心目中的美好印象。而现实中，与学生朝夕相处的数学却往往是烦琐的计算、抽象的公式和法则……究竟是什么遮挡了数学神奇、美妙的一面？原因是多方面的，但数学学习方式较为单一仍是主要原因之一。数学小课题研究通过真实的问题情境，引领学生“做中学”，使学生好玩、好动的天性得以满足，从而主动参与到学习活动中。
关于上述同时掷两枚骰子的问题，在日常教学中，教师带领学生探究这一问题时一般没有任何铺垫，只会列举出同时掷两枚骰子可能出现的36种情况：（1，1），（1，2），（1，3），…，（6，5），（6，6），然后将每种情况中两枚骰子朝上的点数的和计算出来，再在比较中得出答案。这样的过程看似无懈可击，也能使一部分学生明白其中的道理，但无数事实又无情地表明，大部分学生只是知其然，却不知其所以然，最多只是记住了结论。我们教学的对象是小学生，如此纯数学的推理既抽象又乏味，断不是我们期望的教学。而组织学生围绕问题开展掷骰子的游戏，一下子变换了解决问题的视角，从静态的推理变为动态的试验，让学生走到解决问题的前台，真正成为学习的主人，正所谓“实践出真知”，学生在实际动手试验中很快便获得了答案。更为重要的是，这样的活动彻底颠覆了以往课堂教学的固有模式，学生一直是在掷骰子的游戏中感悟知识的来龙去脉，个个兴致高涨、思维敏捷。 因此，“数学好玩”绝不是一句空洞的口号，作为教师，我们应将自己理解的数学用学生喜闻乐见的方式呈现出来，让数学好玩的一面真正彰显，就这一点而言，数学小课题研究正是有效路径之一。可以预见，当一个个新奇的数学小课题研究与精彩的数学实验相遇时，会让所有学生对数学学习充满渴望，而这不正是我们所期待的吗？
二、用实践支撑学生理性地思考问题
众所周知，数学是思维的科学，而理性思考是数学思维能力的核心，自然也是个人素养的重要组成部分。但对于小学生的数学学习而言，仍应从具体经验入手，有效的学习之路应充满具体经验，没有学生自己活动经验作支撑的学习犹如无源之水、无本之木。当然，随着学生年龄的增长、年级的升高，教学活动也不能止于具体经验，而要走向抽象，形成更普遍的认识。
纵观“掷骰子游戏”这一小课题研究的开展过程，首先通过分组掷108次骰子的试验获取真实且丰富的数据，然后加以整理，并根据数据作出判断，让学生初步体会数据中蕴含的规律，培养学生的实验品质。在这一过程中，学生可以进一步感受到尽管随机现象的结果在发生之前不能确定，但只要有充分的数据，就能找出随机现象结果的规律，让学生逐步养成用数据说话的习惯，发展学生的数据分析观念。在此基础上，师生进一步探讨“两个同学同时掷骰子，将朝上的点数相加，和是7的可能性最大”的原因便水到渠成。相信认真实验、善于思考的学生一定会经历从研究前的混沌不清到实验后的豁然开朗的心路历程，进而产生积极的学习情感。
可见，理想的数学教学应基于感性，发展理性，通过生动、形象、有趣的数学实验，使学生获得对数学知识的感性认识，再使这些感性认识向抽象的、理性的数学过渡和发展，并让学生在数学小课题研究的过程中自然而然地养成追根究底的习惯和理性的探索精神。
三、激活学生主动解决问题的意识
当前学生在面临问题时常常表现出惊人的相似之处。他们习惯于选择等待，等待教师的讲解，等待家长的点拨，等待同学的帮助……尽管有时他们眼前就有可以解决问题的工具，尽管解决问题的程序并不复杂。是什么让学生对可以用来解决问题的工具熟视无睹？是什么导致学生主动寻找解决问题策略的意识严重缺失呢？只要静下心来想一想，就不难发现，平时家长、教师包办、代替得太多太多。长此以往，当学生独立面对问题时，他们又怎么会主动寻找解决问题的策略呢？
因此，激活学生主动解决问题的意识成为当务之急。根据学生的年龄特征和学习内容的特点，我们设计出层次不同的数学实验，其中既有完全由教师设计好的数学小课题，学生只需根据既定的研究步骤开展活动；也有教师提供框架的半自主数学小课题研究，学生需根据自身的理解还原具体的研究过程，然后展开研究活动；还有单纯提供具体的问题情境，让学生自主设计研究方案解决问题的开放式数学小课题……学生设计与研究的过程，其实就是他们主动尝试从数学的角度运用所学的知识和方法解决问题的过程。相信随着类似经历的增多，学生主动解决问题的意识也会被悄悄激活。当这种意识逐渐增强，并慢慢形成一种习惯时，它就会成为学生一生取之不尽、用之不竭的财富。因为，这是长效的、可持续发展的，不会因为时间、地点和情境的改变而消失，并最终内化为学生的方法论，有效地提高学生解决问题的能力，提升学生的综合素养。
诚然，学生综合素养的提升是一个系统工程，我们不奢望也不可能仅靠有限的数学小课题研究活动的开展解决所有的问题。我们认为，数学小课题研究可以变革学生的学习观念和学习方式，为学生开辟一條减轻学习负担、培养“带得走”的能力的学习之路，从而让更多的学生乐意并有充沛的精力投入现实的、探索性的数学学习活动中去。
（责任编辑：李佳）