论文部分内容阅读
【摘要】 在“圆的面积”教学中，让学生经历观察、猜测、试验、验证、抽象概括等学习过程，帮助学生积累活动经验，引导学生在知识产生、形成、发展的过程中感悟数学思想方法，感受数学课堂魅力.
【关键词】 活动经验；转化思想；极限思想；策略多样化
《数学课程标准》中指出：“数学思想蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中. ”“帮助学生积累数学活动经验是提高学生素养的重要标志. ”因此，使学生获得数学的基本思想应是数学课程的重要目标. 基于此认识，在“圆的面积”教学这一课中，我以此为理论支撑，注重丰富学生的活动经验，引导学生感悟数学思想，实现以下思维导向.
一、在知识的生长点上寻求延伸点，渗透转化思想
《数学课程标准》指出：教学中要引导学生积极参与学习活动，逐步感悟数学思想. 而数学是一门系统性强、逻辑严密的学科，数学知识之间相互联系，教材的编排紧扣知识的网络结构螺旋上长. 数学学习过程是学生根据已有的数学经验、认知结构进行的一种主动建构的过程，每一个新的教学内容都有其相应的学习起点. 在“圆的面积”教学中，找准新课的起始点，把握知识的生长点，擅用“四两拨千斤”之巧，可在知识的延伸处渗透转化思想.
教学回放1：把圆转化成什么图形呢？
师：我们以前学平行四边形、三角形、梯形的面积计算公式时是用什么方法推导出来的？
生：通过剪一剪、拼一拼的办法，把新图形转化成已经学过的图形再计算面积.
师：那么圆可转化为哪一个学过的图形呢？
生：猜测可以剪成长方形、正方形、三角形、梯形.
师：各个小组用事先准备的圆剪一剪、拼一拼，试试看！可以选择把圆转化成你所喜欢的学过的平面图形长方形、平行四边形、梯形、三角形.
师：课堂巡视中发现有同学沿着半径把圆剪开，马上抓住机会，展示该同学的作品，追问他并引发其他同学思考：为什么把圆沿着半径剪呢？
学生：以前转化图形经常沿高剪开，圆找不到高就试着沿半径剪开.
师：这种思路给了我们很大的启发！其他同学也可以学着试一试、剪一剪、拼一拼，也许有新的发现在等着我们.
明朝学者陈献章说：“学贵质疑，小疑则小进，大疑则大进. 疑者，觉悟之机也. ”在数学教学中，数学知识是条明线，清楚记载于教材中，而数学思想方法是条暗线，隐含在教材深处，贯穿于知识与技能形成的过程中. 注重知识的结构体系，挖掘教材的内在联系，关注知识的“生长点”与“延伸点”，数学知识学习的过程才能简洁高效，数学思想方法的渗透才能“润物无声”. 在这一环节教学中，我巧设思维火点，通过唤醒学生已有的学习经验，启发尝试利用平行四边形、三角形和梯形面积计算公式的推导方法学习圆面积，让学生欲罢不能，非探个究竟不可，激起学生用旧知探索新知的兴趣，尝试用转化思想方法解决问题.
二、在知识生成的延伸点上，感悟极限思想
先秦诸子《庄子·天下篇》著作中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”已有极限思想的萌芽；《九章算术》中魏晋时期数学家刘徽创立了“割圆术”，“割之弥细，所失弥少，割之又割以至不可割，则与圆合体而无所失矣”.则是把极限思想和极限概念运用于解决实际问题中，体现了数学深刻的内涵. 而小学生受其年龄特征的限制，对具体的、有限的事物容易理解接受，而对于抽象的、数量无限的事物难于理解. 因此在圆的面积教学中，要帮助学生理解极限的内涵，需要教师善于把握教材的特点，挖掘教材深处隐含的本质，在知识生成的延伸点上，引导学生感悟极限思想.
教学回放2：拼成的图形满意吗？
师：按照这种思路拼成的近似平行四边形你们都很满意吗？
生：不满意，边太弯了.
师：那么有没有什么办法让它的边变得更直呢？
生：再多剪几份.
师：意思是说，把圆分得更多份，是吗？
师：如果剪的份数越多，猜一猜，会出现什么情况？
生：边就会越来越直.
师：是像我们猜想的这样吗？借助大屏幕验证一下.
（课件演示：4等份、8等份、16等份、32等份所拼成的近似平行四边形）
师：观察这四种分法，比较一下，同样大小的圆平均分的份数不同，拼出来的图形有什么变化？
生：平均分的份数越多，边就越直.
师：如果继续往下分，会出现什么情况？
生：继续往下分，图形的边会越来越直，拼成后图形的面积会越来越接近圆的面积. （课件相应出现省略号，造成学生的视觉冲突，想象无限分割的情景）
教学过程中，把圆由4等份至32等份，使学生在观察比较中直观感受“化曲为直”“化圆为方”的过程. 从“分的份数越来越多”到“这样一直分下去”的过程就是“无限”的过程，“图形就真的慢慢变成了长方形”就是收敛的结果. 使学生经历了从无限到极限的过程，体验知识产生、形成的过程，积累活动经验，并通过省略号引导学生观察，在有限分割的基础上想象它们的极限状态，感受无限逼近的极限思想，由此发展学生的形象思维、抽象思维、逻辑思维.
三、在实践操作中，体验解决问题方法的多样化
新课标理念倡导，让学生经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法的多样性，掌握分析问题和解决问题的一些基本方法. 本课从“问题情境—建立模型—求解验证”的过程中，引导学生通过发现问题，大胆猜想，实践操作，使学生在剪一剪、拼一拼的学习活动中，经历把圆面积转化为已学过的长方形、平行四边形、梯形、三角形的面积，从中感受数学学习“殊途同归”之奥妙所在，体会解决问题方法的多样化.
教学回放3：圆的面积计算有别的推导方法吗？
师：圆的面积计算有别的推导方法吗？
（展示学生拼成的图形，借助多媒体课件，汇总各种推导方法）
课件演示：
第一种方法：16等份圆拼成近似成长方形.
① 拼成的图形是长方形吗？（是近似的长方形，因为它的上下两条边不是线段）
② 圆和近似的长方形有什么关系？（形状变了，面积相等）
③ 近似长方形的长相当于圆的哪一部分？怎样用字母表示？圆周长的一半， = πr，它的宽是圆的哪一部分？（半径r）④ 你能推导出圆的面积计算公式吗？
师生共同整理：（板书）
第二种方法：16等份圆拼成近似平行四边形.（汇报过程略）
第三种方法：16等份圆拼成近似等腰梯形.
梯形的面积 = （上底 + 下底） × 高 ÷ 2
第四种方法：16等份圆拼成近似等腰三角形.
三角形的面积 = 底 × 高 ÷ 2
师：如果把圆无限等分下去，用n表示份数，那么利用三角形面积推导圆的面积还能成立吗？（借助课件，引导学生验证）
师：当把圆平均分成n个三角形，每个三角形的面积即 × r ÷ 2，则n个三角形的面积就是圆的面积.
数学学习活动是学生自主建构数学知识的活动. 教学中应跳出认知技能的框框，不把基本知识的获得当成唯一目标，而应关注学生的学习过程，让学生在自主体验中实现发展性的领域目标. 通过引导把圆拼成学过的不同图形，并找出转化后的图形与圆的面积的关系，在观察、猜想、操作、验证等数学活动中，让学生体会解决问题方法的多样化，丰富学生实践活动经验，使学生感受数学学习之奥妙所在.
总之，一个数学思想的形成要需要经历一个从模糊到清晰、从理解到应用的长期发展过程，需要在不同的数学内容教学中通过提炼、总结、理解、应用等循环往复的过程逐步形成，学生只有经历这样的学习过程，积累了一定的活动经验，才能逐步悟出数学知识、技能中蕴含的数学思想.
【参考文献】
[1]义务教育数学课程标准（2011年版）.第45，46页.
[2]义务教育数学课程标准（2011年版）.解读版，第270页.
【关键词】 活动经验；转化思想；极限思想；策略多样化
《数学课程标准》中指出：“数学思想蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中. ”“帮助学生积累数学活动经验是提高学生素养的重要标志. ”因此，使学生获得数学的基本思想应是数学课程的重要目标. 基于此认识，在“圆的面积”教学这一课中，我以此为理论支撑，注重丰富学生的活动经验，引导学生感悟数学思想，实现以下思维导向.
一、在知识的生长点上寻求延伸点，渗透转化思想
《数学课程标准》指出：教学中要引导学生积极参与学习活动，逐步感悟数学思想. 而数学是一门系统性强、逻辑严密的学科，数学知识之间相互联系，教材的编排紧扣知识的网络结构螺旋上长. 数学学习过程是学生根据已有的数学经验、认知结构进行的一种主动建构的过程，每一个新的教学内容都有其相应的学习起点. 在“圆的面积”教学中，找准新课的起始点，把握知识的生长点，擅用“四两拨千斤”之巧，可在知识的延伸处渗透转化思想.
教学回放1：把圆转化成什么图形呢？
师：我们以前学平行四边形、三角形、梯形的面积计算公式时是用什么方法推导出来的？
生：通过剪一剪、拼一拼的办法，把新图形转化成已经学过的图形再计算面积.
师：那么圆可转化为哪一个学过的图形呢？
生：猜测可以剪成长方形、正方形、三角形、梯形.
师：各个小组用事先准备的圆剪一剪、拼一拼，试试看！可以选择把圆转化成你所喜欢的学过的平面图形长方形、平行四边形、梯形、三角形.
师：课堂巡视中发现有同学沿着半径把圆剪开，马上抓住机会，展示该同学的作品，追问他并引发其他同学思考：为什么把圆沿着半径剪呢？
学生：以前转化图形经常沿高剪开，圆找不到高就试着沿半径剪开.
师：这种思路给了我们很大的启发！其他同学也可以学着试一试、剪一剪、拼一拼，也许有新的发现在等着我们.
明朝学者陈献章说：“学贵质疑，小疑则小进，大疑则大进. 疑者，觉悟之机也. ”在数学教学中，数学知识是条明线，清楚记载于教材中，而数学思想方法是条暗线，隐含在教材深处，贯穿于知识与技能形成的过程中. 注重知识的结构体系，挖掘教材的内在联系，关注知识的“生长点”与“延伸点”，数学知识学习的过程才能简洁高效，数学思想方法的渗透才能“润物无声”. 在这一环节教学中，我巧设思维火点，通过唤醒学生已有的学习经验，启发尝试利用平行四边形、三角形和梯形面积计算公式的推导方法学习圆面积，让学生欲罢不能，非探个究竟不可，激起学生用旧知探索新知的兴趣，尝试用转化思想方法解决问题.
二、在知识生成的延伸点上，感悟极限思想
先秦诸子《庄子·天下篇》著作中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”已有极限思想的萌芽；《九章算术》中魏晋时期数学家刘徽创立了“割圆术”，“割之弥细，所失弥少，割之又割以至不可割，则与圆合体而无所失矣”.则是把极限思想和极限概念运用于解决实际问题中，体现了数学深刻的内涵. 而小学生受其年龄特征的限制，对具体的、有限的事物容易理解接受，而对于抽象的、数量无限的事物难于理解. 因此在圆的面积教学中，要帮助学生理解极限的内涵，需要教师善于把握教材的特点，挖掘教材深处隐含的本质，在知识生成的延伸点上，引导学生感悟极限思想.
教学回放2：拼成的图形满意吗？
师：按照这种思路拼成的近似平行四边形你们都很满意吗？
生：不满意，边太弯了.
师：那么有没有什么办法让它的边变得更直呢？
生：再多剪几份.
师：意思是说，把圆分得更多份，是吗？
师：如果剪的份数越多，猜一猜，会出现什么情况？
生：边就会越来越直.
师：是像我们猜想的这样吗？借助大屏幕验证一下.
（课件演示：4等份、8等份、16等份、32等份所拼成的近似平行四边形）
师：观察这四种分法，比较一下，同样大小的圆平均分的份数不同，拼出来的图形有什么变化？
生：平均分的份数越多，边就越直.
师：如果继续往下分，会出现什么情况？
生：继续往下分，图形的边会越来越直，拼成后图形的面积会越来越接近圆的面积. （课件相应出现省略号，造成学生的视觉冲突，想象无限分割的情景）
教学过程中，把圆由4等份至32等份，使学生在观察比较中直观感受“化曲为直”“化圆为方”的过程. 从“分的份数越来越多”到“这样一直分下去”的过程就是“无限”的过程，“图形就真的慢慢变成了长方形”就是收敛的结果. 使学生经历了从无限到极限的过程，体验知识产生、形成的过程，积累活动经验，并通过省略号引导学生观察，在有限分割的基础上想象它们的极限状态，感受无限逼近的极限思想，由此发展学生的形象思维、抽象思维、逻辑思维.
三、在实践操作中，体验解决问题方法的多样化
新课标理念倡导，让学生经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法的多样性，掌握分析问题和解决问题的一些基本方法. 本课从“问题情境—建立模型—求解验证”的过程中，引导学生通过发现问题，大胆猜想，实践操作，使学生在剪一剪、拼一拼的学习活动中，经历把圆面积转化为已学过的长方形、平行四边形、梯形、三角形的面积，从中感受数学学习“殊途同归”之奥妙所在，体会解决问题方法的多样化.
教学回放3：圆的面积计算有别的推导方法吗？
师：圆的面积计算有别的推导方法吗？
（展示学生拼成的图形，借助多媒体课件，汇总各种推导方法）
课件演示：
第一种方法：16等份圆拼成近似成长方形.
① 拼成的图形是长方形吗？（是近似的长方形，因为它的上下两条边不是线段）
② 圆和近似的长方形有什么关系？（形状变了，面积相等）
③ 近似长方形的长相当于圆的哪一部分？怎样用字母表示？圆周长的一半， = πr，它的宽是圆的哪一部分？（半径r）④ 你能推导出圆的面积计算公式吗？
师生共同整理：（板书）
第二种方法：16等份圆拼成近似平行四边形.（汇报过程略）
第三种方法：16等份圆拼成近似等腰梯形.
梯形的面积 = （上底 + 下底） × 高 ÷ 2
第四种方法：16等份圆拼成近似等腰三角形.
三角形的面积 = 底 × 高 ÷ 2
师：如果把圆无限等分下去，用n表示份数，那么利用三角形面积推导圆的面积还能成立吗？（借助课件，引导学生验证）
师：当把圆平均分成n个三角形，每个三角形的面积即 × r ÷ 2，则n个三角形的面积就是圆的面积.
数学学习活动是学生自主建构数学知识的活动. 教学中应跳出认知技能的框框，不把基本知识的获得当成唯一目标，而应关注学生的学习过程，让学生在自主体验中实现发展性的领域目标. 通过引导把圆拼成学过的不同图形，并找出转化后的图形与圆的面积的关系，在观察、猜想、操作、验证等数学活动中，让学生体会解决问题方法的多样化，丰富学生实践活动经验，使学生感受数学学习之奥妙所在.
总之，一个数学思想的形成要需要经历一个从模糊到清晰、从理解到应用的长期发展过程，需要在不同的数学内容教学中通过提炼、总结、理解、应用等循环往复的过程逐步形成，学生只有经历这样的学习过程，积累了一定的活动经验，才能逐步悟出数学知识、技能中蕴含的数学思想.
【参考文献】
[1]义务教育数学课程标准（2011年版）.第45，46页.
[2]义务教育数学课程标准（2011年版）.解读版，第270页.