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我们知道在圆中,弦与弦所对弧组成的图形叫弓形,类似于此,在抛物线中把直线被抛物线截得的线段叫抛物线的弦,抛物线的弦与所对的封闭抛物线组成的图形叫抛物线的弓形,抛物线的弦的两个端点与弓形上任一点组成的三角形叫抛物线的弓形三角形.大凡是抛物线的综合题,绝大多数都会出现这样的图形.对这个图形的考查,是初中的重点和难点,又是初中高中知识的衔接点,更重要的它又是中考的热点问题,历年的中考题中都有类似的中考压轴题出现.本文着重探究抛物线弓形三角形面积最大值的计算的几种方法．
2011浙江宁波市第26题,是一道压轴题,其中包含这样的问题：
如图1,已知抛物线y=14x2-12x上有两点B(6,6)、O(0,0),N是直线OB右下方抛物线上的任意一点,试求△OBN面积的最大值以及点N的坐标．
由于学生积累知识经验不同,从不同角度来探究这个问题,就会得出如下几种不同的解法．
1 补型术
如果已知直角坐标系中的三个点的坐标,同学们会用割补法来求三角形的面积,本题是要求三角形的面积,我们会想到把三角形OBN通过作垂线,构成规则的三角形来处理这个问题.于是得到第一种解法：
如图1,分别过点N,B作x轴的垂线,垂足分别为G,H.设N (x,14x2-12x),
则S△BON=S△OBH-S△ONG-S梯形NGHB
=12×OH×BH-12×OG×NG-12×(NG+BH)×GH
=12×6×6-12×x×(14x2-12x)-12×(14x2-12x+6)×(6-x)
=-34x2+92x
=-34(x-3)2+274(0 所以当x=3时,△BON面积最大,最大值为274,此时点N的坐标为(3,34)．
这一种解法,运用了割补法,建立起二次函数的模型,通过二次函数的极值求出抛物线弓形三角形面积的最大值．
2 分割法
考虑到点N是抛物线弓形上的动点,过这一点作y轴的平行线,就把三角形分成两个部分,所求三角形的面积就等于这两个三角形的面积之和,于是得到如下的解法：
如图2,过N作x轴的垂线NG,垂足为G,交OB于点Q,过B作BH⊥x轴于H,设N(x,14x2-12x),由于B点坐标为(6,6),由直线OB的解析式为：y=x.则Q(x,x),于是S△BON=S△QON+S△BQN
=12×QN×OG+12×QN×GH
=12×QN×(OG+GH)
=12×QN×OH
=12x-(14x2-12x)×6
=-34x2+92x
=-34(x-3)2+274(0 所以当x=3时,△BON面积最大,最大值为274,此时点N的坐标为(3,34)．
3 切线法
如果过动点N作弦OB的平行线,则直线与弓形中的抛物线有两个交点,改变点N的位置,则交点之间的距离发生变化,点N到OB的距离也发生变化,两交点之间的距离越小,弓形三角形的面积越大,当两交点之间的距离为零时,弓形三角形的面积最大,于是得到第三种解法：
如图3,过点N作OB的平行线ST,当直线ST与抛物线y=14x2-12x相切时,点N到直线OB的距离最大,△OBN的面积最大．
设直线ST的解析式为：y=x+m．
解方程组：
y=x+m
y=14x2-12x
消去y,得：14x2-32x-m=0，
即x2-6x-4m=0,
如果ST与抛物线相切,则(-6)2+16m=0,解得m=-94．
方程x2-6x-4m=0变为x2-6x+9=0,解得x=3,点N的坐标为(3,34)．
有了点O、B、N三点坐标,可求得△OBN面积为274．
这一种解法对学生要求比较高,看上去运用了的高中的知识,对初中生来讲超纲了,但仔细想想,我们把圆的切线的知识迁移到抛物线上来,对学业成绩较好的学生来说是可行的,也是有必要的.在我自己的教学实践中,师生一起探究,运用第三种方法来解此题,学生欣喜若狂后,总能品味到数学的深度和广度,大大激发了学生探究数学的兴趣.再说,如果离开的迁移的数学思想,数学学起来就枯燥无味．
作者简介：杨建,男,1976年生,江苏海安人,中学一级教师,主要研究中学数学高效课堂教学和教学模式的探讨,曾获南通市初中青年教师优秀课评比一等奖,江苏省初中青年教师优秀课评比一等奖,2010年获县“高效课堂先进个人”,采用的导学案教学模式被同行广泛采用和认同,获得学生好评且教学成绩显著,在省级以上刊物发表论文多篇．
2011浙江宁波市第26题,是一道压轴题,其中包含这样的问题：
如图1,已知抛物线y=14x2-12x上有两点B(6,6)、O(0,0),N是直线OB右下方抛物线上的任意一点,试求△OBN面积的最大值以及点N的坐标．
由于学生积累知识经验不同,从不同角度来探究这个问题,就会得出如下几种不同的解法．
1 补型术
如果已知直角坐标系中的三个点的坐标,同学们会用割补法来求三角形的面积,本题是要求三角形的面积,我们会想到把三角形OBN通过作垂线,构成规则的三角形来处理这个问题.于是得到第一种解法：
如图1,分别过点N,B作x轴的垂线,垂足分别为G,H.设N (x,14x2-12x),
则S△BON=S△OBH-S△ONG-S梯形NGHB
=12×OH×BH-12×OG×NG-12×(NG+BH)×GH
=12×6×6-12×x×(14x2-12x)-12×(14x2-12x+6)×(6-x)
=-34x2+92x
=-34(x-3)2+274(0
这一种解法,运用了割补法,建立起二次函数的模型,通过二次函数的极值求出抛物线弓形三角形面积的最大值．
2 分割法
考虑到点N是抛物线弓形上的动点,过这一点作y轴的平行线,就把三角形分成两个部分,所求三角形的面积就等于这两个三角形的面积之和,于是得到如下的解法：
如图2,过N作x轴的垂线NG,垂足为G,交OB于点Q,过B作BH⊥x轴于H,设N(x,14x2-12x),由于B点坐标为(6,6),由直线OB的解析式为：y=x.则Q(x,x),于是S△BON=S△QON+S△BQN
=12×QN×OG+12×QN×GH
=12×QN×(OG+GH)
=12×QN×OH
=12x-(14x2-12x)×6
=-34x2+92x
=-34(x-3)2+274(0
3 切线法
如果过动点N作弦OB的平行线,则直线与弓形中的抛物线有两个交点,改变点N的位置,则交点之间的距离发生变化,点N到OB的距离也发生变化,两交点之间的距离越小,弓形三角形的面积越大,当两交点之间的距离为零时,弓形三角形的面积最大,于是得到第三种解法：
如图3,过点N作OB的平行线ST,当直线ST与抛物线y=14x2-12x相切时,点N到直线OB的距离最大,△OBN的面积最大．
设直线ST的解析式为：y=x+m．
解方程组：
y=x+m
y=14x2-12x
消去y,得：14x2-32x-m=0，
即x2-6x-4m=0,
如果ST与抛物线相切,则(-6)2+16m=0,解得m=-94．
方程x2-6x-4m=0变为x2-6x+9=0,解得x=3,点N的坐标为(3,34)．
有了点O、B、N三点坐标,可求得△OBN面积为274．
这一种解法对学生要求比较高,看上去运用了的高中的知识,对初中生来讲超纲了,但仔细想想,我们把圆的切线的知识迁移到抛物线上来,对学业成绩较好的学生来说是可行的,也是有必要的.在我自己的教学实践中,师生一起探究,运用第三种方法来解此题,学生欣喜若狂后,总能品味到数学的深度和广度,大大激发了学生探究数学的兴趣.再说,如果离开的迁移的数学思想,数学学起来就枯燥无味．
作者简介：杨建,男,1976年生,江苏海安人,中学一级教师,主要研究中学数学高效课堂教学和教学模式的探讨,曾获南通市初中青年教师优秀课评比一等奖,江苏省初中青年教师优秀课评比一等奖,2010年获县“高效课堂先进个人”,采用的导学案教学模式被同行广泛采用和认同,获得学生好评且教学成绩显著,在省级以上刊物发表论文多篇．