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【摘要】数学的特点决定了数学的实用价值和教育价值,高师计算教学应该重视理性分析,构建合理的计算模式,严格进行有效的机械化训练,突出师范性；高师计算教学要挖掘计算的特点,发挥计算的优势,培养学生的优秀素质。
【关键词】计算教学体系 高师数学 算法机械化
【中图分类号】G642.0 【文献标识码】A 【文章编号】1009-9646(2008)10(b)-0154-02
1 引言
高等数学,高等代数,概率论和数理统计等问题的研究需要大量的计算,算法机械化是计算的一个显著特点,那么计算教学就一定是机械的吗？在高师阶段,究竟从哪几个方面去建立计算教学体系是本文探讨的重点。
计算来源于人们生产、生活、学习以及科学研究的需要,从中国古代的《九章算术》到现在的电子计算机的出现、发展,人们从来没有停止过对于计算的研究,追寻人类对于计算研究的足迹,我们可以得到有益的启示,计算方法体现着数学特有的逻辑结构,蕴含着算法化思想的精华。
高师教学本身面臨着双重任务,高师数学的师范性特征使得其教学的思路、方法也具有示范性,因此建立合理的计算教学体系就应该充分利用计算的内容和特点,充分挖掘计算的教育潜能,培养学生优良的素质,突出师范性,同时强调创新思维。
2 算法体系在历史发展中的积极意义
谈到计算,离不开对算法的研究,即面对纷繁复杂的现实生活,有些现象可以用数学方法去解决,优良的算法就是有效解决问题的一条捷径。《九章算术》是中国古代数学研究的典型代表作之一,它对生活实践中遇到的实际问题进行归纳、分类,在此基础上建立了一系列代数方程,并且给出了相应各类方程的解法,构建出合理、完整的体系。“位值制十进位记数法” 把读写多位数变成了数码符号的有序排列,只用10个符号,表示所有的自然数,同时为加减乘除机械化的四则运算奠定了坚实的基础,是中国古代数学家对人类文明的又一重大贡献。尽管中国古代数学的突出特点是算法化和机械化,但是以算法为中心的特点和思想内容,体现了中国文化实用技艺的价值观,产生了数学研究的一种重要方式,仍然不失为世界数学发展的源泉之一,对现代数学的发展也有重要的启发意义。
算法体系的数学并不是中国古代所独有的,大家所熟悉的拉普拉斯变换、△算子,就具有算法特点;回顾笛卡尔建立的解析几何体系:将几何问题转化为代数问题,然后运用机械化的算法程序去解决;再看微积分的相关计算,从计算运动物体的瞬时速度以及求曲线的切线引入导数概念,从求曲边图形的面积引入定积分,把一类具有共同特点的问题归类,寻求一种统一的算法,对于快速解决问题积极有效。在当代,计算机技术的普及和广泛应用已经可以进行数学发现、验证甚至证明,这也是算法化、机械化精髓的重要价值体现。可见算法体系显然具有独特性、合理性,也具有科学性、文化性,孕育着丰富的数学思想方法。
3 建立合理的高师计算教学体系
3.1 重视理性分析
3.1.1 计算概念分析
高师数学计算概念的内涵是非常丰富的,例如矩阵加法和行列式加法,定积分加法、线性变换加法等都各有不同的内涵,,不同的加法定义是由被加客体的运算需要决定的,必须熟悉每一个运算的定义,分析不同运算概念的合理性,才能明确算法要求。另外各个计算概念在整个知识体系中的位置及其作用也是分析内容,例如数域P上n维线性空间定义的线性变换与n级矩阵有一一对应关系,且加法、乘法、数量乘法、逆变换分别与矩阵加法、乘法、数量乘法、逆矩阵有一一对应关系,所以线性变换的运算可化归为矩阵运算;二次型与对称矩阵有一一对应关系,所以化二次型为标准形可以通过矩阵的合同变换来实现,这样矩阵运算的地位、作用显然十分重要。构建计算概念的知识板块,弄清计算概念的内涵和外延,揭示各个计算概念在知识网络中的意义,透彻的分析各个计算概念之间的关系,才算真正懂得了各个计算概念的本质属性,这是正确计算的必要保证。
3.1.2 计算中的结构分析
每一类计算各有特点,用什么方法去分析它的结构是重要的,例如矩阵乘法,Am与Bns才可乘,并且乘积一定是m×s矩阵;对于n级行列式来说,对它的结构分析是否得当,则是计算成败的关键。再例如下面一组题目:计算AB与BA,
显然,这组计算题是有针对性的设计,(1)、(2)可以充分说明矩阵乘法不满足交换律,(3)还可以说明两个非零矩阵的乘积可以是零矩阵以及矩阵乘法不满足消去律,这样的计算就可以排除思维定式的干扰,消除其消极作用。在高师计算教学中,经常稍微变动一下数字或变换一下结构,可以得到一系列的计算题,从结构变化中,从计算过程或结果中进行比较分析,得到一些有用的结论或说明一些有意义的问题。
3.1.3 分析数学符号在运算中的作用
数学符号系统就是一种特有的语言系统,用来传播数学思想,必须重视数学符号所蕴含的信息,计算才有意义,例如加法“”与定义在数域P上的数乘运算“”,其实质是一种映射法则,至少它有三个层面的意义,第一,运算的结果是唯一的;第二,这两种运算是构成线性空间的重要元素,这种运算的意义使得形如一盘散沙的集合有一个稳定的结构;第三,给多项式“文字”的含义提供了直观模型(多项式函数、线性变换的多项式等等),给出了最好的解释,这种简洁的符号语言深刻描绘了两种运算的实质,内涵十分丰富。
3.2 重视算法机械化构建合理的计算模式
计算教学中机械化模式几乎是不可避免的,因为计算有太明显的机械化特征,中国古代的算法机械化一度对社会的发展、进步起到了促进作用,使我们终生受益,因此,机械化并不可怕,关键是我们如何理性的处理这个教学环节。
3.2.1 重视机械化算法的形成过程
形成算法的过程,是一个理性思维的过程:基本遵从由特殊到一般,从具体到抽象的过程,例如从4阶行列式的形式特点可以归纳出n阶行列式的规律和算法特点;算法的形成过程是比较、分析、综合、抽象的过程,需要遵从认知规律,通过化归把陌生、复杂的问题转化为熟悉、简单的问题,在已有认知基础上选择合理的算法;注意到计算题的灵活性,要多方位思考,从算法形成过程中获得启迪,养成优秀思维品质。
3.2.2 选择机械化模式的最佳形式
面对计算问题,经常存在多种情形:解决同一个问题有多种算法以及看似不同的问题可以用一个固定的模式,例如求逆矩阵,用初等变换求逆矩阵通常是最简单和最有效的方法,但如果已知矩阵A以及伴随矩阵等相互间的关系,那么从这个大系统中进行结构分析才是解决这类计算问题的最佳模式。寻求解决问题的基本规律,寻求简单直观的计算方法,建立有较强操作性的最佳计算模式是进行机械化训练的基础。
3.2.3 进行有效的机械化训练
尽管许多计算模式的建立经历了分析、综合等过程,但是算法机械化仍是计算教学的一项重要任务,需要强化练习,练习的过程一般由易到难、循序渐进,要能够举一反三;考虑到高师数学的教学特点,要先做好示范性,即板书工整、规范,有层次,要清晰、美观,步骤严谨、完整;高师师范性的特点还要求示范在不同问题情形中,怎样进行分析,从中选择合理的计算方法。机械化训练的任务是当学生遇到计算问题时能做出迅速、合理的反映,能准确的写出运算过程;养成学生勤于思考的好习惯以及深刻的洞察力是机械化训练成功的关键。机械化训练的最终目标是使学生能在解决计算问题的过程中获得理智的分析问题、综合运用知识有效的解决问题的能力。
3.3 提供有价值线索
数学的特点决定了数学是思维训练的极好材料,计算教学并不例外,从宏观角度:要提供明确的计算目标,选择能正确理解计算内容的语言转换形式,正确定位;要找准思维的起点,运用合适的数学方法来指引正确计算方向。对于具体的计算题则考虑计算与哪些概念有联系？计算的几个关键点是什么？需要做哪些准备工作保证书写过程的完整性？怎样的书写顺序使得条理清楚?计算需要哪些理论依据,怎样安排它们的逻辑顺序最合理？等等。即教学中要注重策略指导,提供具有思考性的线索,保证计算的合理、准确、快速。
3.4 提供自由发展的空间
现代教育的理念提倡以学生为主体,这种思想应该贯穿在数学课堂教学的始终,也是计算教学的一个重要立足点。鼓励学生自主探索的教学方式很多,可以把确定性的计算题改编成探究题,可以变换题目的条件、问题,使学生有猜想的机会,有尝试的时间,有过程和结果的对比等等。计算题是丰富的,可以给学生探究提供足够的材料;计算题是变化多端的,使得自主探究这种方式成为可能,计算教学要使学生在探究中形成一种正确的学习观,在探究中逐步形成学数学、用数学的意识。
3.5 感悟数学美
数学美是数学的特点决定的,数学美无处不在,因此,感悟数学美,体现数学美也是数学计算教学始终如一的目标。计算概念结构严谨,充分体现建立每一个数学知识点的合理性;运算法则有许多共性,表现的是数学知识的统一性特征;运算方法在机械化中蕴含着灵活性和创造力;运算过程遵循严格的逻辑顺序,数学的和谐美、简洁美、统一美、逻辑美在计算的每一个环节体现出来。
4 结语
追寻数学的本源,建立合理的高师计算教学体系,就应该重视理性分析,构建合理的计算模式,严格进行有效的机械化训练,突出师范性;数学的特点决定了数学的教育价值,高师计算教学要发挥计算的优势,展示数学方法之巧妙、精美,体现数学的理性精神,达到师范性训练的双重目标。
参考文献
[1] 邓东皋,孙小礼,张祖贵.数学与文化[M].北京:北京大学出版社,2005年6月.
[2] 郑毓信,王宪昌,蔡仲. 数学文化学[M].四川:四川教育出版社,2000年1月.
[3] 刘云章.数学符号学概论[M].安徽:安徽教育出版社,1993年3月.
【关键词】计算教学体系 高师数学 算法机械化
【中图分类号】G642.0 【文献标识码】A 【文章编号】1009-9646(2008)10(b)-0154-02
1 引言
高等数学,高等代数,概率论和数理统计等问题的研究需要大量的计算,算法机械化是计算的一个显著特点,那么计算教学就一定是机械的吗？在高师阶段,究竟从哪几个方面去建立计算教学体系是本文探讨的重点。
计算来源于人们生产、生活、学习以及科学研究的需要,从中国古代的《九章算术》到现在的电子计算机的出现、发展,人们从来没有停止过对于计算的研究,追寻人类对于计算研究的足迹,我们可以得到有益的启示,计算方法体现着数学特有的逻辑结构,蕴含着算法化思想的精华。
高师教学本身面臨着双重任务,高师数学的师范性特征使得其教学的思路、方法也具有示范性,因此建立合理的计算教学体系就应该充分利用计算的内容和特点,充分挖掘计算的教育潜能,培养学生优良的素质,突出师范性,同时强调创新思维。
2 算法体系在历史发展中的积极意义
谈到计算,离不开对算法的研究,即面对纷繁复杂的现实生活,有些现象可以用数学方法去解决,优良的算法就是有效解决问题的一条捷径。《九章算术》是中国古代数学研究的典型代表作之一,它对生活实践中遇到的实际问题进行归纳、分类,在此基础上建立了一系列代数方程,并且给出了相应各类方程的解法,构建出合理、完整的体系。“位值制十进位记数法” 把读写多位数变成了数码符号的有序排列,只用10个符号,表示所有的自然数,同时为加减乘除机械化的四则运算奠定了坚实的基础,是中国古代数学家对人类文明的又一重大贡献。尽管中国古代数学的突出特点是算法化和机械化,但是以算法为中心的特点和思想内容,体现了中国文化实用技艺的价值观,产生了数学研究的一种重要方式,仍然不失为世界数学发展的源泉之一,对现代数学的发展也有重要的启发意义。
算法体系的数学并不是中国古代所独有的,大家所熟悉的拉普拉斯变换、△算子,就具有算法特点;回顾笛卡尔建立的解析几何体系:将几何问题转化为代数问题,然后运用机械化的算法程序去解决;再看微积分的相关计算,从计算运动物体的瞬时速度以及求曲线的切线引入导数概念,从求曲边图形的面积引入定积分,把一类具有共同特点的问题归类,寻求一种统一的算法,对于快速解决问题积极有效。在当代,计算机技术的普及和广泛应用已经可以进行数学发现、验证甚至证明,这也是算法化、机械化精髓的重要价值体现。可见算法体系显然具有独特性、合理性,也具有科学性、文化性,孕育着丰富的数学思想方法。
3 建立合理的高师计算教学体系
3.1 重视理性分析
3.1.1 计算概念分析
高师数学计算概念的内涵是非常丰富的,例如矩阵加法和行列式加法,定积分加法、线性变换加法等都各有不同的内涵,,不同的加法定义是由被加客体的运算需要决定的,必须熟悉每一个运算的定义,分析不同运算概念的合理性,才能明确算法要求。另外各个计算概念在整个知识体系中的位置及其作用也是分析内容,例如数域P上n维线性空间定义的线性变换与n级矩阵有一一对应关系,且加法、乘法、数量乘法、逆变换分别与矩阵加法、乘法、数量乘法、逆矩阵有一一对应关系,所以线性变换的运算可化归为矩阵运算;二次型与对称矩阵有一一对应关系,所以化二次型为标准形可以通过矩阵的合同变换来实现,这样矩阵运算的地位、作用显然十分重要。构建计算概念的知识板块,弄清计算概念的内涵和外延,揭示各个计算概念在知识网络中的意义,透彻的分析各个计算概念之间的关系,才算真正懂得了各个计算概念的本质属性,这是正确计算的必要保证。
3.1.2 计算中的结构分析
每一类计算各有特点,用什么方法去分析它的结构是重要的,例如矩阵乘法,Am与Bns才可乘,并且乘积一定是m×s矩阵;对于n级行列式来说,对它的结构分析是否得当,则是计算成败的关键。再例如下面一组题目:计算AB与BA,
显然,这组计算题是有针对性的设计,(1)、(2)可以充分说明矩阵乘法不满足交换律,(3)还可以说明两个非零矩阵的乘积可以是零矩阵以及矩阵乘法不满足消去律,这样的计算就可以排除思维定式的干扰,消除其消极作用。在高师计算教学中,经常稍微变动一下数字或变换一下结构,可以得到一系列的计算题,从结构变化中,从计算过程或结果中进行比较分析,得到一些有用的结论或说明一些有意义的问题。
3.1.3 分析数学符号在运算中的作用
数学符号系统就是一种特有的语言系统,用来传播数学思想,必须重视数学符号所蕴含的信息,计算才有意义,例如加法“”与定义在数域P上的数乘运算“”,其实质是一种映射法则,至少它有三个层面的意义,第一,运算的结果是唯一的;第二,这两种运算是构成线性空间的重要元素,这种运算的意义使得形如一盘散沙的集合有一个稳定的结构;第三,给多项式“文字”的含义提供了直观模型(多项式函数、线性变换的多项式等等),给出了最好的解释,这种简洁的符号语言深刻描绘了两种运算的实质,内涵十分丰富。
3.2 重视算法机械化构建合理的计算模式
计算教学中机械化模式几乎是不可避免的,因为计算有太明显的机械化特征,中国古代的算法机械化一度对社会的发展、进步起到了促进作用,使我们终生受益,因此,机械化并不可怕,关键是我们如何理性的处理这个教学环节。
3.2.1 重视机械化算法的形成过程
形成算法的过程,是一个理性思维的过程:基本遵从由特殊到一般,从具体到抽象的过程,例如从4阶行列式的形式特点可以归纳出n阶行列式的规律和算法特点;算法的形成过程是比较、分析、综合、抽象的过程,需要遵从认知规律,通过化归把陌生、复杂的问题转化为熟悉、简单的问题,在已有认知基础上选择合理的算法;注意到计算题的灵活性,要多方位思考,从算法形成过程中获得启迪,养成优秀思维品质。
3.2.2 选择机械化模式的最佳形式
面对计算问题,经常存在多种情形:解决同一个问题有多种算法以及看似不同的问题可以用一个固定的模式,例如求逆矩阵,用初等变换求逆矩阵通常是最简单和最有效的方法,但如果已知矩阵A以及伴随矩阵等相互间的关系,那么从这个大系统中进行结构分析才是解决这类计算问题的最佳模式。寻求解决问题的基本规律,寻求简单直观的计算方法,建立有较强操作性的最佳计算模式是进行机械化训练的基础。
3.2.3 进行有效的机械化训练
尽管许多计算模式的建立经历了分析、综合等过程,但是算法机械化仍是计算教学的一项重要任务,需要强化练习,练习的过程一般由易到难、循序渐进,要能够举一反三;考虑到高师数学的教学特点,要先做好示范性,即板书工整、规范,有层次,要清晰、美观,步骤严谨、完整;高师师范性的特点还要求示范在不同问题情形中,怎样进行分析,从中选择合理的计算方法。机械化训练的任务是当学生遇到计算问题时能做出迅速、合理的反映,能准确的写出运算过程;养成学生勤于思考的好习惯以及深刻的洞察力是机械化训练成功的关键。机械化训练的最终目标是使学生能在解决计算问题的过程中获得理智的分析问题、综合运用知识有效的解决问题的能力。
3.3 提供有价值线索
数学的特点决定了数学是思维训练的极好材料,计算教学并不例外,从宏观角度:要提供明确的计算目标,选择能正确理解计算内容的语言转换形式,正确定位;要找准思维的起点,运用合适的数学方法来指引正确计算方向。对于具体的计算题则考虑计算与哪些概念有联系？计算的几个关键点是什么？需要做哪些准备工作保证书写过程的完整性？怎样的书写顺序使得条理清楚?计算需要哪些理论依据,怎样安排它们的逻辑顺序最合理？等等。即教学中要注重策略指导,提供具有思考性的线索,保证计算的合理、准确、快速。
3.4 提供自由发展的空间
现代教育的理念提倡以学生为主体,这种思想应该贯穿在数学课堂教学的始终,也是计算教学的一个重要立足点。鼓励学生自主探索的教学方式很多,可以把确定性的计算题改编成探究题,可以变换题目的条件、问题,使学生有猜想的机会,有尝试的时间,有过程和结果的对比等等。计算题是丰富的,可以给学生探究提供足够的材料;计算题是变化多端的,使得自主探究这种方式成为可能,计算教学要使学生在探究中形成一种正确的学习观,在探究中逐步形成学数学、用数学的意识。
3.5 感悟数学美
数学美是数学的特点决定的,数学美无处不在,因此,感悟数学美,体现数学美也是数学计算教学始终如一的目标。计算概念结构严谨,充分体现建立每一个数学知识点的合理性;运算法则有许多共性,表现的是数学知识的统一性特征;运算方法在机械化中蕴含着灵活性和创造力;运算过程遵循严格的逻辑顺序,数学的和谐美、简洁美、统一美、逻辑美在计算的每一个环节体现出来。
4 结语
追寻数学的本源,建立合理的高师计算教学体系,就应该重视理性分析,构建合理的计算模式,严格进行有效的机械化训练,突出师范性;数学的特点决定了数学的教育价值,高师计算教学要发挥计算的优势,展示数学方法之巧妙、精美,体现数学的理性精神,达到师范性训练的双重目标。
参考文献
[1] 邓东皋,孙小礼,张祖贵.数学与文化[M].北京:北京大学出版社,2005年6月.
[2] 郑毓信,王宪昌,蔡仲. 数学文化学[M].四川:四川教育出版社,2000年1月.
[3] 刘云章.数学符号学概论[M].安徽:安徽教育出版社,1993年3月.