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〔关键词〕 数学教学；问题情境；探索；观察力；联想
〔中图分类号〕 G633.6〔文献标识码〕 A
〔文章编号〕 1004—0463（2009）06（B）—0043—01
一、创设问题情境，激发创新思维
案例1：在“抛物线及其标准方程”一节的教学中，引出抛物线的定义以后，联系初中学过的“一元二次函数的图象就是抛物线”，设置这样的问题情境：它们之间一定有某种内在联系，你能找出这种内在联系吗？此时，教师可以这样点拨：我们可以由y=x2入手推导出曲线上的动点到某定点与定直线的距离相等，即推导出动点P（x，y）到定点F（x0，y0）的距离等于动点P（x，y）到定直线L（P?埸L）的距离.教师点拨学生推导的过程如下：
∵ y=x2，∴x2+y2=y+y2，
∴x2+y2-y=y2+y，
∴==y+.
上式表示平面上的动点P（x，y）到定点F（0，）的距离正好等于动点P（x，y）到定直线y=-的距离，完全符合抛物线的定义.
二、注重探索，培养创新思维
按照“归纳—类比—猜想—证明”的思维策略设计教学过程，引导学生运用已有的经验、知识、方法去探索与发现，使其获得新知的同时，不断提高创新能力.
案例2：讲授完椭圆标准方程的推导过程之后，可以对学生进行如下的引导：
在方程+=2a中，如果把看作一项，把看作另一项，你还能想到什么？
学生不难想到此式可以理解为三数成等差数列，进而可设 =a+d，=a-d.
两式平方相减得：4cx=4ad?圯d=x，代入=a+d，再两边平方即可得到椭圆的标准方程.更有趣的是，把d=x代入=a+d和=a-d，分别可得到=a+ex和=a-ex.可以发现：以上两式左边是椭圆上的点到两焦点的距离（焦半径），即可得到椭圆上任意一点的两个焦半径分别为a+ex和a-ex.
我们在=a-ex的右边提取出e可得：=e（-x）＞0，所以=e，此等式就是椭圆的第二定义.
三、培养学生敏锐的观察力和丰富的想象力，提高学生的思维能力
观察是创造的基础，只有通过观察才会发现问题，进而思考问题.因此，教学时，教师要引导学生对观察到的现象进行适当的分析，并通过联想，实现数与形、未知与已知、特殊与一般的转化，从而获得解题的途径，达到解决问题的目的.
案例3：求证：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）.
证法1：（分析法）
要证（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2），
展开得a2c2+b2d2+2abcd≤a2c2+b2c2+a2d2+b2d2，即2abcd≤a2d2+b2c2，由基本不等式知上式成立，从而原不等式成立.
通过观察题型，我们还可以发现此不等式的结构具有“B2-AC≤0”这一特征.教师可以启发、引导学生联想二次函数f（x）=Ax2+2Bx+C（A≠0）的判别式，经过这一点拨，学生马上得出另一证法.
证法2：(构造二次函数)
令f（x）=（a2+b2）x2-2（ac+bd）x+（c2+d2）（a2+b2≠0）
则f（x）=（ax-c）2+（bx-d）2≥0对一切实数x∈R恒成立，根据二次函数的性质可知：?驻=4（ac+bd）2-4（a2+b2）（c2+d2）≤0，
即（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）.
另外，当a2+b2=0时，亦成立.
为了使学生的思维能力得到进一步提高，教师还可以引导学生用三角换元法来证明此题.
如果设a2+b2=r12，c2+d2=r22，再联想到三角恒等式，则会得到另一证法.
证法3：（换元法）
令 a2+b2=r12，c2+d2=r22.
设a=r1cos?琢，b=r1sin?琢，c=r2cos?茁，d=r2sin?茁，则
（ac+bd）2=r12r22（cos?琢cos?茁+sin?琢sin?茁）2
=r12r22cos2（?琢-?茁）≤r12r22=（a2+b2）（c2+d2）.
〔中图分类号〕 G633.6〔文献标识码〕 A
〔文章编号〕 1004—0463（2009）06（B）—0043—01
一、创设问题情境，激发创新思维
案例1：在“抛物线及其标准方程”一节的教学中，引出抛物线的定义以后，联系初中学过的“一元二次函数的图象就是抛物线”，设置这样的问题情境：它们之间一定有某种内在联系，你能找出这种内在联系吗？此时，教师可以这样点拨：我们可以由y=x2入手推导出曲线上的动点到某定点与定直线的距离相等，即推导出动点P（x，y）到定点F（x0，y0）的距离等于动点P（x，y）到定直线L（P?埸L）的距离.教师点拨学生推导的过程如下：
∵ y=x2，∴x2+y2=y+y2，
∴x2+y2-y=y2+y，
∴==y+.
上式表示平面上的动点P（x，y）到定点F（0，）的距离正好等于动点P（x，y）到定直线y=-的距离，完全符合抛物线的定义.
二、注重探索，培养创新思维
按照“归纳—类比—猜想—证明”的思维策略设计教学过程，引导学生运用已有的经验、知识、方法去探索与发现，使其获得新知的同时，不断提高创新能力.
案例2：讲授完椭圆标准方程的推导过程之后，可以对学生进行如下的引导：
在方程+=2a中，如果把看作一项，把看作另一项，你还能想到什么？
学生不难想到此式可以理解为三数成等差数列，进而可设 =a+d，=a-d.
两式平方相减得：4cx=4ad?圯d=x，代入=a+d，再两边平方即可得到椭圆的标准方程.更有趣的是，把d=x代入=a+d和=a-d，分别可得到=a+ex和=a-ex.可以发现：以上两式左边是椭圆上的点到两焦点的距离（焦半径），即可得到椭圆上任意一点的两个焦半径分别为a+ex和a-ex.
我们在=a-ex的右边提取出e可得：=e（-x）＞0，所以=e，此等式就是椭圆的第二定义.
三、培养学生敏锐的观察力和丰富的想象力，提高学生的思维能力
观察是创造的基础，只有通过观察才会发现问题，进而思考问题.因此，教学时，教师要引导学生对观察到的现象进行适当的分析，并通过联想，实现数与形、未知与已知、特殊与一般的转化，从而获得解题的途径，达到解决问题的目的.
案例3：求证：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）.
证法1：（分析法）
要证（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2），
展开得a2c2+b2d2+2abcd≤a2c2+b2c2+a2d2+b2d2，即2abcd≤a2d2+b2c2，由基本不等式知上式成立，从而原不等式成立.
通过观察题型，我们还可以发现此不等式的结构具有“B2-AC≤0”这一特征.教师可以启发、引导学生联想二次函数f（x）=Ax2+2Bx+C（A≠0）的判别式，经过这一点拨，学生马上得出另一证法.
证法2：(构造二次函数)
令f（x）=（a2+b2）x2-2（ac+bd）x+（c2+d2）（a2+b2≠0）
则f（x）=（ax-c）2+（bx-d）2≥0对一切实数x∈R恒成立，根据二次函数的性质可知：?驻=4（ac+bd）2-4（a2+b2）（c2+d2）≤0，
即（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）.
另外，当a2+b2=0时，亦成立.
为了使学生的思维能力得到进一步提高，教师还可以引导学生用三角换元法来证明此题.
如果设a2+b2=r12，c2+d2=r22，再联想到三角恒等式，则会得到另一证法.
证法3：（换元法）
令 a2+b2=r12，c2+d2=r22.
设a=r1cos?琢，b=r1sin?琢，c=r2cos?茁，d=r2sin?茁，则
（ac+bd）2=r12r22（cos?琢cos?茁+sin?琢sin?茁）2
=r12r22cos2（?琢-?茁）≤r12r22=（a2+b2）（c2+d2）.