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【摘 要】：研究了一种应用自适应神经元网络控制随机IFS概率分布的方法。在随机IFS的变换中，设计一个虚拟变换，对随机IFS的概率分布进行全反馈、部份反馈和无反馈的自动调节，由此控制拼帖图形的图像效果。
【关键词】：分形几何; IFS; 神经网络
中图分类号：TP391 文献标识码：A 文章编号：1997-0668 (2008)0110070-02
前言
由Barnsley给出的IFS编码系统[1]是绘制分形的重要方法，在IFS方法中，变换W(wi,i=0,1,2,…,n)确定了吸引子，如果变换选择恰当，迭代的结果可使目标图像与吸引子任意接近。在实现IFS的随机迭代算法中，每一个变换都具有一个概率，从理论上讲，如果变换系数一旦给定，则吸引子唯一确定，吸引子与概率无关。但是，在生成实际图像和图像的效果调整时,概率起到了很重要的作用,控制每一变换相应的概率的数值，就控制了拼帖图形各部份的落点密度。
用人工的方法对某一变换对应的概率作相应的调整，并对其它变换的概率作相应的改变，以保证对应于每一个变换的概率的总和为1，将会给分形图像的调整带来极大的不便。文献[2]中，虽然实现了概率分布的自动分配，但对概率的分布还没有做到有目的地调整与自动分布相结合，且所用的数学工具较为复杂。在图像效果的处理方面, 在实现IFS算法的过程中,有预先给定几组概率值,然后随机地选取某一组概率值,以达到控制分形图像的生成效果,这一方法的不足之处在于某一组概率值的设定没有做到概率的自动分布，不便于图像效果的随意调整。
为了能更好地选择和调整对应于各变换wi的概率值，改变目标图像的落点密度，使目标图像在有限步迭代中止时显现出浓淡虚实不同的层次,尽可能地达到自然景物描绘中所追求的效果，文章将运用自适应线性神经元网络，建立随机IFS概率分布的人工调节与自动分布相结合的数学模型，并在随机IFS的算法中，引入一个起到调节概率分布的虚拟变换，使IFS算法中概率数值的人工调节与自动分布相结合。
1．概率分布自动调节的自适应神经元网络设置
自适应线性神经元（Adaline）网络[3]是一个自适应可调的网络，把该神经网络应用于随机IFS概率分布的自动调节将是灵活、简单的。
对于二维压缩仿射变换：
如果出现某一si=0,可按需要给pvi设置一个大于零的数值，并对其它变换中对应的概率作适当的调整。一般情况下，按式(2)决定的pvi进行迭代运算，在落点区域内，迭代点将处于较理想的均匀分布的状态。
用自适应神经元网络对概率值进行自动调节，可容易改变迭代点的落点密度。在设置单层自适应神经元网络时，设Pv(pvi)为输入向量，M(mi)为权向量，Yk为输出模拟量，Yp为理想响应值，给定Yp=1。此时，对应于各变换的概率取值为：pi=pvimi ,其中，设概率p0=pv0m0为阈值,并设对应于概率p0的变换w0为虚拟变换，该虚拟变换在随机IFS算法中只起到调节概率分布的作用。在自适应神经网络的学习过程中，选择LMS算法修改网络连接权的数值M，在达到误差要求后,确定最终的权值M输出。
2．随机IFS概率分布的自动调节机制
自适应线性神经元网络是一个自适应可调的网络，通过有目的地或随机地改变初始连接权和阈值的数值大小，就可以在随机IFS的算法中实现概率分布的自动调节。在随机IFS的算法中，要求对应于每一变换的概率值必须大于零，即pi>0，而在网络对连接权的调整后，会出现某一连接权的数值mi≤0的情况，该权值所对应的变换的概率pi也将小于或等于零。如果出现某一变换所对应的概率pi≤0，则可认为该变换在拼帖图形中不起作用，由此改变拼帖图形的图象效果。
2.1 随机全反馈概率调节
给定mi=1作为初始权值，由(2)式计算出pvi,并给定pv0=0。在神经网络自适应学习时，如果给定pv0=0,则阈值p0的数值恒为零，p0对网络没有任何影响。如果调整某一权值mj的数值，则相应的概率pj将减少或增加，此时，对其它变换的概率将由神经网络的自适应学习作自动调整，并使概率pi=mipvi的总和为1，由此，实现随机全反馈的概率调节。
2.2 随机局部反馈概率调节
给定mi=1作为初始权值，由(2)式计算出pvi（i=1,．．．，n)，并给定pv0一个任意的数值。在网络自适应学习时，阈值p0=m0pv0的数值对整个网络影响。通过调整任一权值mi，这将在网络的自适应学习中，对其它变换的概率自动调整到合理的数值，并使概率pi=mipvi的总和为1。因为阈值对应的权值m0参加网络的自适应学习的权值调整，所以，在给定pv0≠0的情况下，随机IFS算法的概率分布自动调节为随机局部反馈概率调节。
2.3 随机无反馈概率调节
给定mi=1作为初始权值，由(2)式计算出pvi（i=1,．．．，n)，并按需要给定pv0（pv0<1）一个任意值,作为输入向量。在网络自适应学习时，不改变权值m0的数值,阈值p0=m0pv0的数值将保持不变，使得对拼帖图形起作用的变换所对应的概率的总和减少。如果迭代次数不变，拼帖图形的落点数量将会减少。任一权值mi初始值的改变，网络都将对其它变换的概率进行自动调节，并使输出概率pi=mipvi的总和为1。此时，对应于随机IFS算法的概率分布调节的网络自适应学习机制为随机无反馈概率调节。同理，在网络自适应学习中，使某一变换对应的权值固定不变，就可以固定某一变换对应的概率的数值。
2.4 动态随机局部反馈概率调节
给定mi=1作为初始权向量，由(2)式计算出pvi，并动态地给pv0赋值作为网络输入值。通过阈值p0=m0pv0的数值影响整个网络，由网络的自适应学习对变换对应的概率作动态地调整，并保持随机IFS的每一次迭代时的概率pi=mipvi总和为1，由此，而实现动态随机局部反馈概率分布的调节。由于各变换所对应的概率分布在每一次迭代是动态变化的，如果某次迭代变换中出现概率小于或等于零，则对应该概率的变换在此次变换中不起作用，这样也就改变了拼帖图形的图象效果。
3．应用实例
以带梗的植物叶子典型例子[4]为例，说明把自适应神经网络应用于随机IFS中，对拼帖图形图像效果的控制所起的作用。图1、2、3和4给出了在随机全反馈概率调节中，对设置不同的初始权值和阈值时，所得到的分形图象效果。设置网络时，1）取a=0.65,由(2)式确定的仿射变换各参量的数值见表1；2）当si=0时，第i个变换对应的概率预设为p00；3）初始权值mi和阈值所对应的概率pv0和最终得到的变换所对应的概率值pi见表2。
4．结论
把自适应线性神经元网络的自适应学习机理应用于随机IFS算法中，可使变换对应的概率调整做到人工与自动调节相结合。在算法中，通过调整神经网络连接权以达到概率分布的重新组合，由神经网络阈值的取值来决定概率调节的机制，在控制随机IFS的图像效果将是十分方便的。
参考文献
[1] 金以文，鲁世杰. 分形几何原理及应用，浙江大学出版社，1998.
[2] 赵永红，谭建荣.IFS系统的模糊混沌算法，计算机学报，1996(增刊):76~82.
[3] 焦以成. 神经网络系统理论，西安电子科技大学出版社，1990．
[4] 齐东旭. 分形及其计算机生成，科学出版社，1994.
【关键词】：分形几何; IFS; 神经网络
中图分类号：TP391 文献标识码：A 文章编号：1997-0668 (2008)0110070-02
前言
由Barnsley给出的IFS编码系统[1]是绘制分形的重要方法，在IFS方法中，变换W(wi,i=0,1,2,…,n)确定了吸引子，如果变换选择恰当，迭代的结果可使目标图像与吸引子任意接近。在实现IFS的随机迭代算法中，每一个变换都具有一个概率，从理论上讲，如果变换系数一旦给定，则吸引子唯一确定，吸引子与概率无关。但是，在生成实际图像和图像的效果调整时,概率起到了很重要的作用,控制每一变换相应的概率的数值，就控制了拼帖图形各部份的落点密度。
用人工的方法对某一变换对应的概率作相应的调整，并对其它变换的概率作相应的改变，以保证对应于每一个变换的概率的总和为1，将会给分形图像的调整带来极大的不便。文献[2]中，虽然实现了概率分布的自动分配，但对概率的分布还没有做到有目的地调整与自动分布相结合，且所用的数学工具较为复杂。在图像效果的处理方面, 在实现IFS算法的过程中,有预先给定几组概率值,然后随机地选取某一组概率值,以达到控制分形图像的生成效果,这一方法的不足之处在于某一组概率值的设定没有做到概率的自动分布，不便于图像效果的随意调整。
为了能更好地选择和调整对应于各变换wi的概率值，改变目标图像的落点密度，使目标图像在有限步迭代中止时显现出浓淡虚实不同的层次,尽可能地达到自然景物描绘中所追求的效果，文章将运用自适应线性神经元网络，建立随机IFS概率分布的人工调节与自动分布相结合的数学模型，并在随机IFS的算法中，引入一个起到调节概率分布的虚拟变换，使IFS算法中概率数值的人工调节与自动分布相结合。
1．概率分布自动调节的自适应神经元网络设置
自适应线性神经元（Adaline）网络[3]是一个自适应可调的网络，把该神经网络应用于随机IFS概率分布的自动调节将是灵活、简单的。
对于二维压缩仿射变换：
如果出现某一si=0,可按需要给pvi设置一个大于零的数值，并对其它变换中对应的概率作适当的调整。一般情况下，按式(2)决定的pvi进行迭代运算，在落点区域内，迭代点将处于较理想的均匀分布的状态。
用自适应神经元网络对概率值进行自动调节，可容易改变迭代点的落点密度。在设置单层自适应神经元网络时，设Pv(pvi)为输入向量，M(mi)为权向量，Yk为输出模拟量，Yp为理想响应值，给定Yp=1。此时，对应于各变换的概率取值为：pi=pvimi ,其中，设概率p0=pv0m0为阈值,并设对应于概率p0的变换w0为虚拟变换，该虚拟变换在随机IFS算法中只起到调节概率分布的作用。在自适应神经网络的学习过程中，选择LMS算法修改网络连接权的数值M，在达到误差要求后,确定最终的权值M输出。
2．随机IFS概率分布的自动调节机制
自适应线性神经元网络是一个自适应可调的网络，通过有目的地或随机地改变初始连接权和阈值的数值大小，就可以在随机IFS的算法中实现概率分布的自动调节。在随机IFS的算法中，要求对应于每一变换的概率值必须大于零，即pi>0，而在网络对连接权的调整后，会出现某一连接权的数值mi≤0的情况，该权值所对应的变换的概率pi也将小于或等于零。如果出现某一变换所对应的概率pi≤0，则可认为该变换在拼帖图形中不起作用，由此改变拼帖图形的图象效果。
2.1 随机全反馈概率调节
给定mi=1作为初始权值，由(2)式计算出pvi,并给定pv0=0。在神经网络自适应学习时，如果给定pv0=0,则阈值p0的数值恒为零，p0对网络没有任何影响。如果调整某一权值mj的数值，则相应的概率pj将减少或增加，此时，对其它变换的概率将由神经网络的自适应学习作自动调整，并使概率pi=mipvi的总和为1，由此，实现随机全反馈的概率调节。
2.2 随机局部反馈概率调节
给定mi=1作为初始权值，由(2)式计算出pvi（i=1,．．．，n)，并给定pv0一个任意的数值。在网络自适应学习时，阈值p0=m0pv0的数值对整个网络影响。通过调整任一权值mi，这将在网络的自适应学习中，对其它变换的概率自动调整到合理的数值，并使概率pi=mipvi的总和为1。因为阈值对应的权值m0参加网络的自适应学习的权值调整，所以，在给定pv0≠0的情况下，随机IFS算法的概率分布自动调节为随机局部反馈概率调节。
2.3 随机无反馈概率调节
给定mi=1作为初始权值，由(2)式计算出pvi（i=1,．．．，n)，并按需要给定pv0（pv0<1）一个任意值,作为输入向量。在网络自适应学习时，不改变权值m0的数值,阈值p0=m0pv0的数值将保持不变，使得对拼帖图形起作用的变换所对应的概率的总和减少。如果迭代次数不变，拼帖图形的落点数量将会减少。任一权值mi初始值的改变，网络都将对其它变换的概率进行自动调节，并使输出概率pi=mipvi的总和为1。此时，对应于随机IFS算法的概率分布调节的网络自适应学习机制为随机无反馈概率调节。同理，在网络自适应学习中，使某一变换对应的权值固定不变，就可以固定某一变换对应的概率的数值。
2.4 动态随机局部反馈概率调节
给定mi=1作为初始权向量，由(2)式计算出pvi，并动态地给pv0赋值作为网络输入值。通过阈值p0=m0pv0的数值影响整个网络，由网络的自适应学习对变换对应的概率作动态地调整，并保持随机IFS的每一次迭代时的概率pi=mipvi总和为1，由此，而实现动态随机局部反馈概率分布的调节。由于各变换所对应的概率分布在每一次迭代是动态变化的，如果某次迭代变换中出现概率小于或等于零，则对应该概率的变换在此次变换中不起作用，这样也就改变了拼帖图形的图象效果。
3．应用实例
以带梗的植物叶子典型例子[4]为例，说明把自适应神经网络应用于随机IFS中，对拼帖图形图像效果的控制所起的作用。图1、2、3和4给出了在随机全反馈概率调节中，对设置不同的初始权值和阈值时，所得到的分形图象效果。设置网络时，1）取a=0.65,由(2)式确定的仿射变换各参量的数值见表1；2）当si=0时，第i个变换对应的概率预设为p00；3）初始权值mi和阈值所对应的概率pv0和最终得到的变换所对应的概率值pi见表2。
4．结论
把自适应线性神经元网络的自适应学习机理应用于随机IFS算法中，可使变换对应的概率调整做到人工与自动调节相结合。在算法中，通过调整神经网络连接权以达到概率分布的重新组合，由神经网络阈值的取值来决定概率调节的机制，在控制随机IFS的图像效果将是十分方便的。
参考文献
[1] 金以文，鲁世杰. 分形几何原理及应用，浙江大学出版社，1998.
[2] 赵永红，谭建荣.IFS系统的模糊混沌算法，计算机学报，1996(增刊):76~82.
[3] 焦以成. 神经网络系统理论，西安电子科技大学出版社，1990．
[4] 齐东旭. 分形及其计算机生成，科学出版社，1994.