【摘要】不等现象是现实生活中的常见现象，建立不等关系能够更好地解决实际问题.不等式在高考中是重要的考查内容，常常与几何、函数、方程、概率等内容相结合.高考题大多来源于教材，对一道不等式题目的一题多解、一题多变、教材中的题源以及推广，能够使学生通过解答一道题目了解一类不等式题型，提高学生的解题能力.本文选择2019年高考理科数学（全国卷Ⅰ）中的一道不等式证明题进行简要分析.
　　【关键词】不等式;一题多解;一题多变;推广
　　2019年高考理科数学（全国卷Ⅰ）第23题不等式选讲：
　　23.已知a，b，c为正数，且满足abc=1，证明：
　　（1）1 a 1 b 1 c≤a2 b2 c2;
　　（2）（a b）3 （b c）3 （c a）3≥24.
　　一、对不等式（1）的一题多解、多变、题源及推广
　　（一）对不等式（1）的一题多解
　　对不等式（1）变形的方式有两种：直接将abc=1替换题目中的分子1，或者将不等式左边直接通分.
　　将证明1 a 1 b 1 c≤a2 b2 c2转化为证明a2 b2 c2≥bc ac ab成立.
　　證法1 比较法
　　证明：∵1 a 1 b 1 c=bc ac ab，
　　a2 b2 c2-（bc ac ab）
　　=（a2-2ab b2） （b2-2bc c2） （c2-2ca a2） 2
　　=1 2[（a-b）2 （b-c）2 （c-a）2]≥0，
　　∴bc ac ab≤a2 b2 c2，
　　∴1 a 1 b 1 c≤a2 b2 c2.
　　证法2 综合法
　　证明：∵abc=1，∴1 a 1 b 1 c=bc ac ab.
　　又∵a2 b2≥2ab，b2 c2≥2bc，c2 a2≥2ca.
　　根据不等式性质，三式相加得：
　　2（a2 b2 c2）≥2（ab bc ca），
　　∴ab bc ca≤a2 b2 c2，∴1 a 1 b 1 c≤a2 b2 c2.
　　证法3 分析法
　　证明：∵1 a 1 b 1 c=bc ac ab abc≤a2 b2 c2，
　　∴bc ac ab a2 b2 c2≤abc，
　　bc ac ab a2 b2 c2≤b2 c2 2 a2 c2 2 a2 b2 2 a2 b2 c2=1，
　　∴abc=1，∴1 a 1 b 1 c≤a2 b2 c2.
　　证法4 反证法
　　证明：假设1 a 1 b 1 c≤a2 b2 c2不成立，即
　　证明a2 b2 c2