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【摘 要】“三位数乘两位数”原来是本单元的起始课，现在被后置到积的变化规律与常见的数量关系之后。这让解决问题的数量关系更容易表达，把因数末尾有零的三位数乘两位数前置，作为积的变化规律的应用，使得学生更加集中于“三位数乘两位数”的计算，以“后规则学习”为准则，在联系、沟通与拓展的过程中学习。
【关键词】迁移类比；三位数乘两位数；后规则学习
在单元整体设计中，“三位数乘两位数”由原来的起始课成为了第四课时，即在积的变化规律与常见的数量关系教学之后。这样编排，让解决问题的数量关系更容易表达，并把因数末尾有零的三位数乘两位数前置，作为积的变化规律的应用，使得学生更加集中于“三位数乘两位数”的计算。
一、独立尝试，归纳法则
由于有“两位数乘两位数”做基础，理解“三位數乘两位数”的算理，掌握它的算法均只要运用迁移类比的方式就可以实现。因此，课始可以让学生自主尝试计算，并通过交流反馈，自主归纳法则。
（一）阅读理解，提出问题
是否要先复习“两位数乘两位数”的计算，然后再引出“三位数乘两位数”？经过试教与反思，我们给予了否定。因为如果由复习“两位数乘两位数”引入，会影响学生依据原有的学习基础自主解决问题的多样性，学生会出现只用竖式计算，而没有用口算等形式计算的情况。
教师出示信息：李叔叔从某城市乘火车去北京用了12小时，火车的速度是145千米/时。学生阅读后教师提问：你能够提出什么问题？怎样解答？
生：从某城市乘火车到北京有多少千米？
生：已知火车的速度与时间，求路程。所以可以用数量关系：速度×时间=路程，列式是145×12。
教师板书算式后提问：三年级时我们学习了“两位数乘两位数”的乘法，那么这个可以说是怎样的乘法？学生回答后教师板书课题，进一步提出问题：请同学们先来估算一下，大约是多少千米？学生估算后教师进一步提出问题：如果要得到精确的结果，你会计算吗？
由于把本课安排在常见的数量关系之后，因此，速度的书写、数量关系的总结，均可以用更加规范的形式。课题引出与学生估算均用开门见山的形式，既起到了思维定向的目的，又注重了课堂效率。
（二）自主尝试，小组交流
如何准确地计算出三位数乘两位数的结果，学生会依据之前的学习经验自主解决。实际教学中会有三种计算方法，一种是口算形式（图3），一种是改成连乘形式（图1），最多的当然是用竖式计算（图2）。（注：图1～3中的箭头与文字在集体反馈时加上）
为了促进学生的思维，在计算时提出要求：能够用多种方法计算的请用多种方法计算。学生独立完成后在小组中进行交流，说自己的计算方法，听同组中别的同学的计算方法。
（三）集体反馈，归纳法则
在小组交流时，教师把三种典型的算法请学生板书于黑板上。小组交流结束后，集体反馈。在反馈时，一是从方法入手突显学生的思维方式，二是从联系着手寻找不同计算方法的相通处。
首先反馈图1连乘的方法，问：你是怎样想的？
生：我把“12”写成“6×2”，算式变成了“145×6
×2”，多位数乘一位数我们学过，就可以算了。
教师板书“转化”后点评：是的，这是一种很好的方法，把未知的转化成已知的进行计算，这种方法叫转化。但是这种方法有缺点，如果“12”变成“13”，用这种方法就不行了。
接着反馈图2与图3，教师提问：观察竖式计算（图2）与口算过程（图3），把计算步骤相同的连一连，然后说一说每一步的意思。
学生回答教师连线，并概括出“三位数乘两位数”笔算的计算方法。
“三位数乘两位数”的计算法则教材中没有具体概括，因为它与“两位数乘两位数”的计算法则类似，所以可以沿用“两位数乘两位数”的计算法则。
在计算教学中，有许多新的规则是旧有规则的延伸，如小数加减法的计算法则是整数加减法的计算法则的延伸，小数乘整数的计算方法是整数乘法法则的延伸，小数、分数四则运算中的运算定律是整数四则运算中的运算定律的推广。这样的学习，我们称之为“后规则学习”，教学中可以充分信任学生，把“例题”作为“习题”，让学生在自主尝试中，寻找到新旧知识的衔接点，概括出解决新问题的方法。
二、系统回顾，沟通联系
本节课学习的是整数笔算乘法的最后一个内容。整数笔算乘法是怎样一步一步地学习到现在的呢？在算理上有什么相通之处？法则上又可以怎样统一？
（一）算式的递进
笔算乘法从三上年级开始学习，首先是多位数乘一位数，接着是两位数乘两位数，最后就是三位数乘两位数。通过展示具体的例题，让学生进一步感受到数学知识由浅到深、由易到难的学习过程。
教师用课件同时出示三上年级“多位数乘一位数”的例1至例3，三下年级“两位数乘两位数”例1、例2，与黑板上板书的例1相比较（如图4），提出问题：三上年级的3个例题，三下年级的2个例题各有什么联系与区别？
生：三上年级的3个计算题都是两位数乘一位数，但是例1（相乘时）没有出现进位，例2出现了一次进位，例3出现两次进位。
生：三下年级的2个例题也一样，例1没有进位，例2出现了进位。
师：同学们观察得真仔细，在乘法中，相乘时出现进位是比较容易出错的地方，因为要进行两步运算（板书：□×□ □），为什么到了四年级只安排一个例题呢？
生：到了四上年级，我们对乘法计算已经比较熟练了，所以只安排一个例题。
通过以上的展示与交流，学生感受到整数乘法的学习是一个由简到繁的过程，只有基础扎实，才能够做好复杂的“三位数乘两位数”。
（二）算理的沟通
笔算乘法的算理经历了一个由直观到抽象的过程，“三位数乘两位数”的算理就是由“两位数乘两位数”类比迁移所得。但是，“多位数乘一位数”和“两位数乘两位数”的算理，却是借助于直观图示所得。因此，在本节课中，教师先后出示图5与图6，请学生说一说图示代表的含义，从而回顾算理，让学生感受到直观图形与乘法计算之间的联系。 （三）法则的递进
“多位数乘一位数”与“两位数乘两位数”均有计算法则，可引导学生回顾计算法则，发现它们之间的递进关系。
教师出示图7和图8，问：这是“多位数乘一位数”和“两位数乘两位数”计算方法的小组讨论，说一说这两组法则有什么关系。
生：“多位数乘一位数”的计算方法就包含在“两位数乘两位数”中。
师：能够在“145×12”中找到这两种计算方法吗？
生：它的计算方法与“两位数乘两位数”是一样的。
整数四则运算的笔算方法是随着整数位数的增加层层递进的，前者的掌握是后者学习的基础。因此，随着教学的进展要适当回顾相应的计算法则，发现其递进关系，迁移完善计算法则。
三、巩固迁移，架构整体
作为笔算乘法的最后一個板块，除了学会计算“三位数乘两位数”的各种类型的题目外，还可以结合具体情境适当拓展，从而概括笔算乘法的计算法则，进而重新修改本节课的课题。
（一）巩固练习，完善题型
教材例2的题型已经在积的变化规律时进行教学，此时可以作为题组内容，让学生选择合适的方法列竖式计算。
教师出示如下题组，请学生列竖式计算。
（1）134×12 （2）47×176 （3）304×30
（4）360×45 （5）60×150
这5个题目包含了“三位数乘两位数”的五种类型，先让学生审题，不计算，把每一题由横式转化成竖式，评价学生竖式是否摆得合理，最后请学生计算出结果后校对。
（二）联系实际，拓展应用
当出现“四位数乘两位数”和“三位数乘三位数”的计算题时，学生是否能够独立计算？如果能，就可以把笔算乘法计算法则一般化。
教师出示如下2道应用题：
（1）声音在海水中的传播速度是1531米/秒，声音在海水中13秒能传播多远？
（2）学校要买132个篮球，每个篮球124元，买篮球需要多少元钱？
学生独立完成并校对，然后组织讨论：第（1）题是四位数乘两位数，第（2）题是三位数乘三位数，这个我们没有学过，你们怎么都会了呀？
生：我认为四位数乘两位数、三位数乘三位数和三位数乘两位数的计算方法是一样的。
生：我补充他的。不管是几位数乘几位数，我们都可以用个位去乘，十位去乘，百位去乘……最后再相加就可以了。
从“三位数乘两位数”到“四位数乘两位数”再到“三位数乘三位数”，沟通拓展了笔算乘法计算的空间，学生通过类比迁移，学会了整数笔算的算理和算法。
（三）修改课题，提炼法则
整体回顾了笔算乘法的学习历程，适度拓展了笔算乘法的计算范畴，教师用板书、课件整体展示这些内容，并引导学生进一步思考本节课的课题，以及笔算乘法的计算法则。
教师展示内容后提问：观察这些算式，你觉得“三位数乘两位数”作为今天的课题还合适吗？你有更好的课题吗？
生：不合适了，它只是其中的一个部分。
生：我认为可以叫笔算乘法。
教师肯定了两位学生的回答并板书新课题，提问：那么笔算乘法的计算法则是怎样的呢？
学生回答后，教师总结：从个位乘起，用第二个乘数每一位上的数去乘第一个乘数，用哪一位上的数去乘，就和哪一位对齐，最后把积相加。
总之，“三位数乘两位数”作为“后规则学习”的内容，可以让学生通过自主尝试，利用原有学习经验探究算理与算法，并进行比较分析，进一步抽象出更加一般意义上的乘法计算法则。
（浙江省杭州市萧山区高桥小学 311200
浙江省杭州市萧山区义桥镇渔浦小学 311200）
【关键词】迁移类比；三位数乘两位数；后规则学习
在单元整体设计中，“三位数乘两位数”由原来的起始课成为了第四课时，即在积的变化规律与常见的数量关系教学之后。这样编排，让解决问题的数量关系更容易表达，并把因数末尾有零的三位数乘两位数前置，作为积的变化规律的应用，使得学生更加集中于“三位数乘两位数”的计算。
一、独立尝试，归纳法则
由于有“两位数乘两位数”做基础，理解“三位數乘两位数”的算理，掌握它的算法均只要运用迁移类比的方式就可以实现。因此，课始可以让学生自主尝试计算，并通过交流反馈，自主归纳法则。
（一）阅读理解，提出问题
是否要先复习“两位数乘两位数”的计算，然后再引出“三位数乘两位数”？经过试教与反思，我们给予了否定。因为如果由复习“两位数乘两位数”引入，会影响学生依据原有的学习基础自主解决问题的多样性，学生会出现只用竖式计算，而没有用口算等形式计算的情况。
教师出示信息：李叔叔从某城市乘火车去北京用了12小时，火车的速度是145千米/时。学生阅读后教师提问：你能够提出什么问题？怎样解答？
生：从某城市乘火车到北京有多少千米？
生：已知火车的速度与时间，求路程。所以可以用数量关系：速度×时间=路程，列式是145×12。
教师板书算式后提问：三年级时我们学习了“两位数乘两位数”的乘法，那么这个可以说是怎样的乘法？学生回答后教师板书课题，进一步提出问题：请同学们先来估算一下，大约是多少千米？学生估算后教师进一步提出问题：如果要得到精确的结果，你会计算吗？
由于把本课安排在常见的数量关系之后，因此，速度的书写、数量关系的总结，均可以用更加规范的形式。课题引出与学生估算均用开门见山的形式，既起到了思维定向的目的，又注重了课堂效率。
（二）自主尝试，小组交流
如何准确地计算出三位数乘两位数的结果，学生会依据之前的学习经验自主解决。实际教学中会有三种计算方法，一种是口算形式（图3），一种是改成连乘形式（图1），最多的当然是用竖式计算（图2）。（注：图1～3中的箭头与文字在集体反馈时加上）
为了促进学生的思维，在计算时提出要求：能够用多种方法计算的请用多种方法计算。学生独立完成后在小组中进行交流，说自己的计算方法，听同组中别的同学的计算方法。
（三）集体反馈，归纳法则
在小组交流时，教师把三种典型的算法请学生板书于黑板上。小组交流结束后，集体反馈。在反馈时，一是从方法入手突显学生的思维方式，二是从联系着手寻找不同计算方法的相通处。
首先反馈图1连乘的方法，问：你是怎样想的？
生：我把“12”写成“6×2”，算式变成了“145×6
×2”，多位数乘一位数我们学过，就可以算了。
教师板书“转化”后点评：是的，这是一种很好的方法，把未知的转化成已知的进行计算，这种方法叫转化。但是这种方法有缺点，如果“12”变成“13”，用这种方法就不行了。
接着反馈图2与图3，教师提问：观察竖式计算（图2）与口算过程（图3），把计算步骤相同的连一连，然后说一说每一步的意思。
学生回答教师连线，并概括出“三位数乘两位数”笔算的计算方法。
“三位数乘两位数”的计算法则教材中没有具体概括，因为它与“两位数乘两位数”的计算法则类似，所以可以沿用“两位数乘两位数”的计算法则。
在计算教学中，有许多新的规则是旧有规则的延伸，如小数加减法的计算法则是整数加减法的计算法则的延伸，小数乘整数的计算方法是整数乘法法则的延伸，小数、分数四则运算中的运算定律是整数四则运算中的运算定律的推广。这样的学习，我们称之为“后规则学习”，教学中可以充分信任学生，把“例题”作为“习题”，让学生在自主尝试中，寻找到新旧知识的衔接点，概括出解决新问题的方法。
二、系统回顾，沟通联系
本节课学习的是整数笔算乘法的最后一个内容。整数笔算乘法是怎样一步一步地学习到现在的呢？在算理上有什么相通之处？法则上又可以怎样统一？
（一）算式的递进
笔算乘法从三上年级开始学习，首先是多位数乘一位数，接着是两位数乘两位数，最后就是三位数乘两位数。通过展示具体的例题，让学生进一步感受到数学知识由浅到深、由易到难的学习过程。
教师用课件同时出示三上年级“多位数乘一位数”的例1至例3，三下年级“两位数乘两位数”例1、例2，与黑板上板书的例1相比较（如图4），提出问题：三上年级的3个例题，三下年级的2个例题各有什么联系与区别？
生：三上年级的3个计算题都是两位数乘一位数，但是例1（相乘时）没有出现进位，例2出现了一次进位，例3出现两次进位。
生：三下年级的2个例题也一样，例1没有进位，例2出现了进位。
师：同学们观察得真仔细，在乘法中，相乘时出现进位是比较容易出错的地方，因为要进行两步运算（板书：□×□ □），为什么到了四年级只安排一个例题呢？
生：到了四上年级，我们对乘法计算已经比较熟练了，所以只安排一个例题。
通过以上的展示与交流，学生感受到整数乘法的学习是一个由简到繁的过程，只有基础扎实，才能够做好复杂的“三位数乘两位数”。
（二）算理的沟通
笔算乘法的算理经历了一个由直观到抽象的过程，“三位数乘两位数”的算理就是由“两位数乘两位数”类比迁移所得。但是，“多位数乘一位数”和“两位数乘两位数”的算理，却是借助于直观图示所得。因此，在本节课中，教师先后出示图5与图6，请学生说一说图示代表的含义，从而回顾算理，让学生感受到直观图形与乘法计算之间的联系。 （三）法则的递进
“多位数乘一位数”与“两位数乘两位数”均有计算法则，可引导学生回顾计算法则，发现它们之间的递进关系。
教师出示图7和图8，问：这是“多位数乘一位数”和“两位数乘两位数”计算方法的小组讨论，说一说这两组法则有什么关系。
生：“多位数乘一位数”的计算方法就包含在“两位数乘两位数”中。
师：能够在“145×12”中找到这两种计算方法吗？
生：它的计算方法与“两位数乘两位数”是一样的。
整数四则运算的笔算方法是随着整数位数的增加层层递进的，前者的掌握是后者学习的基础。因此，随着教学的进展要适当回顾相应的计算法则，发现其递进关系，迁移完善计算法则。
三、巩固迁移，架构整体
作为笔算乘法的最后一個板块，除了学会计算“三位数乘两位数”的各种类型的题目外，还可以结合具体情境适当拓展，从而概括笔算乘法的计算法则，进而重新修改本节课的课题。
（一）巩固练习，完善题型
教材例2的题型已经在积的变化规律时进行教学，此时可以作为题组内容，让学生选择合适的方法列竖式计算。
教师出示如下题组，请学生列竖式计算。
（1）134×12 （2）47×176 （3）304×30
（4）360×45 （5）60×150
这5个题目包含了“三位数乘两位数”的五种类型，先让学生审题，不计算，把每一题由横式转化成竖式，评价学生竖式是否摆得合理，最后请学生计算出结果后校对。
（二）联系实际，拓展应用
当出现“四位数乘两位数”和“三位数乘三位数”的计算题时，学生是否能够独立计算？如果能，就可以把笔算乘法计算法则一般化。
教师出示如下2道应用题：
（1）声音在海水中的传播速度是1531米/秒，声音在海水中13秒能传播多远？
（2）学校要买132个篮球，每个篮球124元，买篮球需要多少元钱？
学生独立完成并校对，然后组织讨论：第（1）题是四位数乘两位数，第（2）题是三位数乘三位数，这个我们没有学过，你们怎么都会了呀？
生：我认为四位数乘两位数、三位数乘三位数和三位数乘两位数的计算方法是一样的。
生：我补充他的。不管是几位数乘几位数，我们都可以用个位去乘，十位去乘，百位去乘……最后再相加就可以了。
从“三位数乘两位数”到“四位数乘两位数”再到“三位数乘三位数”，沟通拓展了笔算乘法计算的空间，学生通过类比迁移，学会了整数笔算的算理和算法。
（三）修改课题，提炼法则
整体回顾了笔算乘法的学习历程，适度拓展了笔算乘法的计算范畴，教师用板书、课件整体展示这些内容，并引导学生进一步思考本节课的课题，以及笔算乘法的计算法则。
教师展示内容后提问：观察这些算式，你觉得“三位数乘两位数”作为今天的课题还合适吗？你有更好的课题吗？
生：不合适了，它只是其中的一个部分。
生：我认为可以叫笔算乘法。
教师肯定了两位学生的回答并板书新课题，提问：那么笔算乘法的计算法则是怎样的呢？
学生回答后，教师总结：从个位乘起，用第二个乘数每一位上的数去乘第一个乘数，用哪一位上的数去乘，就和哪一位对齐，最后把积相加。
总之，“三位数乘两位数”作为“后规则学习”的内容，可以让学生通过自主尝试，利用原有学习经验探究算理与算法，并进行比较分析，进一步抽象出更加一般意义上的乘法计算法则。
（浙江省杭州市萧山区高桥小学 311200
浙江省杭州市萧山区义桥镇渔浦小学 311200）