有许多题目要求出平面直角坐标系中一个三角形或一个四边形的面积，这时关键是求出这个三角形、四边形的各个顶点的坐标.这是解这类问题的重要思路，下面举两个例题说明此类问题：
　　例1 已知一次函数y=-12x+2的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=ax2+bx+c经过点A，B，其对称轴平行于y轴且在y轴的右侧.
　　（1）当a=-12时，抛物线的顶点为M，与x轴的另一交点为N，求经过M，N两点的一次函数的解析式.
　　（2）求四边形AMBN的面积.
　　解 （1）可求得y=-12x+2与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，2）.
　　当a=-12时，过A，B两点的抛物线解析式为y=-12x2+32x+2.
　　令y=0，可求得x1=-1，x2=4，则N（-1，0），顶点M32，258，从而可得过M，N两点的一次函数的解析式为y=54x+54.
　　（2）作ME⊥AN，E为垂足，则
　　ON=1，OB=2，OE=32，
　　ME=258，AE=52，
　　∴S=S△OBN+S梯形OEMB+S△AEM
　　=12×1×2+12×32×2+258+12×258×52
　　=1+12332+12532=834.
　　说明 本题要求四边形AMBN的面积，则要把A，M，B，N各点坐标求出，然后再把不规则的四边形分割成一些三角形、梯形等规则图形，就可以求出它的面积了.
　　例2 已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于点A(x1,0)，B(x2,0)(x1　　（1）求A，B两点的坐标.
　　（2）求抛物线的解析式及点C的坐标.
　　（3）在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积等于四边形ACMB的面积的2倍？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.
　　解 （1）∵x1，x2是方程x2-2(m-1)x+m2-7=0的两个根，
　　∴x1+x2=2(m-1)，x1x2=m2-7.
　　又 ∵x21+x22=10，∴(x1+x2)2-2x1x2=10.
　　∴［2(m-1)］2-2(m2-7)=10.
　　即m2-4m+4=0，解得m1=m2=2.
　　把m=2代入方程x2-2(m-1)x+m2-7=0，
　　得x2-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3.
　　∴点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（3，0）.
　　（2）抛物线与x轴的交点为A（-1，0），B（3，0），由对称性可知，顶点M的横坐标为1，则顶点M的坐标为（1，-4）.
　　∴a-b+c=0，9a+3b+c=0，a+b+c=-4，解得a=1，b=-2，c=-3.
　　∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3.
　　在y=x2-2x-3中，令x=0，得y=-3.
　　∴点C的坐标为（0，-3）.
　　（3）设抛物线的对称轴与x轴交于点D，如图.
　　则AO=OD=1，DB=2，OC=3，DM=4，AB=4.
　　∴S四边形ACMB=S△AOC+S梯形OCMD+S△DMB
　　=12•AO•CO+12（CO+DM）•OD+ 12DM•DB
　　=12×1×3+12×(3+4)×1+12×2×4=9.
　　设P(x0,y0)为抛物线上一点，则S△PAB=12AB•|y0|.
　　若S△PAB=2S四边形ACMB，
　　则12AB•|y0|=18，∴|y0|=9，y0=±9.
　　把y0=9代入y=x2-2x-3中，得
　　x2-2x-3=9，即x2-2x-12=0.
　　解得x1=1-13,x2=1+13.
　　把y0=-9代入y=x2-2x-3中，得
　　x2-2x-3=-9，即x2-2x+6=0.
　　∵Δ=(-2)2-4×1×6=-20<0，
　　∴此方程无实数根.
　　∴符合条件的点P有两个：
　　P1(1-13，9），P2（1+13，9）.
　　说明 由本题的解答过程可看出，要求四边形ACMB的面积，则必须求出A，C，M，B各点的坐标.求出四边形ACMB的面积后就知道△PAB的面积，则可以求出点P的纵坐标，因此求出了点P的坐标.
　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文