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摘要：随着新课改的不断深入，培养学生的数学核心素养成为教学的首要任务。在高中数学教学中，解题教学占有重要地位，如何在反思解题过程中培养学生的核心素养是每位数学教师都要考虑的问题。
关键词：核心素养 解题过程 反思
在中学数学教学过程中，经常会遇到这样的现象：有些学生虽然做了大量的练习题，但是数学成绩却难以提升。对此，学生和家长都很苦恼。许多学生认为学好数学的关键就是要多做题，但在注重做题的数量时却忽视了解题的质量。如何才能提高解题质量呢？数学家波利亚在其著作《怎样解题》中指出，数学解题过程分以下四个步骤：审题→探索→表达→反思。很多学生解题只完成了前三步，即理解题意、找到解题方法、写出解答，就认为已经完成了练习任务，并快速进入到下一道练习题中，如此往复，很少再回过头来对自己的解题过程进行深刻反思。事实上，反思是数学解题过程中一个必不可少的重要环节，从某种程度上说，它比前三阶段更为重要。反思既是对解题过程的深入思考，也是进一步深化、整理和提高的思维过程，更是培养数学核心素养的重要手段。
数学核心素养是具有数学基本特征的、适应个人终身发展和社会发展需要的人的思维品质与关键能力，是数学课程目标的集中体现。数学思维是数学核心素养最重要的部分，也是发展学生数学素养的根基所在。在数学教学过程中，笔者发现一些学生没有正确认识解题的真正目的，把解题单纯看作是为了得到答案而进行的认知活动，缺乏对解题过程的反思能力，没有深入理解数学问题的本质，没有掌握正确的数学思维方法。作为一名数学教师，我们必须让学生认识到反思在解题过程中的重要性，让他们学会主动、积极反思。下面结合几道高中数学题从三个方面来具体阐述如何进行反思。
一、反思解题思路的灵活性与创造性
拿到一个数学题目，首先很自然地需要对题目给出的条件进行全面分析，挖掘潜在信息，这样才能找到问题解决的思路。
例1 已知函数f（x）（x∈R）可导，且f（x）<f′（x）及f（x）>0对任意的x∈R恒成立，试比较f（2010）与e2010f（0）的大小。
从题目条件来看，这应该是考查导数应用的一个题目，但是如果局限于题目中的函数f（x），往往很难与要比较大小的两个式子联系起来。再观察已知条件，会发现“f（x）<f′（x）及f（x）>0”可以变形为f′（x）f（x）-1>0，其中f′（x）f（x）-1是函数F（x）=lnf（x）-x的导数，由此可以得出函数F（x）在R上是单调递增的，那么F（2010）>F（0）。有了这个结论之后，离问题的解决也就不远了。做完此题，我们再来反思这道题的解题过程，可以发现构造函数F（x）是一个极其重要的突破口，是解题的关键。也许学生会说“这题解法太巧了，太难想到了”，但是在处理一些看似棘手的数学问题时， 经常需要通过适当的变形与构造，借助于“辅助函数”的方法来解决。
例2 若a、b、c成等差数列，求直线ax+by+c=0被椭圆x22+y28=1截得的线段中点的轨迹方程。
学生第一印象是这道题要用代数法韦达定理来做，可是在做的过程中会发现参数很多，化简相当复杂，于是有的同学很快就做不下去了。其实我们可以仔细观察已知条件，由等差数列易知a-2b+c=0，即直线ax+by+c=0恒过定点（1，-2），而点（1，-2）恰好也在椭圆上，这样一来问题就简单化了。从上面可以看到反思题设的条件是找到正确解题方法的关键。
二、反思解题过程的条理性与规范性
在平时的教学过程中经常会发现：有的学生在解题过程的书写能力上非常欠缺，导致“懂而不会、会而不对、对而不全”;面对问题时感觉都似曾相识，但要自己独立表达的时候却不知道怎么下笔;写出来的过程往往没有条理，分析法和综合法并用，条件和结论倒置等，有的甚至逻辑都是错误的。数學大师华罗庚曾教育中学生在数学表达上要做到“想得清楚、说得明白、写得干净”。因此，我们应在平时解题时就注意解题的条理性。
例3 某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为45、35、25，且各轮问题能否正确回答互不影响.求该选手被淘汰的概率.
这道题是一道高考概率题，属于较易题，但是很多考生在做题的时候都只是给出几个概率，就直接得到答案，结果得分很低，主要原因就是书写没有条理，答题不够规范。
那么，如何有条理地表达解题的过程呢？首先，要从语言方面打基础。部分同学认为数学问题的解决只要用数学符号表达就可以了，因此整个题目写下来一个文字也没有。实际上，数学问题的完整表述常常离不开符号语言、图形语言、文字语言。表达是否规范、有条理，能准确地反映出学生对该知识点的理解是否正确、程度是否深入。尤其是随着学习的深入，很多数学问题都是综合性问题，往往考查多个知识点和多种数学思想方法，如果没有规范和有条理的解题过程，容易中途出错，从而无法解决问题。因此，规范、有条理的书写，有利于培养学生的数学归纳能力和逻辑推理能力。
其次，在解题过程中要注意规范解题，这不仅仅是就考试而言，在平时作业中更要重视。由于各方面的压力，学生往往会被要求做很多的训练题，教师则忙于批改大量的作业，往往只看学生答案正确与否，忽略了学生的解题过程是否规范和有条理。在这样的恶性循环下，学生和教师都苦不堪言，而且收获也很少。实际上，教师在批改作业的过程中可以捕捉到学生的思维痕迹，了解学生在解答作业中思维的水平与质量，发现其中的问题。有的作业答案是对的，但是解题过程在推导、分析等方面有一定的不足，如果是考试，这种解题过程往往是要扣分的，这时如果教师直接判“对”就不合理了，而且容易误导学生，让他们觉得自己的解题过程是没有问题的。所以，教师在处理学生的作业要更加合理、科学。我们可以开展作业、试卷规范解题和不规范解题的展示活动，树立榜样、形成反差，还可以让学生评讲作业、板书解题过程，在比较中让学生学会如何规范、有条理地表达数学解题过程。这样，学生在平时的学习过程中就会注意培养解题过程的条理性，解题能力自然也会越来越强。 三、反思解题过程的完整性与简洁性
例5 在△OAB中，点A（2，1），B（3，0），O为原点点E在射线OB上自O开始向右移动，设OE=x，过E作OB的垂线l，记△OAB在直线l左边部分的面积为S，试写出直线l左边部分的面积S与x的函数关系式。
一位学生的解题过程是这样的：
这是高一第一单元测试的一道试题，主要考查分段函数的解析式的求法，同时也是一道应用题，考查对实际问题的分析能力。从某种程度上来说，这位同学是直接给出了正确答案，但是作为一道解答题，光知道答案是不够的，关键是要表达解题过程，通俗一点说就是把你的所想所知用数学的语言表述出来。首先这个表述应该是完整的，也就是每一步的推导过程能够从你的解题过程中看到;其次这个表述必须简洁，因为试卷的版面是有限的。作为高一的学生，他们往往欠缺这样的能力。那么，如何让答题表述完整而又简洁呢？可以参照解题过程：
解：由题意知△OAB在直线l左边部分的图形因点E位置的不同而不同，因此面积S与x的关系式要分类讨论。
将该名学生的解答过程与规范解答过程进行比较可以发现，学生的解答过程很明显欠缺完整性。完整的解题过程是解题思维的语言表达，读者通过解题过程可以清楚地了解这道题的解题思路是什么、用了什么解题方法、做了哪些数学计算。解决了解题过程的完整性问题外，我们还要注意解题过程的简洁性，即解题过程的每一步都是必要的，没有重复的说明，没有啰唆的语言表述，只有这样才符合数学严谨而简洁的特点。
众所周知，“问题是数学的心脏”，数学学习永远离不开解题。解題训练可以加深学生对知识要点的理解，提高他们分析、解决问题的能力。但这并不意味着解题越多，数学能力就越强。很多成绩优秀的学生都有这样的共识：做题不在多而在精。“精”是透彻、明白，真正透彻理解和掌握问题的结构和本质;“精”是掌握解题的规律，能够将问题提升到“一题多解”和“多题一解”的认识高度。“学而不思则罔”，只有通过反思，才能真正挖掘和体现解题的价值，才能做到“精”而“不罔”，才能使数学思维的水平上升到一个新的高度，才能形成良好的思维品质和科学的思维方式，才能真正地培养数学的核心素养，使学生终身受益。
参考文献：
[1]黄天光.高中数学反思解题教学的设计与实践[J].亚太教育， 2016（23）：147.
[2]胡海杰. 反思结果，剖析过程，探求本质——高中数学解题反思三部曲[J]. 中学数学， 2018（5）：7274.
责任编辑：黄大灿
关键词：核心素养 解题过程 反思
在中学数学教学过程中，经常会遇到这样的现象：有些学生虽然做了大量的练习题，但是数学成绩却难以提升。对此，学生和家长都很苦恼。许多学生认为学好数学的关键就是要多做题，但在注重做题的数量时却忽视了解题的质量。如何才能提高解题质量呢？数学家波利亚在其著作《怎样解题》中指出，数学解题过程分以下四个步骤：审题→探索→表达→反思。很多学生解题只完成了前三步，即理解题意、找到解题方法、写出解答，就认为已经完成了练习任务，并快速进入到下一道练习题中，如此往复，很少再回过头来对自己的解题过程进行深刻反思。事实上，反思是数学解题过程中一个必不可少的重要环节，从某种程度上说，它比前三阶段更为重要。反思既是对解题过程的深入思考，也是进一步深化、整理和提高的思维过程，更是培养数学核心素养的重要手段。
数学核心素养是具有数学基本特征的、适应个人终身发展和社会发展需要的人的思维品质与关键能力，是数学课程目标的集中体现。数学思维是数学核心素养最重要的部分，也是发展学生数学素养的根基所在。在数学教学过程中，笔者发现一些学生没有正确认识解题的真正目的，把解题单纯看作是为了得到答案而进行的认知活动，缺乏对解题过程的反思能力，没有深入理解数学问题的本质，没有掌握正确的数学思维方法。作为一名数学教师，我们必须让学生认识到反思在解题过程中的重要性，让他们学会主动、积极反思。下面结合几道高中数学题从三个方面来具体阐述如何进行反思。
一、反思解题思路的灵活性与创造性
拿到一个数学题目，首先很自然地需要对题目给出的条件进行全面分析，挖掘潜在信息，这样才能找到问题解决的思路。
例1 已知函数f（x）（x∈R）可导，且f（x）<f′（x）及f（x）>0对任意的x∈R恒成立，试比较f（2010）与e2010f（0）的大小。
从题目条件来看，这应该是考查导数应用的一个题目，但是如果局限于题目中的函数f（x），往往很难与要比较大小的两个式子联系起来。再观察已知条件，会发现“f（x）<f′（x）及f（x）>0”可以变形为f′（x）f（x）-1>0，其中f′（x）f（x）-1是函数F（x）=lnf（x）-x的导数，由此可以得出函数F（x）在R上是单调递增的，那么F（2010）>F（0）。有了这个结论之后，离问题的解决也就不远了。做完此题，我们再来反思这道题的解题过程，可以发现构造函数F（x）是一个极其重要的突破口，是解题的关键。也许学生会说“这题解法太巧了，太难想到了”，但是在处理一些看似棘手的数学问题时， 经常需要通过适当的变形与构造，借助于“辅助函数”的方法来解决。
例2 若a、b、c成等差数列，求直线ax+by+c=0被椭圆x22+y28=1截得的线段中点的轨迹方程。
学生第一印象是这道题要用代数法韦达定理来做，可是在做的过程中会发现参数很多，化简相当复杂，于是有的同学很快就做不下去了。其实我们可以仔细观察已知条件，由等差数列易知a-2b+c=0，即直线ax+by+c=0恒过定点（1，-2），而点（1，-2）恰好也在椭圆上，这样一来问题就简单化了。从上面可以看到反思题设的条件是找到正确解题方法的关键。
二、反思解题过程的条理性与规范性
在平时的教学过程中经常会发现：有的学生在解题过程的书写能力上非常欠缺，导致“懂而不会、会而不对、对而不全”;面对问题时感觉都似曾相识，但要自己独立表达的时候却不知道怎么下笔;写出来的过程往往没有条理，分析法和综合法并用，条件和结论倒置等，有的甚至逻辑都是错误的。数學大师华罗庚曾教育中学生在数学表达上要做到“想得清楚、说得明白、写得干净”。因此，我们应在平时解题时就注意解题的条理性。
例3 某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为45、35、25，且各轮问题能否正确回答互不影响.求该选手被淘汰的概率.
这道题是一道高考概率题，属于较易题，但是很多考生在做题的时候都只是给出几个概率，就直接得到答案，结果得分很低，主要原因就是书写没有条理，答题不够规范。
那么，如何有条理地表达解题的过程呢？首先，要从语言方面打基础。部分同学认为数学问题的解决只要用数学符号表达就可以了，因此整个题目写下来一个文字也没有。实际上，数学问题的完整表述常常离不开符号语言、图形语言、文字语言。表达是否规范、有条理，能准确地反映出学生对该知识点的理解是否正确、程度是否深入。尤其是随着学习的深入，很多数学问题都是综合性问题，往往考查多个知识点和多种数学思想方法，如果没有规范和有条理的解题过程，容易中途出错，从而无法解决问题。因此，规范、有条理的书写，有利于培养学生的数学归纳能力和逻辑推理能力。
其次，在解题过程中要注意规范解题，这不仅仅是就考试而言，在平时作业中更要重视。由于各方面的压力，学生往往会被要求做很多的训练题，教师则忙于批改大量的作业，往往只看学生答案正确与否，忽略了学生的解题过程是否规范和有条理。在这样的恶性循环下，学生和教师都苦不堪言，而且收获也很少。实际上，教师在批改作业的过程中可以捕捉到学生的思维痕迹，了解学生在解答作业中思维的水平与质量，发现其中的问题。有的作业答案是对的，但是解题过程在推导、分析等方面有一定的不足，如果是考试，这种解题过程往往是要扣分的，这时如果教师直接判“对”就不合理了，而且容易误导学生，让他们觉得自己的解题过程是没有问题的。所以，教师在处理学生的作业要更加合理、科学。我们可以开展作业、试卷规范解题和不规范解题的展示活动，树立榜样、形成反差，还可以让学生评讲作业、板书解题过程，在比较中让学生学会如何规范、有条理地表达数学解题过程。这样，学生在平时的学习过程中就会注意培养解题过程的条理性，解题能力自然也会越来越强。 三、反思解题过程的完整性与简洁性
例5 在△OAB中，点A（2，1），B（3，0），O为原点点E在射线OB上自O开始向右移动，设OE=x，过E作OB的垂线l，记△OAB在直线l左边部分的面积为S，试写出直线l左边部分的面积S与x的函数关系式。
一位学生的解题过程是这样的：
这是高一第一单元测试的一道试题，主要考查分段函数的解析式的求法，同时也是一道应用题，考查对实际问题的分析能力。从某种程度上来说，这位同学是直接给出了正确答案，但是作为一道解答题，光知道答案是不够的，关键是要表达解题过程，通俗一点说就是把你的所想所知用数学的语言表述出来。首先这个表述应该是完整的，也就是每一步的推导过程能够从你的解题过程中看到;其次这个表述必须简洁，因为试卷的版面是有限的。作为高一的学生，他们往往欠缺这样的能力。那么，如何让答题表述完整而又简洁呢？可以参照解题过程：
解：由题意知△OAB在直线l左边部分的图形因点E位置的不同而不同，因此面积S与x的关系式要分类讨论。
将该名学生的解答过程与规范解答过程进行比较可以发现，学生的解答过程很明显欠缺完整性。完整的解题过程是解题思维的语言表达，读者通过解题过程可以清楚地了解这道题的解题思路是什么、用了什么解题方法、做了哪些数学计算。解决了解题过程的完整性问题外，我们还要注意解题过程的简洁性，即解题过程的每一步都是必要的，没有重复的说明，没有啰唆的语言表述，只有这样才符合数学严谨而简洁的特点。
众所周知，“问题是数学的心脏”，数学学习永远离不开解题。解題训练可以加深学生对知识要点的理解，提高他们分析、解决问题的能力。但这并不意味着解题越多，数学能力就越强。很多成绩优秀的学生都有这样的共识：做题不在多而在精。“精”是透彻、明白，真正透彻理解和掌握问题的结构和本质;“精”是掌握解题的规律，能够将问题提升到“一题多解”和“多题一解”的认识高度。“学而不思则罔”，只有通过反思，才能真正挖掘和体现解题的价值，才能做到“精”而“不罔”，才能使数学思维的水平上升到一个新的高度，才能形成良好的思维品质和科学的思维方式，才能真正地培养数学的核心素养，使学生终身受益。
参考文献：
[1]黄天光.高中数学反思解题教学的设计与实践[J].亚太教育， 2016（23）：147.
[2]胡海杰. 反思结果，剖析过程，探求本质——高中数学解题反思三部曲[J]. 中学数学， 2018（5）：7274.
责任编辑：黄大灿