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摘 要：“倍的认识”是人教版小学数学三年级上册第五单元的内容。倍的概念是比较两个量之间的关系，对学生而言十分抽象，不易理解。教材修订后，整数倍的学习是学生第一次接触比率，而小数倍、分数（分率）、百分数、比的内容又可以看作是在“整数倍”的基础上的扩展。为了让学生更好地认识倍并理解倍的意义，在教学中笔者试着对教材进行研读并通过调查对单元知识进行重新组合、编排、整合教学。
关键词：倍的认识;教材研读;整合教学;小学数学
中图分类号：G427 文献标识码：A 文章编号：2095-624X（2020）42-0063-02
引 言
小学数学学习中，倍是一个非常重要的概念，在整个数学体系中占据举足轻重的地位。倍的本质是两个量之间的关系。学生对小学数学的认知主要是加法结构和乘法结构，其中乘法结构是在加法结构的基础上产生的[1]。在学习倍之前，学生在头脑中仅仅形成了加法结构，主要涉及数量的合并与比较多少的问题，而从未涉及两个量的比率问题。两个量或多个量之间的关系比较是让学生在脑海中形成乘法结构，因此，建立乘法结构的伊始就是对“倍”的学习。初次接触倍是从“量”到“率”的开始，对低学段小学生而言实属不易。
一、缘起：一个错例
学习“简易方程”是学生初次接触方程，但笔者在巡视时，不由头冒冷汗。学生对“比黑色皮的2倍少4块”的理解真是五花八门。笔者巡视一圈发现，真正理解到位的学生不到30%。
笔者对本校其他四个班进行了调查。但调查发现，能够理解“比黑色皮的2倍少4块”的学生也只占班级学生的38%。当涉及通过画图理解题意时，学生感到更加迷茫。这样看来，笔者想到有关倍的起始课——三年级上册的内容“倍的认识”。接着，笔者对人教版教材关于倍的知识点进行了研读。三年级上册教材的这一单元是在学生初步认识乘法与除法的基础上安排的，主要由两部分内容组成，一是建立倍的概念，二是解决与倍有关的实际问题。
二、深入调查
基于以上问题，笔者考虑到本校是乡镇学校，离县城较近，年轻教师和顶岗教师颇多。笔者开始思考，是不是教师在上课时对教材把握得不准确呢？于是笔者打算从以下几个方面展开调查研究。
调查对象：夹浦小学三年级6个平行班。
调查内容：解决与倍有关的实际问题。
调查方法：听课、反思、重构教学及学生练习。
在一堂新教师亮相课上，在上“一个数是另一个数的几倍”这节课时，教师和学生都提到了倍指的是大数是小数的倍数。真的是这样吗？笔者结合教学片段进行了深入思考。
教学片段：教学例2
第一步：出示主题图，画示意图（见图1）。
①你发现了哪些数学信息？
②你能提出一个可以用学过的知识解决的问题吗？
这是关于一个数是另一个数的几倍的问题，也是我们要探究的知识。（板书：求一个数是另一个数的几倍）
③用画一画、圈一圈的方式来表示擦桌椅的人数是扫地的几倍。学生尝试，教师巡视，集体反馈。
④教师总结：以扫地的4人为标准，将擦桌子的人以4个人为一组，一共可以分为3个组，所以擦桌子的人数是扫地的人数的3倍。
第二步：（列式法）求一个数是另一个数的几倍，可以通过画图理解。
师：要求擦桌椅的人数是扫地的人数的几倍，即求12里面有几个4。我们可以用什么方法来计算？（除法）
①那你会列式吗？在练习本上完成列式。
②学生独立完成练习，教师巡视。
③请学生说一说怎么列式。（12÷4=3）
追问：12表示什么？4表示什么？3表示什么？
④出示PPT画图加列式。
师：从图中可以得知，把扫地的4人看作1份，我们可以把这样的1份称作1倍数（板书1倍数）。擦桌椅的人数有这样的3个4人，就是3份，也就是3倍（板书多倍数）。所以擦桌椅的人数是扫地人数的3倍。需要注意的是，这里的倍不是单位名称，而是表示两种数量之间的关系，所以结果后面不用写上倍。
三、教学过程剖析
1.学生的直观模型未建立，思维未能得到有效提升
关于一个数是另一个数的几倍的教学，实质上就是让学生关注一个量里包含几个另一个量，从而帮助学生建立倍的模型。因而，教师需要借助图示分析数量关系。执教教师设计了画图的环节，但没有应用学生的作品，而是自己在黑板上出示准备好的图片进行讲解。学生的画图体现出了自己对所画图的分析过程，即学生对数量关系的理解过程。因此，传授性教学不仅不能在学生脑海中建立数学模型，而且没有提高学生的思维。
2.种子课教学延伸不到位，缺失深层意义
本節课的教学是基于前一节课“倍的认识”进行的。从课堂教学例题与练习题的对比中，教师总结求几倍就是用大数除以小数。由此可见，教师对倍的认识的意义有一定的缺失。在“倍的认识”教学中，我们不难发现，倍是对两个量进行比较的结果，学生的思维起点一定是“以谁为标准”。在倍比中，除了整数倍还存在几倍多几，以及不到一倍的情况，即小数倍。
3.学习起点把握不准确，缺失整体化教学
笔者在教学“倍的认识”时对学生做了前测：6只小鸡是3只小猴的几倍？学生的正确率只有39.6%。而“小猴有3只，小鸡的只数是小猴的2倍，小鸡有多少只？”的正确率为71.4%。从中可以看出，以“几个几”为基础来建立倍的认识，更加贴近学生的已有认知经验。解决“求一个数是另1个数的几倍”的问题就是为加深学生对倍的概念的理解创造机会。实际上，教师可以从比较量里有几个标准量出发，带领学生理解问题。而执教教师仅关注了以小数为标准量，大数是小数的几倍。实际上，学生如果对例1的认知到位，便能理解后续的“求一个数是另一个数的几倍和求一个数的几倍是多少”的题型。但教师在本节课中只处理了一个数是另一数的几倍，缺乏整体性与结构化，限制了学生思维的发展。 四、“倍的认识解决实际问题”的教学建议及思考
基于以上教学及剖析，笔者对整个教学设计进行重构。
【环节一】一个数是另一个数的几倍
学生自主探索“（ ）球是（ ）球的几倍？”
PPT出示：18个红球，9个黄球，3个绿球。
（ ）球是（ ）球的几倍？
师：（ ）球是（ ）球的几倍？请你进行填空，让它形成一个数学问题。
学生思考，并说出自己的问题。
师：请你用自己喜欢的方式解决自己提出的问题。
学生自主探索“（ ）球是（ ）球的几倍”问题。
【思考】教师让学生自己填空，通过大任务驱动的形式，使学生提升思辨能力，建立新旧知识之间的联系，使新旧知识融会贯通。教师在设计教学环节时要激发学生学习的内驱力，发挥学生的潜在能力，使学生积极主动地思考，而不是让学生被动地学习与思考，要充分发挥学生的创造性和智力潜能。
【环节二】半倍关系
PPT出示：（黄）球是（红）球的几倍？
学生独立思考并列式解答。
师：请你说一说怎么列式？怎么想的？
生1：18÷9=2。
生2：9÷18（不会计算结果）。
师：请大家用画图的方式来解决这个问题。
师补充：求黄球是红球的几倍，是以红球18个为标准作为1份，按照这个标准，黄球也要以18个为1份，但黄球只有9个，没有达到18个，所以不能看作1份，也就是黄球是红球的不到1倍。黄球虽然不到18个，却是18个的一半，也就是可以看作半份，我们可以说黃球是红球的半倍。
【思考】在学生认识整数倍后，教师应让学生初步感受到如果以较小量为标准，可以用整数倍来描述，如果以较大量为标准，那就是1倍不到，可以用分数或者小数倍来表示，突出倍的意义的生长点。
【环节三】学生自主探索“白球是（ ）球的2倍，白球有几个？”
PPT出示：白球是（ ）球的2倍。
教师画一些白球，白球的数量是前面某一种球的2倍，先让学生明确有几个白球。
师：你知道白球具体是哪一种球的2倍吗？
学生自主探索“白球是（ ）球的2倍，白球有几个”的问题。
教师巡视，收集学生作品，包括画图法和列式法。
【思考】倍的概念有着两种模型：乘法模型“几个几”和除法模型“一个数里面有几个另一个数”（包含除）。但无论怎样的模型，都应有联系、有沟通，让倍的学习空间更广。
通过分析可知，学生所说的“倍”，是指“大数是小数的倍数”这样的理解并非偶然，在笔者所在的学校并非个例。对于教材的结构性，教师把握不合理，只能一课时一课时地进行教学的不占少数，但这样的教学谈不上知识的迁移。长此以往 ，学生的思维受到限制，无法体会在数学学习的成功感与乐趣，最终丧失学习兴趣。由此可见，提升教师的教材解读与教材重组能力刻不容缓。
结 语
综上所述，任何知识性的教学都要以学生已有经验和认知水平为基础，教师必须考虑学生的兴趣点和困难点，以学情为前提，重组知识结构。我们现在提倡单元整体教学，但单元整体教学不等于单元整体学，而是要求教师进行结构化的思考。这需要教师在备课时，注意整个单元的联系性，做好前“沿”后“伸”工作，千万不能忽略概念意义的生长点。只有这样，透彻地理解知识，从而为后续学习奠定基础。
[参考文献]
斯苗儿.小学数学教学案例专题研究[M].杭州：浙江大学出版社，2005.
作者简介：柏敏霞（1987.9—），女，浙江长兴人，本科学历，中小学二级教师。
关键词：倍的认识;教材研读;整合教学;小学数学
中图分类号：G427 文献标识码：A 文章编号：2095-624X（2020）42-0063-02
引 言
小学数学学习中，倍是一个非常重要的概念，在整个数学体系中占据举足轻重的地位。倍的本质是两个量之间的关系。学生对小学数学的认知主要是加法结构和乘法结构，其中乘法结构是在加法结构的基础上产生的[1]。在学习倍之前，学生在头脑中仅仅形成了加法结构，主要涉及数量的合并与比较多少的问题，而从未涉及两个量的比率问题。两个量或多个量之间的关系比较是让学生在脑海中形成乘法结构，因此，建立乘法结构的伊始就是对“倍”的学习。初次接触倍是从“量”到“率”的开始，对低学段小学生而言实属不易。
一、缘起：一个错例
学习“简易方程”是学生初次接触方程，但笔者在巡视时，不由头冒冷汗。学生对“比黑色皮的2倍少4块”的理解真是五花八门。笔者巡视一圈发现，真正理解到位的学生不到30%。
笔者对本校其他四个班进行了调查。但调查发现，能够理解“比黑色皮的2倍少4块”的学生也只占班级学生的38%。当涉及通过画图理解题意时，学生感到更加迷茫。这样看来，笔者想到有关倍的起始课——三年级上册的内容“倍的认识”。接着，笔者对人教版教材关于倍的知识点进行了研读。三年级上册教材的这一单元是在学生初步认识乘法与除法的基础上安排的，主要由两部分内容组成，一是建立倍的概念，二是解决与倍有关的实际问题。
二、深入调查
基于以上问题，笔者考虑到本校是乡镇学校，离县城较近，年轻教师和顶岗教师颇多。笔者开始思考，是不是教师在上课时对教材把握得不准确呢？于是笔者打算从以下几个方面展开调查研究。
调查对象：夹浦小学三年级6个平行班。
调查内容：解决与倍有关的实际问题。
调查方法：听课、反思、重构教学及学生练习。
在一堂新教师亮相课上，在上“一个数是另一个数的几倍”这节课时，教师和学生都提到了倍指的是大数是小数的倍数。真的是这样吗？笔者结合教学片段进行了深入思考。
教学片段：教学例2
第一步：出示主题图，画示意图（见图1）。
①你发现了哪些数学信息？
②你能提出一个可以用学过的知识解决的问题吗？
这是关于一个数是另一个数的几倍的问题，也是我们要探究的知识。（板书：求一个数是另一个数的几倍）
③用画一画、圈一圈的方式来表示擦桌椅的人数是扫地的几倍。学生尝试，教师巡视，集体反馈。
④教师总结：以扫地的4人为标准，将擦桌子的人以4个人为一组，一共可以分为3个组，所以擦桌子的人数是扫地的人数的3倍。
第二步：（列式法）求一个数是另一个数的几倍，可以通过画图理解。
师：要求擦桌椅的人数是扫地的人数的几倍，即求12里面有几个4。我们可以用什么方法来计算？（除法）
①那你会列式吗？在练习本上完成列式。
②学生独立完成练习，教师巡视。
③请学生说一说怎么列式。（12÷4=3）
追问：12表示什么？4表示什么？3表示什么？
④出示PPT画图加列式。
师：从图中可以得知，把扫地的4人看作1份，我们可以把这样的1份称作1倍数（板书1倍数）。擦桌椅的人数有这样的3个4人，就是3份，也就是3倍（板书多倍数）。所以擦桌椅的人数是扫地人数的3倍。需要注意的是，这里的倍不是单位名称，而是表示两种数量之间的关系，所以结果后面不用写上倍。
三、教学过程剖析
1.学生的直观模型未建立，思维未能得到有效提升
关于一个数是另一个数的几倍的教学，实质上就是让学生关注一个量里包含几个另一个量，从而帮助学生建立倍的模型。因而，教师需要借助图示分析数量关系。执教教师设计了画图的环节，但没有应用学生的作品，而是自己在黑板上出示准备好的图片进行讲解。学生的画图体现出了自己对所画图的分析过程，即学生对数量关系的理解过程。因此，传授性教学不仅不能在学生脑海中建立数学模型，而且没有提高学生的思维。
2.种子课教学延伸不到位，缺失深层意义
本節课的教学是基于前一节课“倍的认识”进行的。从课堂教学例题与练习题的对比中，教师总结求几倍就是用大数除以小数。由此可见，教师对倍的认识的意义有一定的缺失。在“倍的认识”教学中，我们不难发现，倍是对两个量进行比较的结果，学生的思维起点一定是“以谁为标准”。在倍比中，除了整数倍还存在几倍多几，以及不到一倍的情况，即小数倍。
3.学习起点把握不准确，缺失整体化教学
笔者在教学“倍的认识”时对学生做了前测：6只小鸡是3只小猴的几倍？学生的正确率只有39.6%。而“小猴有3只，小鸡的只数是小猴的2倍，小鸡有多少只？”的正确率为71.4%。从中可以看出，以“几个几”为基础来建立倍的认识，更加贴近学生的已有认知经验。解决“求一个数是另1个数的几倍”的问题就是为加深学生对倍的概念的理解创造机会。实际上，教师可以从比较量里有几个标准量出发，带领学生理解问题。而执教教师仅关注了以小数为标准量，大数是小数的几倍。实际上，学生如果对例1的认知到位，便能理解后续的“求一个数是另一个数的几倍和求一个数的几倍是多少”的题型。但教师在本节课中只处理了一个数是另一数的几倍，缺乏整体性与结构化，限制了学生思维的发展。 四、“倍的认识解决实际问题”的教学建议及思考
基于以上教学及剖析，笔者对整个教学设计进行重构。
【环节一】一个数是另一个数的几倍
学生自主探索“（ ）球是（ ）球的几倍？”
PPT出示：18个红球，9个黄球，3个绿球。
（ ）球是（ ）球的几倍？
师：（ ）球是（ ）球的几倍？请你进行填空，让它形成一个数学问题。
学生思考，并说出自己的问题。
师：请你用自己喜欢的方式解决自己提出的问题。
学生自主探索“（ ）球是（ ）球的几倍”问题。
【思考】教师让学生自己填空，通过大任务驱动的形式，使学生提升思辨能力，建立新旧知识之间的联系，使新旧知识融会贯通。教师在设计教学环节时要激发学生学习的内驱力，发挥学生的潜在能力，使学生积极主动地思考，而不是让学生被动地学习与思考，要充分发挥学生的创造性和智力潜能。
【环节二】半倍关系
PPT出示：（黄）球是（红）球的几倍？
学生独立思考并列式解答。
师：请你说一说怎么列式？怎么想的？
生1：18÷9=2。
生2：9÷18（不会计算结果）。
师：请大家用画图的方式来解决这个问题。
师补充：求黄球是红球的几倍，是以红球18个为标准作为1份，按照这个标准，黄球也要以18个为1份，但黄球只有9个，没有达到18个，所以不能看作1份，也就是黄球是红球的不到1倍。黄球虽然不到18个，却是18个的一半，也就是可以看作半份，我们可以说黃球是红球的半倍。
【思考】在学生认识整数倍后，教师应让学生初步感受到如果以较小量为标准，可以用整数倍来描述，如果以较大量为标准，那就是1倍不到，可以用分数或者小数倍来表示，突出倍的意义的生长点。
【环节三】学生自主探索“白球是（ ）球的2倍，白球有几个？”
PPT出示：白球是（ ）球的2倍。
教师画一些白球，白球的数量是前面某一种球的2倍，先让学生明确有几个白球。
师：你知道白球具体是哪一种球的2倍吗？
学生自主探索“白球是（ ）球的2倍，白球有几个”的问题。
教师巡视，收集学生作品，包括画图法和列式法。
【思考】倍的概念有着两种模型：乘法模型“几个几”和除法模型“一个数里面有几个另一个数”（包含除）。但无论怎样的模型，都应有联系、有沟通，让倍的学习空间更广。
通过分析可知，学生所说的“倍”，是指“大数是小数的倍数”这样的理解并非偶然，在笔者所在的学校并非个例。对于教材的结构性，教师把握不合理，只能一课时一课时地进行教学的不占少数，但这样的教学谈不上知识的迁移。长此以往 ，学生的思维受到限制，无法体会在数学学习的成功感与乐趣，最终丧失学习兴趣。由此可见，提升教师的教材解读与教材重组能力刻不容缓。
结 语
综上所述，任何知识性的教学都要以学生已有经验和认知水平为基础，教师必须考虑学生的兴趣点和困难点，以学情为前提，重组知识结构。我们现在提倡单元整体教学，但单元整体教学不等于单元整体学，而是要求教师进行结构化的思考。这需要教师在备课时，注意整个单元的联系性，做好前“沿”后“伸”工作，千万不能忽略概念意义的生长点。只有这样，透彻地理解知识，从而为后续学习奠定基础。
[参考文献]
斯苗儿.小学数学教学案例专题研究[M].杭州：浙江大学出版社，2005.
作者简介：柏敏霞（1987.9—），女，浙江长兴人，本科学历，中小学二级教师。