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摘要：以数值分析中数值积分的Newton-Cotes公式、复化梯形公式的教学方法为例，讨论教学中如何使用合情推理的教学方法，将学生从传统的灌输教学模式中解脱出来，由被动的接受转变为主动的思考、猜想，与老师一起探讨并形成互动，从而提高课堂教学效果。
关健词：数值分析；合情推理；教学方法
作者简介：殷政伟（1980-），女，河南伊川人，河南科技大学数学与统计学院，讲师；王天军（1963-），男，河南息县人，河南科技大学数学与统计学院，副教授。（河南 洛阳 471000）
基金项目：本文系国家自然科学基金（批准号：50771042）的研究成果。
中图分类号：G642.41 文献标识码：A 文章编号：1007-0079（2013）32-0110-02
一、问题的提出
21世纪是一个信息化的世纪，随着计算机性能的不断提高，科学计算在解决现代科学技术问题中所起的作用越来越大，几乎渗透到科学计算的各个领域。计算数学正是科学计算的基础，數值分析是计算数学中最基本的内容，是一门与计算机使用密切结合的实用性很强的数学课程，具有理论性和实践性的双重特点。该课程是一门内容丰富，研究方法深刻，有自身理论体系的课程，既有纯数学高度抽象性与严密科学性的特点，又有应用的广泛性与实际试验的高度技术性的特点。[1]传统的课堂教学模式及教学方法存在着一些弊端：第一，课程的内容多，课时少。为了传输更多的知识，很多老师在讲课时都会把上课时间安排得满满的，能留给学生思考的时间很少甚至没有，师生之间的互动较少。第二，偏重理论，轻视实践。很多数学老师都认为只要把方法的原理讲清楚就可以了，至于方法的实现则是学生自己的事情。这种看法及做法很大程度上伤害了学生的积极性和主动性，使学生很难体会到这门课的实用性，对这门课的理解也会大打折扣。第三，讲课中重视理论的证明，忽视了合理的猜想、归纳、分类以及对知识的拓展。第四，老师是课堂的主角，而学生是配角。学生多是被动接受和模仿，很少有创新。第五，教学工具单一。很多院校的老师基本上都采用“一枝笔，一块黑板”的教学手段，以至于有很多好的实验结果无法被形象展示，无法体现数值分析课程学习的特点。那么，如何在有效的时间内调动学生的学习兴趣，引导学生对所传授知识进行合理的归纳、猜想、总结以及拓展，从而提高学生的学习效率，使他们对所学知识有个深刻理解和形象记忆就显得非常重要。
二、对合情推理的认识
合情推理是波利亚的“启发法”（heuristic，即“有助于发现的”）中的一个推理模式。它是指观察、归纳、类比、实验、联想、猜测、矫正与调控等方法。波利亚很早就注意到“数学有两个侧面，用欧几里得方式提出来的数学是一门系统的演绎科学，但在创造过程中的数学却是实验性的归纳科学”。因此，他明确提出有两种推理：论证推理可用来确定数学知识，合情推理可用来为猜想提供依据，即波利亚指出的数学思维不是纯“形式”的，它所涉及的不仅有公理、定理、定义及严格的证明，而且还有许许多多其它方面，比如推广、归纳、类推以及从具体情况中辨认出或者说抽取出某个数学概念等。贯彻任何科学发现的思维，也主要是合情推理。量子力学方程是猜出来的；球体公式是阿基米德“称”出来的；在对热在金属中流动的观察研究中，傅立叶发明了级数；而现代仿生学则是类比推理在科技中应用的杰出成果。由上可以看出，“所学到的关于世界的任何新的东西都包含着推理，它是日常事务中所关心的仅有的一种推理”。合情推理是各学科之间，社会生活中的文化大使，是现代化社会公民的必备文化素质。作为一名数学教师有责任使学生了解这些十分重要的“非形式”思维过程，进而使数学的教学变得多样化、形象化。
三、合情推理在数值分析教学中的应用
数值分析这门课信息量大，实用性强，课程内容决定了在讲解时必然会涉及到大量复杂的公式以及算法分析。那么在教学中，如何使这些复杂的公式变得通俗易懂？如何使学生的主动性、创造性、灵活性得到充分的发挥？如何使原本枯燥的知识变得生动？笔者认为只有在教学中加强对学生的启发和引导，使他们能够进行合情的推理、合理的猜想，让他们主动参与到这门课的教学当中，只有这样，才能使学生对一些比较深奥晦涩的理论知识有更深刻的理解。下面举例说明如何将合情推理运用到数值分析的教学中。
1.合情推理在讲解数值积分思想中的应用
数值积分是数值分析中重要的一部分，该部分内容主要是介绍积分的数值方法，包括Newton—Cotes求积公式，Gauss型求积公式以及这两类公式的改造与变形。面对众多复杂的公式，如何使学生在理解的基础上去记忆公式，做到事半功倍呢？这就需要同学们对数值积分的思想有一个深刻的理解。在讲解这一部分内容时，教科书中是直接将一些函数为什么要进行数值积分的原因直接罗列出来。在讲课时，如果照本宣科，一方面学生没有兴趣，另一方面，学生即使知道了，也印象不深刻。因此，在处理这一部分内容时，可先引导同学们复习一下高等数学的知识。在高等数学中，求一个函数的积分主要依据是Newton-Lebniz公式，而该公式成立的条件是被积函数要有具体的表达式，且连续。这个时候可引导同学们去思考以下几个问题：是否所有的函数都有具体的表达式？是否所有的函数都连续？是否所有的连续函数都可以找到其原函数？提出这几个问题之后，可以适当地给学生留些时间考虑和讨论，让学生也参与到课堂教学中。实际上，以上三个问题的答案都是否定的。经过讨论，学生们就会发现这样一个事实：以前以为万能的Newton-Lebniz公式却对很多函数的积分都无能为力。接下来，就可以让学生做归纳，总结出不能用Newton-Lebniz公式求解积分的函数有以下几条：被积函数是一个表格函数，没有具体的表达式；被积函数不连续；被积函数连续，但其原函数无法用初等函数表示；有些被积函数的广义积分无法计算。像这样把问题抛出来之后，经过讨论并得到解决，这比直接给出问题的答案显然更能激发学生的兴趣，也使学生的印象更加深刻。学生了解到有很多函数的积分无法用Newton-Lebniz公式求解，在这种情况下，适时提出数值积分，即求积分的近似值，不仅使学生对数值积分的重要性以及必要性有深刻的认识，同时也对数值积分所要解决的主要问题有所了解。通过以上的分析、推理，不仅让学生明白数值积分的必要性，还调动了他们学习的积极性。 综观上述几类不能用Newton-Lebniz公式求积分函数类会发现问题都是出在被积函数上。因此，要想求这几类函数的数值积分，只有从被积函数入手。这个时候可引导同学们进行合理的猜想：能否用一些简单的可积的函数去近似代替这些被积函数？如果能，选择什么样的简单函数？如果选择了一些简单函数，那么近似值和准确值之间的误差又如何估计？提出问题后，有些同学就会想到学过的比较简单又可积的就是多项式函数。例如，，是被积函数在区间上关于节点的插值多项式。可以用的积分近似代替的积分，即
即为大家所熟悉的梯形公式。
，插值节点分别为
，
数值积分公式为：
即为大家所熟悉的Simpson公式。
讲完这两个数值积分公式后，就可以让学生自己去归纳总结数值积分的基本思想并通过合理的推理和猜想构造更多的数值积分公式。
2.在讲解复化求积公式中引入类推、猜想，揭示数学思维过程
前苏联数学教育家斯托利亚尔指出：“数学教学是思维活动的教学”。因此，培养学生的数学思维，揭示数学思维过程是数学教师的重要任务，而揭示数学思维过程，一定程度上来源于模拟数学家的探索过程，而这种过程往往以类推、猜想开始。所以，在讲解一些数值算法之前，可以将以往的一些算法归纳总结，然后在这些算法的基础上做些大胆的猜想，然后再深入细致地分析，从而得出一些新的算法。例如在讲解复化求积公式时，可先引导学生回忆定积分的定义，即分割、近似、求和、取极限。这时就可引导学生从定积分的定义出发做一些猜想：做近似计算时，不可能进行无穷多次的运算，只能从某处截断，进行近似计算。因此，把定积分定义的最后一步去掉，即只做有限次的求和，这样就可以仿照定积分的定义引入复化求积的思想，步骤如下：
（1）分割。将积分区间等分成n个小区间（也可以不等分），即在区间上插入个节点，，记为第i个小区间，每个小区间长度为。如图1所示。
（2）近似。用梯形面积（也可用其它规则的几何图形面积）近似代替曲边梯形的面积Si，即在小区间上：
（3）求和。把每个小区间上梯形面积加起来，就得到了大的曲边梯形面积的一个近似值，即：
进一步化简整理，就得到了常用的复化梯形公式：
整个讲解过程也可以配合图1来详细说明，并且通过图1也可以对复化求积公式的误差有个形象的了解。
四、结语
总之，在数值分析教学中适当引入合情推理的模式有助于发挥学科的两个功能，并学会发现和发明的方法。给合情推理能力的教学以适当的地位，是开发学生创造性素质的需要，是全面提高学生优秀文化素质的需要，是全面开发大脑潜力的需要。在教学实践中加强合情推理的教学，可以使学生提高学习的兴趣，发挥学习的积极性、主动性，提高解决问题的能力。
参考文献：
[1]李庆扬，王能超，易大义.数值分析[M].武汉：华中科技大学出版社，2004.
[2]宋松和，朱建民，唐玲艷，等.高等数值分析课程教学改革探讨[J].高等教育研究学报，2008，31（4）.
[3]赵景军，吴勃英.关于《数值分析》教学的几点探讨[J].大学数学，2005，21（3）.
[4]杜廷松.关于《数值分析》课程教学改研究的综述和思考[J].大学数学，2007，23（2）.
[5]刘艳伟，司军辉.数值分析课程教学改革若干问题探讨[J].黑龙江教育学院学报，2010，29（6）.
[6]黄明.浅谈合情推理的教学[J].工科数学（社会科学版），2002，
18（6）：47-51.
关健词：数值分析；合情推理；教学方法
作者简介：殷政伟（1980-），女，河南伊川人，河南科技大学数学与统计学院，讲师；王天军（1963-），男，河南息县人，河南科技大学数学与统计学院，副教授。（河南 洛阳 471000）
基金项目：本文系国家自然科学基金（批准号：50771042）的研究成果。
中图分类号：G642.41 文献标识码：A 文章编号：1007-0079（2013）32-0110-02
一、问题的提出
21世纪是一个信息化的世纪，随着计算机性能的不断提高，科学计算在解决现代科学技术问题中所起的作用越来越大，几乎渗透到科学计算的各个领域。计算数学正是科学计算的基础，數值分析是计算数学中最基本的内容，是一门与计算机使用密切结合的实用性很强的数学课程，具有理论性和实践性的双重特点。该课程是一门内容丰富，研究方法深刻，有自身理论体系的课程，既有纯数学高度抽象性与严密科学性的特点，又有应用的广泛性与实际试验的高度技术性的特点。[1]传统的课堂教学模式及教学方法存在着一些弊端：第一，课程的内容多，课时少。为了传输更多的知识，很多老师在讲课时都会把上课时间安排得满满的，能留给学生思考的时间很少甚至没有，师生之间的互动较少。第二，偏重理论，轻视实践。很多数学老师都认为只要把方法的原理讲清楚就可以了，至于方法的实现则是学生自己的事情。这种看法及做法很大程度上伤害了学生的积极性和主动性，使学生很难体会到这门课的实用性，对这门课的理解也会大打折扣。第三，讲课中重视理论的证明，忽视了合理的猜想、归纳、分类以及对知识的拓展。第四，老师是课堂的主角，而学生是配角。学生多是被动接受和模仿，很少有创新。第五，教学工具单一。很多院校的老师基本上都采用“一枝笔，一块黑板”的教学手段，以至于有很多好的实验结果无法被形象展示，无法体现数值分析课程学习的特点。那么，如何在有效的时间内调动学生的学习兴趣，引导学生对所传授知识进行合理的归纳、猜想、总结以及拓展，从而提高学生的学习效率，使他们对所学知识有个深刻理解和形象记忆就显得非常重要。
二、对合情推理的认识
合情推理是波利亚的“启发法”（heuristic，即“有助于发现的”）中的一个推理模式。它是指观察、归纳、类比、实验、联想、猜测、矫正与调控等方法。波利亚很早就注意到“数学有两个侧面，用欧几里得方式提出来的数学是一门系统的演绎科学，但在创造过程中的数学却是实验性的归纳科学”。因此，他明确提出有两种推理：论证推理可用来确定数学知识，合情推理可用来为猜想提供依据，即波利亚指出的数学思维不是纯“形式”的，它所涉及的不仅有公理、定理、定义及严格的证明，而且还有许许多多其它方面，比如推广、归纳、类推以及从具体情况中辨认出或者说抽取出某个数学概念等。贯彻任何科学发现的思维，也主要是合情推理。量子力学方程是猜出来的；球体公式是阿基米德“称”出来的；在对热在金属中流动的观察研究中，傅立叶发明了级数；而现代仿生学则是类比推理在科技中应用的杰出成果。由上可以看出，“所学到的关于世界的任何新的东西都包含着推理，它是日常事务中所关心的仅有的一种推理”。合情推理是各学科之间，社会生活中的文化大使，是现代化社会公民的必备文化素质。作为一名数学教师有责任使学生了解这些十分重要的“非形式”思维过程，进而使数学的教学变得多样化、形象化。
三、合情推理在数值分析教学中的应用
数值分析这门课信息量大，实用性强，课程内容决定了在讲解时必然会涉及到大量复杂的公式以及算法分析。那么在教学中，如何使这些复杂的公式变得通俗易懂？如何使学生的主动性、创造性、灵活性得到充分的发挥？如何使原本枯燥的知识变得生动？笔者认为只有在教学中加强对学生的启发和引导，使他们能够进行合情的推理、合理的猜想，让他们主动参与到这门课的教学当中，只有这样，才能使学生对一些比较深奥晦涩的理论知识有更深刻的理解。下面举例说明如何将合情推理运用到数值分析的教学中。
1.合情推理在讲解数值积分思想中的应用
数值积分是数值分析中重要的一部分，该部分内容主要是介绍积分的数值方法，包括Newton—Cotes求积公式，Gauss型求积公式以及这两类公式的改造与变形。面对众多复杂的公式，如何使学生在理解的基础上去记忆公式，做到事半功倍呢？这就需要同学们对数值积分的思想有一个深刻的理解。在讲解这一部分内容时，教科书中是直接将一些函数为什么要进行数值积分的原因直接罗列出来。在讲课时，如果照本宣科，一方面学生没有兴趣，另一方面，学生即使知道了，也印象不深刻。因此，在处理这一部分内容时，可先引导同学们复习一下高等数学的知识。在高等数学中，求一个函数的积分主要依据是Newton-Lebniz公式，而该公式成立的条件是被积函数要有具体的表达式，且连续。这个时候可引导同学们去思考以下几个问题：是否所有的函数都有具体的表达式？是否所有的函数都连续？是否所有的连续函数都可以找到其原函数？提出这几个问题之后，可以适当地给学生留些时间考虑和讨论，让学生也参与到课堂教学中。实际上，以上三个问题的答案都是否定的。经过讨论，学生们就会发现这样一个事实：以前以为万能的Newton-Lebniz公式却对很多函数的积分都无能为力。接下来，就可以让学生做归纳，总结出不能用Newton-Lebniz公式求解积分的函数有以下几条：被积函数是一个表格函数，没有具体的表达式；被积函数不连续；被积函数连续，但其原函数无法用初等函数表示；有些被积函数的广义积分无法计算。像这样把问题抛出来之后，经过讨论并得到解决，这比直接给出问题的答案显然更能激发学生的兴趣，也使学生的印象更加深刻。学生了解到有很多函数的积分无法用Newton-Lebniz公式求解，在这种情况下，适时提出数值积分，即求积分的近似值，不仅使学生对数值积分的重要性以及必要性有深刻的认识，同时也对数值积分所要解决的主要问题有所了解。通过以上的分析、推理，不仅让学生明白数值积分的必要性，还调动了他们学习的积极性。 综观上述几类不能用Newton-Lebniz公式求积分函数类会发现问题都是出在被积函数上。因此，要想求这几类函数的数值积分，只有从被积函数入手。这个时候可引导同学们进行合理的猜想：能否用一些简单的可积的函数去近似代替这些被积函数？如果能，选择什么样的简单函数？如果选择了一些简单函数，那么近似值和准确值之间的误差又如何估计？提出问题后，有些同学就会想到学过的比较简单又可积的就是多项式函数。例如，，是被积函数在区间上关于节点的插值多项式。可以用的积分近似代替的积分，即
即为大家所熟悉的梯形公式。
，插值节点分别为
，
数值积分公式为：
即为大家所熟悉的Simpson公式。
讲完这两个数值积分公式后，就可以让学生自己去归纳总结数值积分的基本思想并通过合理的推理和猜想构造更多的数值积分公式。
2.在讲解复化求积公式中引入类推、猜想，揭示数学思维过程
前苏联数学教育家斯托利亚尔指出：“数学教学是思维活动的教学”。因此，培养学生的数学思维，揭示数学思维过程是数学教师的重要任务，而揭示数学思维过程，一定程度上来源于模拟数学家的探索过程，而这种过程往往以类推、猜想开始。所以，在讲解一些数值算法之前，可以将以往的一些算法归纳总结，然后在这些算法的基础上做些大胆的猜想，然后再深入细致地分析，从而得出一些新的算法。例如在讲解复化求积公式时，可先引导学生回忆定积分的定义，即分割、近似、求和、取极限。这时就可引导学生从定积分的定义出发做一些猜想：做近似计算时，不可能进行无穷多次的运算，只能从某处截断，进行近似计算。因此，把定积分定义的最后一步去掉，即只做有限次的求和，这样就可以仿照定积分的定义引入复化求积的思想，步骤如下：
（1）分割。将积分区间等分成n个小区间（也可以不等分），即在区间上插入个节点，，记为第i个小区间，每个小区间长度为。如图1所示。
（2）近似。用梯形面积（也可用其它规则的几何图形面积）近似代替曲边梯形的面积Si，即在小区间上：
（3）求和。把每个小区间上梯形面积加起来，就得到了大的曲边梯形面积的一个近似值，即：
进一步化简整理，就得到了常用的复化梯形公式：
整个讲解过程也可以配合图1来详细说明，并且通过图1也可以对复化求积公式的误差有个形象的了解。
四、结语
总之，在数值分析教学中适当引入合情推理的模式有助于发挥学科的两个功能，并学会发现和发明的方法。给合情推理能力的教学以适当的地位，是开发学生创造性素质的需要，是全面提高学生优秀文化素质的需要，是全面开发大脑潜力的需要。在教学实践中加强合情推理的教学，可以使学生提高学习的兴趣，发挥学习的积极性、主动性，提高解决问题的能力。
参考文献：
[1]李庆扬，王能超，易大义.数值分析[M].武汉：华中科技大学出版社，2004.
[2]宋松和，朱建民，唐玲艷，等.高等数值分析课程教学改革探讨[J].高等教育研究学报，2008，31（4）.
[3]赵景军，吴勃英.关于《数值分析》教学的几点探讨[J].大学数学，2005，21（3）.
[4]杜廷松.关于《数值分析》课程教学改研究的综述和思考[J].大学数学，2007，23（2）.
[5]刘艳伟，司军辉.数值分析课程教学改革若干问题探讨[J].黑龙江教育学院学报，2010，29（6）.
[6]黄明.浅谈合情推理的教学[J].工科数学（社会科学版），2002，
18（6）：47-51.