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摘 要：反证法是解决科学领域中各种问题的重要方法之一，在数学应用中也起到重要作用。反证法的提出拓宽了数学问题的思维，在数论，几何，函数数学领域中，往往无法通过的常规方法去解决。本文从反证法在数学中几何、代数、函数三方面的应用出发，对反证法在某些问题的证明上相较于直接证明的优势进行分析，得出了反证法可以运用于众多的数学问题，且获得了广泛的应用。
关键词：反证法;数学应用;优势
解决数学问题的方法有很多，常规的数学方法有直接证法和间接证法，反证法是一种间接证法。牛顿曾经说过：”反证法是数学家最精当的武器之一”，反证法的提出解决了许多重要的数学问题。某些具体命题难以或无法直接证明时，反证法往往能大展身手，憑借其简洁性和易于理解的特点受到人们的青睐。
反证法早在古希腊时期就已经大展身手，如欧几里得对质数有无穷个的证明;在我国古代的传统数学理论中，当然也用到了常见的归谬法，刘徽也受到了这些影响，并在文章中多次用到了归谬论证的方法。但是应该指出精确的反证法用法很凤毛麟角，这和西方的反证法有着很大的区别[1]。因此我们现在更应该意识到反证法自身的独特优势，并且重视反证法在数学学习中的应用，从而弥补中国数学在理论研究方面发展的不足。
在数学领域中，产生了许多重要的证明方法。数形结合法将实际问题中的数量关系转化为图形，或者将图形准化为数量关系，将抽象的思维结构转化为具体的数量关系，可以更加简单明了的去理解问题。数学归纳法是一种很独特的证明方法，其递推的思想再数学领域中也取得了重要的作用，尤其是在解决一些数列问题时，使用数学归纳法法会变得更加简单。但是在数学问题中，仅仅使用这两种方法是不够的，反证法几乎可以解决数学问题中的所有问题。本文通过列举了一些典型问题，体现出反证法具有很强的普适性。
1方法
1.1反证法的定理以及基本原理
反证法是一种间接证明方法，又被称为背理法。一般的，由证明p到q转向证明由非P推得的T某个真命题矛盾，从而判定非P为假，P为真的方法，叫做反证法。反证法的基本原理是排中律（即互斥命题必有一真一假）和矛盾律（即同一命题不能既真又假）。
1.2反证法操作流程
1、分清命题的结论与条件;2、做出与命题结论相矛盾的假设;3、由假设出发，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果（既可以与假设矛盾，也可以与已被证明的数学公理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾，也可以与公认事实产生矛盾）;4、找出吗矛盾产生的点，是在开始所做的假设不真，所以原命题的结论成立，进而间接地证明出命题为真[2]。
2反证法的实际应用
2.1反证法在数学几何问题中的应用
在集合问题中，通过常规的方法往往无法证明出问题所在。在非等腰三角形中，任意一边的中垂线与该边所对的角的角平分线不交于三角形内.
分析：假定在非等腰三角形△中
的角平分线与BC的中垂线交于△ABC内D点（如图一），则过D点作DF垂直AC于F，DE垂直AB与E，连接DC、DF（如图二）。因为DF垂直于AC，DE垂直于AD为∠A角平分线，因此DF=DE;又因为DF=DE，AD=AD，∠AFD=∠AED=90°，因此△AFD≌△AED（HL），
AF=AE;又因为D为中垂线上一点，所以DC=DB;又因为DC=DB，DF=DE，∠DFC=∠DEB=90?
所以△DFC≌△DEB（HL），FC=BE，AC=AF+FC=AE+EB=AB。这表明△ABC是等腰三角形，于题设非等腰三角形ABC相矛盾，所以假设不成立，故非等腰三角形一边上的中垂线必定不与该边所对角的角平分线交于三角形内一点。
2.2反证法在极限问题中的应用
反证法在极限问题中也有重要作用，对于函数极限唯一性的问题，运用反证法可以更加形象的分析问题。假设存在a、b两个数都是函数f（x）当x→x0的极限，且a<b，根据极限的柯西定理，有如下结论：任意给定ε>0（要注意，这个ε是对a、b都成立）。总存在一个δ1>0，当0<|x-x|<δ1时，使得|f（x）-a|<ε成立。总存在一个δ2>0，当0<|x-x|<δ2时，使得|f（x）-b|<ε成立。上面的不等式可以等价变换为a-ε<f（x）<a+ε①，b-ε<f（x）<b+ε②。令δ=min{δ1，δ2}，当0<|x-x。|<δ时。①，②两个不等式同时成立。因为①，②两个不等式同时成立，所以①式右端必定大于或等于②式左端。即：b-ε≤a+ε，移项得：（b-a）/2≤ε，因为（b-a）/2是一个确定大小的正数，所以这个结论与极限的定义：ε可以任意小矛盾，所以假设不成立，因此不存在a，b两个数都是f（x）的极限，除非a=b矛盾才不会出现。
2.3反证法在函数问题中的应用
已知x∈R，且f（x+k）=f（k-x）让我们证明若f（x）奇数个零点，则f（k）=0。接下来开始分析，假设f（k）≠0，当x>k时，有x1、x2......xnn个零点，则当x<k时，由f（x+k）=f（k-x）可得在x<k有2k-x....xn共n个零点。因为有奇数个零点，所以f（k）=0，这与假设矛盾，所以f（k）=0。
2.4反证法的优势
由上述吻戏的问题可知，反证法有如下优势：1、在直接证明情况多且复杂时可以避开繁琐的讨论;2、证明集合的元素有无限多时，可以假定有限，从而将命题转换为证明在除有限个元素外还有新的元素的问题，从而证明集合内元素无限多;3、证明否定命题时，可以直接假设命题成立推导证明该命题不成立从而证明否定命题成立;4、证明直接建立在数学公理上的命题，其否定命题往往与公理冲突，因此容易证明其否命题不成立，从而用反证法容易证明原命题成立。
结语
总之，反证法作为一种重要的间接证明的方法，在直接证明无法进行时可以作为我们的一个强有力的工具。因此其在数学研究的作用自然是不容小觑。另外，在一些复杂命题的证明上，反证法可以从原命题的反面入手，从而大大减少证明原命题的工作量，体现数学的简洁之美。而且反证法不只是一种证明方法，更是一种逆向思维的代表，因此，我们对于反证法进行研究与应用，对于于我们在数学上的理解与研究和数学学科素养的培养都将大有裨益。
参考文献：
[1]段耀勇，杨朝明.反证法的历史沿革[J].武警学院学报，2003，19（4）：86-88.
[2]李丹丹.反证法在中学数学中的应用[J].哈尔滨职业技术学院学报，2013（2）：93-94.
关键词：反证法;数学应用;优势
解决数学问题的方法有很多，常规的数学方法有直接证法和间接证法，反证法是一种间接证法。牛顿曾经说过：”反证法是数学家最精当的武器之一”，反证法的提出解决了许多重要的数学问题。某些具体命题难以或无法直接证明时，反证法往往能大展身手，憑借其简洁性和易于理解的特点受到人们的青睐。
反证法早在古希腊时期就已经大展身手，如欧几里得对质数有无穷个的证明;在我国古代的传统数学理论中，当然也用到了常见的归谬法，刘徽也受到了这些影响，并在文章中多次用到了归谬论证的方法。但是应该指出精确的反证法用法很凤毛麟角，这和西方的反证法有着很大的区别[1]。因此我们现在更应该意识到反证法自身的独特优势，并且重视反证法在数学学习中的应用，从而弥补中国数学在理论研究方面发展的不足。
在数学领域中，产生了许多重要的证明方法。数形结合法将实际问题中的数量关系转化为图形，或者将图形准化为数量关系，将抽象的思维结构转化为具体的数量关系，可以更加简单明了的去理解问题。数学归纳法是一种很独特的证明方法，其递推的思想再数学领域中也取得了重要的作用，尤其是在解决一些数列问题时，使用数学归纳法法会变得更加简单。但是在数学问题中，仅仅使用这两种方法是不够的，反证法几乎可以解决数学问题中的所有问题。本文通过列举了一些典型问题，体现出反证法具有很强的普适性。
1方法
1.1反证法的定理以及基本原理
反证法是一种间接证明方法，又被称为背理法。一般的，由证明p到q转向证明由非P推得的T某个真命题矛盾，从而判定非P为假，P为真的方法，叫做反证法。反证法的基本原理是排中律（即互斥命题必有一真一假）和矛盾律（即同一命题不能既真又假）。
1.2反证法操作流程
1、分清命题的结论与条件;2、做出与命题结论相矛盾的假设;3、由假设出发，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果（既可以与假设矛盾，也可以与已被证明的数学公理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾，也可以与公认事实产生矛盾）;4、找出吗矛盾产生的点，是在开始所做的假设不真，所以原命题的结论成立，进而间接地证明出命题为真[2]。
2反证法的实际应用
2.1反证法在数学几何问题中的应用
在集合问题中，通过常规的方法往往无法证明出问题所在。在非等腰三角形中，任意一边的中垂线与该边所对的角的角平分线不交于三角形内.
分析：假定在非等腰三角形△中
的角平分线与BC的中垂线交于△ABC内D点（如图一），则过D点作DF垂直AC于F，DE垂直AB与E，连接DC、DF（如图二）。因为DF垂直于AC，DE垂直于AD为∠A角平分线，因此DF=DE;又因为DF=DE，AD=AD，∠AFD=∠AED=90°，因此△AFD≌△AED（HL），
AF=AE;又因为D为中垂线上一点，所以DC=DB;又因为DC=DB，DF=DE，∠DFC=∠DEB=90?
所以△DFC≌△DEB（HL），FC=BE，AC=AF+FC=AE+EB=AB。这表明△ABC是等腰三角形，于题设非等腰三角形ABC相矛盾，所以假设不成立，故非等腰三角形一边上的中垂线必定不与该边所对角的角平分线交于三角形内一点。
2.2反证法在极限问题中的应用
反证法在极限问题中也有重要作用，对于函数极限唯一性的问题，运用反证法可以更加形象的分析问题。假设存在a、b两个数都是函数f（x）当x→x0的极限，且a<b，根据极限的柯西定理，有如下结论：任意给定ε>0（要注意，这个ε是对a、b都成立）。总存在一个δ1>0，当0<|x-x|<δ1时，使得|f（x）-a|<ε成立。总存在一个δ2>0，当0<|x-x|<δ2时，使得|f（x）-b|<ε成立。上面的不等式可以等价变换为a-ε<f（x）<a+ε①，b-ε<f（x）<b+ε②。令δ=min{δ1，δ2}，当0<|x-x。|<δ时。①，②两个不等式同时成立。因为①，②两个不等式同时成立，所以①式右端必定大于或等于②式左端。即：b-ε≤a+ε，移项得：（b-a）/2≤ε，因为（b-a）/2是一个确定大小的正数，所以这个结论与极限的定义：ε可以任意小矛盾，所以假设不成立，因此不存在a，b两个数都是f（x）的极限，除非a=b矛盾才不会出现。
2.3反证法在函数问题中的应用
已知x∈R，且f（x+k）=f（k-x）让我们证明若f（x）奇数个零点，则f（k）=0。接下来开始分析，假设f（k）≠0，当x>k时，有x1、x2......xnn个零点，则当x<k时，由f（x+k）=f（k-x）可得在x<k有2k-x....xn共n个零点。因为有奇数个零点，所以f（k）=0，这与假设矛盾，所以f（k）=0。
2.4反证法的优势
由上述吻戏的问题可知，反证法有如下优势：1、在直接证明情况多且复杂时可以避开繁琐的讨论;2、证明集合的元素有无限多时，可以假定有限，从而将命题转换为证明在除有限个元素外还有新的元素的问题，从而证明集合内元素无限多;3、证明否定命题时，可以直接假设命题成立推导证明该命题不成立从而证明否定命题成立;4、证明直接建立在数学公理上的命题，其否定命题往往与公理冲突，因此容易证明其否命题不成立，从而用反证法容易证明原命题成立。
结语
总之，反证法作为一种重要的间接证明的方法，在直接证明无法进行时可以作为我们的一个强有力的工具。因此其在数学研究的作用自然是不容小觑。另外，在一些复杂命题的证明上，反证法可以从原命题的反面入手，从而大大减少证明原命题的工作量，体现数学的简洁之美。而且反证法不只是一种证明方法，更是一种逆向思维的代表，因此，我们对于反证法进行研究与应用，对于于我们在数学上的理解与研究和数学学科素养的培养都将大有裨益。
参考文献：
[1]段耀勇，杨朝明.反证法的历史沿革[J].武警学院学报，2003，19（4）：86-88.
[2]李丹丹.反证法在中学数学中的应用[J].哈尔滨职业技术学院学报，2013（2）：93-94.