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教学设想：
调查可知,实际的课堂教学中,面对教材上的实验与探究内容,鲜有人关注,甚至于不知道这些内容的存在,因为这片“风景”是考试内容外的附属物,少有人驻足观赏,故此没有进入课堂教学的视野,备受冷落.说实在的,自己以前的教学在这些方面做得也不尽如人意,虽然关注,但利用不佳,一般把这些内容融汇于相关的教学内容中,单独立节研究还是首开先河.前一段时间,笔者有幸参加了“国培计划”的研修活动,听取了北大附中张思明老师《初中数学课题研究的探索》的报告,深受触动,大有相见恨晚之感,张老师的大家风范让人仰慕.跳出教材看数学,跳出数学看数学,跳出成绩看教学,等等这都是境界,这种超凡脱俗的境界,既发展了学生各方面的素养,又收获了带有厚重功利色彩的所谓学生成绩,可谓双赢.当下的课堂过于功利,唯成绩是举,把学生的成绩看成自己生命的一部分,成天游弋于题海,打拼着体力,可谓殚精竭虑,造就了一批又一批解题的机器,丧失了兴趣,没有了动力,何谈成功？
基于这些思考,决定大胆践行“把学生的学会学习、发展全人置于首位”的教育教学之路,充分挖掘学生潜能,激发学生兴趣,把学生的可持续发展力蕴足.现在已经做了四次实验与探究活动,学生反映很好,大大激发了我做下去的信心,以下通过课堂实录的形式展现自己的拙为,恳请指教．
探究目标：
1、能借助方程的工具探索纯循环小数化分数的过程,渗透方程的思想,感受方程的魅力；
2、力图实现混循环小数化分数是通过纯循环小数化分数的方法迁移而来,以此渗透化归思想,激发学生的好奇心、探究欲；
3、在探索的基础上,通过观察,发展学生的抽象、概括、归纳思维,提炼出循环小数化分数的一般规律．
探究重点：纯循环小数化分数；
探究难点：混循环小数化分数；
探究方法：独立思考与小组交流相结合．
教学过程
一、设悬布疑,挑起纷争
(设计意图：为了激发学生的探索热情,开篇提出一个看似不可能实则必然的问题,打破学生的固有认知,挑起疑窦,催其奋进,诱导学生兴致勃勃地投入探索之中.)
师(出示0.9=1)：认识这个式子吗？
生(众)：认识,是零点九九的循环等于1．
师：它们相等,可能吗？
生(众)(异口同声)：0.9=1不可能．
师：现在来说可能不可能只是一种猜测,本节课我们就一起来探索此类问题．
二、群策群力,摸索前行
(设计意图：利用先行组织者,把有限小数化分数激活,然后引出无限小数问题,给学生搭建起探索的平台,欲进先退,首先退到最简单的形式探索,出示问题1：0.1=?)
师：首先我们思考一个最简单的问题——前面学习有理数时,认识到02，132等都归成了有理数,而有理数是指整数和分数,这合理吗？为什么？
生(众)：合理,因为02，132都可以化成分数．
师：说得好,这些小数都可以化成分数,也就是说它们和分数是一回事．
师：这些小数是什么小数？
生(众)：有限小数．
师：显然有限小数能化成分数,这没问题,请同学们思考,除了有限小数,还有什么小数能化成分数？
生：无限循环小数．
师：你怎么知道的？
生(众说纷纭)：书上看的、小学知道、猜的、网上查得…
师：现在获知的渠道多,估计同学们有所了解.但如何把循环小数化成分数呢？请同学们思考问题：0.1=？3分钟后交流．
(大屏幕出示具体问题：0.1=？)
生1：因为19=0.1,所以0.1=19．
师：你是怎么想的？
生1：猜的,通过猜测和计算,得到19就是0.111111…,也就是0.1．
师：同学们说对吗？
生(众)：对．
师：正确,若a=b,则
生(众)：b=a．
师：其实这就是等式的——对称性．
生2：我的方法是0.1×10-0.1=1.1-0.1=1,而0.1×10-0.1又可以等于(10-1)×0.1=9×0.1,所以可得9×0.1=1,则0.1=19．
师(面向全体)：可以吗？
生(众)：可以．
师：这位同学说得非常好,给我们提供了一个基本思路,感谢这位同学的发言(掌声)．
生3：设0.1=x,则1.1=10x,两个等式左右分别相减得1.1-0.1=10x-x,即1=9x,显然x=19,故而0.1=19．
师：这位同学使用的方法我们都熟悉,他利用的是？
生(众)：方程．
师：对,方程,这是一种非常重要的数学模型,灵活地使用这一方法能快捷地解决一些棘手的问题.以上三位同学从不同的角度解答了这一问题,非常好,一个从测猜的角度,借助的是经验；一个是从数的运算的角度,借助的是逆运算；最后一个同学用的是方程,实际上他和第二个方法同出一辙,本源是一样的,只不过第二位同学没有设“元”而已.(板书：0.1=19)
(教学说明：给学生交流的机会就有学生思维的碰撞,就有火花的飞溅,其中第一位同学的说法出乎意料,似乎不合情理,但袒露了这位同学的思维轨迹,不失思考问题的一种方式,学生2和3紧紧锁定无限化有限的命门,利用作差变形割掉了无限循环小数的“尾巴”,有效实现了转化.获得了进一步探索的经验.)
三、意料之外,情理之中
师：有了上面的方法经验,我们试着解答以下问题,完成后交流：
小试牛刀：把以下循环小数化成分数：0.2，0.3，0.4，0.5，0.6，0.7，0.8，0.9.
(5分钟后)
生4：设0.2=x,则2.2=10x,两个等式左右分别相减得2.2-0.2=10x-x,即2=9x,显然x=29,故而0.2=29．
师：和这位同学思路一致的请举手．
生(绝大部分)：举手．
师：这位同学的思路完全正确,那谁有不同的思路？
生5(非常自信)：我也是用方程,但简单,设0.2=x,则x=0.2+0.1x,解方程即得．
师(追问)：x=0.2+0.1x怎么得到的？同学们明白吗？
生(大部分)：不明白．
师：那就请这位同学解释一下式子的含义？
生5：
因为0.2=0.222222222…,而0.222222222…可以写成0.2+0.022222…,进一步能写成0.2+0.02,没问题吧？而0.02=0.1×0.2,所以就有了x=0.2+0.1x．
生(众)(真相大白)：哇!知道了．
师：这位同学实际上对如何设元进行了详尽的分析,得到了0.02=0.1x,这与2.2=10x是一脉相承的,只不过一个乘以10,而另一个乘以01而已.(板书：0.2=29)
师：其他的结果呢？
生(众)：0.3=39,0.4=49,0.5=59,0.6=69,0.7=79,0.8=89,0.9=99．
师：(板书以上结论).
师：那通过计算可知0.9到底是多少？
生(众)(不情愿地,惊讶地)：等于1．
师：看来同学们的猜测出了问题,通过精密的数学操作还了问题的真实面目,这就是数学工具的威力．
(教学说明：通过计算发现：0.9=1成立!真实的结果与学生的原有认知出现了冲突,学生惊诧万分,兴奋不已,同时有一种异样的神态,估计此时此刻学生的思绪万千,但事实如此,不信也信.数学还问题一个真实面目,意料之外与情理之中的交锋更加激起学生的好奇心、求知欲,学生的探索脚步怎能停驻…)
四、分组尝试,思维攀升
(设计意图：有了前面获得的经验,学生已经有了深入探索的欲望,我们不能让思维就此却步,把原来的循环节为一位,增设为两位,提升了思维的力度.为了节省课堂时间,特选用4个平行状态的题目,分四个小组分别完成,后交流,以期获得新资源、新发现,成果共享,携手前行.)
问题：分组尝试,把以下小数化成分数：0.36,0.43,0.78,0.11．
(5分钟后)
生6(一组成员)：设0.36=x,方程两边都乘以100得36.36=100x,然后两个方程的两边分别相减得36.36-0.36=100x-x,即36=99x,所以x=3699．
师：你是怎么想的？为什么这样想呢？
生6：我一开始两边都乘以10,发现没法把循环部分抵消去,就用100试了试,可行,因此这个方法就出现了．
师：听明白这位同学的想法了吗？
生：明白了,我们也是这样做得,
师：0.43呢？
生7(二组成员)：等于4399．
师：方法与同学6一样吗？
生7：一样
师：0.78呢？
生8(三组成员)：等于7899,方法一样．
师：0.11呢？
生9(四组成员)：等于1199,方法一样．
生10(四组成员)：我不一样,我没算,因为0.11与0.1是一回事,因此,用生1的法就行了,不用再乘以100.答案是19,直接搬用的．
生(众)：笑了．
师：这位同学用了个“投机取巧”的方式获得答案,行吗？
生(众)：行．
师：“投机取巧”应该是不值得称道的,但此时就不同了,这是数学上的“转化”,老师喜欢这样的“投机取巧”!
生(众)：掌声．
师：由此看来,0.111=？
生：也是19．
师：研究到现在,我们先停一下探索的脚步,我们做了这么多题目,能否发现他们的规律所在？
(众生沉默不语)
师：也就是说,若不用解方程的方法,能否直接写出其结论,如0.72=？
生(众)：7299
师(再激将)：对,能直接说出来,还不能表达其规律吗？
生11：用一个循环节作为分子；用99作为分母．
师(追问)：若三位循环节呢？
生11：用一个循环节作为分子；用999作为分母．
师(乘胜追击)：若四位、更多位呢？
生11：用一个循环节作为分子；连写几个9作为分母,9的个数等于一个循环节的位数．
师：说的非常好,层次清晰,语言精练,值得大家学习!
生：掌声．
师：你能把以下小数直接写成分数吗？并通过某种手段验证：
0.736、0.8231、0.2567893、3.43.
生：0.736=736999,0.8231=82319999,0.2567893=25678939999999,3.43=34399.(验证略).
(教学说明：从一个循环节到两个再到更多个,步步深入,诱使学生探索发现,充分利用学生思维的张力,把学生思维的触角伸向远方,在收获技能的同时,采摘到思维的硕果,问题的规律得以揭示.)
五、百尺竿头,更进一层
(设计意图：纯循环问题解决了,力图突破混循环问题,这对学生来说是个非常大的挑战,也是渗透化归思想意识的有利时机,岂能错失,这也是本课的难点,一旦突破就是一次质的飞跃.学生面对困难问题的习惯心理是胆怯,不得思路,不能很好地链接前面走过的路,往往会从头开始思考,种种现象透视出学生转化意识的短缺,故特设此环节,试图啃一下这块“硬骨头”.)
问题4：0.216化成分数是多少？
学生默然不语
师：同学们认识这个小数吗？
生：循环小数
师：对,是循环小数,但和前面研究过的一样吗？
生：不一样．
师：刚才的循环里面比较纯正,没有多余成分,而这个数呢？
生(少数)：混循环．
师：对,这个应该是混循环,看来同学们在小学少有认识．
(出示纯循环、混循环的概念并熟悉,略)．
师(回归问题)：0.216=？
生12：0.216=0.2+0.016=0.2+1699．
师(反问)：再看一下,相等吗？
生(计算)：不相等．
但仍然迟疑,很显然不知道哪里出问题了？
师：你看0.016是纯循环吗？
生12(似有醒悟)：哦,不是．
师：因为此处仍然有一个0不循化,它仍然是混循环,也就是如此处理还没有从根本上解决问题,但提供了一条路径,显然降低了问题的难度,谢谢这位同学的想法!
掌声．
生13：设0.216=x…(1),则2.16=10x…(2),216.16=1000x…(3),(3)-(2)得：216.16-2.16=1000x-10x,即214=990x,则x=214990．
师(追问)：原来两个方程就解决了,现在弄出三个方程来,你是怎么想的？
生13：因为前两个方程体现的是一个混循环、一个纯循环,就这两个并不能把循环部分去掉,但已经把混循环变成纯循环了,这样题目就变成了前面的问题．
师：说的多好呀,这其实就是我们常用的“转化”,把混循环问题化为纯循环问题,问题迎刃而解．
(教学说明：转化的萌芽已经出现,就等老师的点睛之笔了.这是落实思想方法的契机,岂容错过!)
六、兴味犹在,余味不绝
(教学意图：“路漫漫其修远兮,吾将上下而求索”,探索犹在进行,但时间已经不足,怎么办？只能忍痛割爱,让课堂的探索就此止步!)
师：混循环小数化分数已经揭开了序幕,同学们已经有了非常好的思路,但其蕴含的规律我们在课堂上已没有时间探讨,只能留在小课题报告中研究了,老师期待同学们的成果．
作业：填写小课题研究报告．
反思与评价：
1.要知识更要思想
培根有句名言：知识就是力量.把知识推向了一个至高无上的位置,崇尚知识成为顶礼膜拜的上帝,随着科技的发展、社会的进步,知识的更新让人眼花缭乱,这样一个新的问题就摆在了大众的面前：吾生亦有涯,而知亦无涯,以有涯之生学无涯之识,殆矣!因此,学会学习、学会求知成为一个人必备的基本素养.将来的人才,是会思考的而不单单是懂得很多知识的人.善于思考、肯于思考才是真正的人才．
任何东西只有用较高的观点来透视,才能看清它的本质,而数学思想方法是在反复理解和运用数学知识的过程中发展和提炼出来的,它具有很强的统摄力和概括性.从学习理论上讲,数学思想方法在学习新知的过程中起到一个“先行组织者”的作用,而在知识的巩固过程中,它又对数学知识起着以纲代目、以简驭繁、综合贯彻的作用．
转化的思想方法在本课例中表现突出,本来循环小数化分数就是转化,混循环设法向纯循环靠拢又是一种转化,一个人有了这种意识,不但对数学的学习大有裨益,对一个人一生的发展也是无限量的智力资源,一笔不可多得的财富,从这层意义上来说,思想方法才是教学的命脉,才是根!根深才能叶茂!
2.Pisa给予的教学启示
Pisa测试中的数学素养是一种个人能力,学生能确定并理解数学在社会所起的作用,得出有充分根据的数学判断和能够有效的运用数学.这是作为一个有创新精神、关心他人和有思想的公民,适应当前及未来生活所必须的数学能力.Pisa认为,由于学生不可能在学校学到将来生活所需要的每一种知识和技能,因此学校的功能不在于使学生学会事实(learn to know),而是学会如何学习(learn to learn)；Pisa测试的目的,不在于考察学生现时掌握了多少,而在于了解学生的学习潜力.这个理念,应当成为我国基础教育评价的核心思想,同时也为我们的教学明确了价值取向．
基于以上认识,我们的课堂教学也应该做一些这方面的尝试和努力,本节内容立于学业考试的视野外,鲜有人关注成为常态,因为现有的教育体制虽然在改革,评价机制也在转身,但由于受功利化社会环境的污染深重,淡失了“教书育人”的根本职责,家长、社会、行政部门以“教育GDP”论英雄,这种氛围促成了教育的现状,数学教学也概莫能外,教师为分数而进行大量的机械重复训练,透支学生的身心,丢掉了数学的育人本分(培养思维能力,发展理性思维).作为一名齐鲁名师人选,要敢于担当,把知识作为教学的载体,大力发展学生的思维,要敢于捕捉有利于学生思维发展、理性观念的素材,为我所用,抛开世俗的压力,义无反顾地投身探索,不负自己的追求．
作者简介:邢成云，男，1968年12月生，中学数学高级教师，滨州市有突出贡献的中青年专家、山东省第二届齐鲁名师、省教学能手、省优秀教师、省师德标兵. 近年来，发表论文150余篇，有5篇被中国人大报刊资料中心期刊《中学数学教与学》全文转摘，5文索引.研究方向：课堂教学与中考研究.
调查可知,实际的课堂教学中,面对教材上的实验与探究内容,鲜有人关注,甚至于不知道这些内容的存在,因为这片“风景”是考试内容外的附属物,少有人驻足观赏,故此没有进入课堂教学的视野,备受冷落.说实在的,自己以前的教学在这些方面做得也不尽如人意,虽然关注,但利用不佳,一般把这些内容融汇于相关的教学内容中,单独立节研究还是首开先河.前一段时间,笔者有幸参加了“国培计划”的研修活动,听取了北大附中张思明老师《初中数学课题研究的探索》的报告,深受触动,大有相见恨晚之感,张老师的大家风范让人仰慕.跳出教材看数学,跳出数学看数学,跳出成绩看教学,等等这都是境界,这种超凡脱俗的境界,既发展了学生各方面的素养,又收获了带有厚重功利色彩的所谓学生成绩,可谓双赢.当下的课堂过于功利,唯成绩是举,把学生的成绩看成自己生命的一部分,成天游弋于题海,打拼着体力,可谓殚精竭虑,造就了一批又一批解题的机器,丧失了兴趣,没有了动力,何谈成功？
基于这些思考,决定大胆践行“把学生的学会学习、发展全人置于首位”的教育教学之路,充分挖掘学生潜能,激发学生兴趣,把学生的可持续发展力蕴足.现在已经做了四次实验与探究活动,学生反映很好,大大激发了我做下去的信心,以下通过课堂实录的形式展现自己的拙为,恳请指教．
探究目标：
1、能借助方程的工具探索纯循环小数化分数的过程,渗透方程的思想,感受方程的魅力；
2、力图实现混循环小数化分数是通过纯循环小数化分数的方法迁移而来,以此渗透化归思想,激发学生的好奇心、探究欲；
3、在探索的基础上,通过观察,发展学生的抽象、概括、归纳思维,提炼出循环小数化分数的一般规律．
探究重点：纯循环小数化分数；
探究难点：混循环小数化分数；
探究方法：独立思考与小组交流相结合．
教学过程
一、设悬布疑,挑起纷争
(设计意图：为了激发学生的探索热情,开篇提出一个看似不可能实则必然的问题,打破学生的固有认知,挑起疑窦,催其奋进,诱导学生兴致勃勃地投入探索之中.)
师(出示0.9=1)：认识这个式子吗？
生(众)：认识,是零点九九的循环等于1．
师：它们相等,可能吗？
生(众)(异口同声)：0.9=1不可能．
师：现在来说可能不可能只是一种猜测,本节课我们就一起来探索此类问题．
二、群策群力,摸索前行
(设计意图：利用先行组织者,把有限小数化分数激活,然后引出无限小数问题,给学生搭建起探索的平台,欲进先退,首先退到最简单的形式探索,出示问题1：0.1=?)
师：首先我们思考一个最简单的问题——前面学习有理数时,认识到02，132等都归成了有理数,而有理数是指整数和分数,这合理吗？为什么？
生(众)：合理,因为02，132都可以化成分数．
师：说得好,这些小数都可以化成分数,也就是说它们和分数是一回事．
师：这些小数是什么小数？
生(众)：有限小数．
师：显然有限小数能化成分数,这没问题,请同学们思考,除了有限小数,还有什么小数能化成分数？
生：无限循环小数．
师：你怎么知道的？
生(众说纷纭)：书上看的、小学知道、猜的、网上查得…
师：现在获知的渠道多,估计同学们有所了解.但如何把循环小数化成分数呢？请同学们思考问题：0.1=？3分钟后交流．
(大屏幕出示具体问题：0.1=？)
生1：因为19=0.1,所以0.1=19．
师：你是怎么想的？
生1：猜的,通过猜测和计算,得到19就是0.111111…,也就是0.1．
师：同学们说对吗？
生(众)：对．
师：正确,若a=b,则
生(众)：b=a．
师：其实这就是等式的——对称性．
生2：我的方法是0.1×10-0.1=1.1-0.1=1,而0.1×10-0.1又可以等于(10-1)×0.1=9×0.1,所以可得9×0.1=1,则0.1=19．
师(面向全体)：可以吗？
生(众)：可以．
师：这位同学说得非常好,给我们提供了一个基本思路,感谢这位同学的发言(掌声)．
生3：设0.1=x,则1.1=10x,两个等式左右分别相减得1.1-0.1=10x-x,即1=9x,显然x=19,故而0.1=19．
师：这位同学使用的方法我们都熟悉,他利用的是？
生(众)：方程．
师：对,方程,这是一种非常重要的数学模型,灵活地使用这一方法能快捷地解决一些棘手的问题.以上三位同学从不同的角度解答了这一问题,非常好,一个从测猜的角度,借助的是经验；一个是从数的运算的角度,借助的是逆运算；最后一个同学用的是方程,实际上他和第二个方法同出一辙,本源是一样的,只不过第二位同学没有设“元”而已.(板书：0.1=19)
(教学说明：给学生交流的机会就有学生思维的碰撞,就有火花的飞溅,其中第一位同学的说法出乎意料,似乎不合情理,但袒露了这位同学的思维轨迹,不失思考问题的一种方式,学生2和3紧紧锁定无限化有限的命门,利用作差变形割掉了无限循环小数的“尾巴”,有效实现了转化.获得了进一步探索的经验.)
三、意料之外,情理之中
师：有了上面的方法经验,我们试着解答以下问题,完成后交流：
小试牛刀：把以下循环小数化成分数：0.2，0.3，0.4，0.5，0.6，0.7，0.8，0.9.
(5分钟后)
生4：设0.2=x,则2.2=10x,两个等式左右分别相减得2.2-0.2=10x-x,即2=9x,显然x=29,故而0.2=29．
师：和这位同学思路一致的请举手．
生(绝大部分)：举手．
师：这位同学的思路完全正确,那谁有不同的思路？
生5(非常自信)：我也是用方程,但简单,设0.2=x,则x=0.2+0.1x,解方程即得．
师(追问)：x=0.2+0.1x怎么得到的？同学们明白吗？
生(大部分)：不明白．
师：那就请这位同学解释一下式子的含义？
生5：
因为0.2=0.222222222…,而0.222222222…可以写成0.2+0.022222…,进一步能写成0.2+0.02,没问题吧？而0.02=0.1×0.2,所以就有了x=0.2+0.1x．
生(众)(真相大白)：哇!知道了．
师：这位同学实际上对如何设元进行了详尽的分析,得到了0.02=0.1x,这与2.2=10x是一脉相承的,只不过一个乘以10,而另一个乘以01而已.(板书：0.2=29)
师：其他的结果呢？
生(众)：0.3=39,0.4=49,0.5=59,0.6=69,0.7=79,0.8=89,0.9=99．
师：(板书以上结论).
师：那通过计算可知0.9到底是多少？
生(众)(不情愿地,惊讶地)：等于1．
师：看来同学们的猜测出了问题,通过精密的数学操作还了问题的真实面目,这就是数学工具的威力．
(教学说明：通过计算发现：0.9=1成立!真实的结果与学生的原有认知出现了冲突,学生惊诧万分,兴奋不已,同时有一种异样的神态,估计此时此刻学生的思绪万千,但事实如此,不信也信.数学还问题一个真实面目,意料之外与情理之中的交锋更加激起学生的好奇心、求知欲,学生的探索脚步怎能停驻…)
四、分组尝试,思维攀升
(设计意图：有了前面获得的经验,学生已经有了深入探索的欲望,我们不能让思维就此却步,把原来的循环节为一位,增设为两位,提升了思维的力度.为了节省课堂时间,特选用4个平行状态的题目,分四个小组分别完成,后交流,以期获得新资源、新发现,成果共享,携手前行.)
问题：分组尝试,把以下小数化成分数：0.36,0.43,0.78,0.11．
(5分钟后)
生6(一组成员)：设0.36=x,方程两边都乘以100得36.36=100x,然后两个方程的两边分别相减得36.36-0.36=100x-x,即36=99x,所以x=3699．
师：你是怎么想的？为什么这样想呢？
生6：我一开始两边都乘以10,发现没法把循环部分抵消去,就用100试了试,可行,因此这个方法就出现了．
师：听明白这位同学的想法了吗？
生：明白了,我们也是这样做得,
师：0.43呢？
生7(二组成员)：等于4399．
师：方法与同学6一样吗？
生7：一样
师：0.78呢？
生8(三组成员)：等于7899,方法一样．
师：0.11呢？
生9(四组成员)：等于1199,方法一样．
生10(四组成员)：我不一样,我没算,因为0.11与0.1是一回事,因此,用生1的法就行了,不用再乘以100.答案是19,直接搬用的．
生(众)：笑了．
师：这位同学用了个“投机取巧”的方式获得答案,行吗？
生(众)：行．
师：“投机取巧”应该是不值得称道的,但此时就不同了,这是数学上的“转化”,老师喜欢这样的“投机取巧”!
生(众)：掌声．
师：由此看来,0.111=？
生：也是19．
师：研究到现在,我们先停一下探索的脚步,我们做了这么多题目,能否发现他们的规律所在？
(众生沉默不语)
师：也就是说,若不用解方程的方法,能否直接写出其结论,如0.72=？
生(众)：7299
师(再激将)：对,能直接说出来,还不能表达其规律吗？
生11：用一个循环节作为分子；用99作为分母．
师(追问)：若三位循环节呢？
生11：用一个循环节作为分子；用999作为分母．
师(乘胜追击)：若四位、更多位呢？
生11：用一个循环节作为分子；连写几个9作为分母,9的个数等于一个循环节的位数．
师：说的非常好,层次清晰,语言精练,值得大家学习!
生：掌声．
师：你能把以下小数直接写成分数吗？并通过某种手段验证：
0.736、0.8231、0.2567893、3.43.
生：0.736=736999,0.8231=82319999,0.2567893=25678939999999,3.43=34399.(验证略).
(教学说明：从一个循环节到两个再到更多个,步步深入,诱使学生探索发现,充分利用学生思维的张力,把学生思维的触角伸向远方,在收获技能的同时,采摘到思维的硕果,问题的规律得以揭示.)
五、百尺竿头,更进一层
(设计意图：纯循环问题解决了,力图突破混循环问题,这对学生来说是个非常大的挑战,也是渗透化归思想意识的有利时机,岂能错失,这也是本课的难点,一旦突破就是一次质的飞跃.学生面对困难问题的习惯心理是胆怯,不得思路,不能很好地链接前面走过的路,往往会从头开始思考,种种现象透视出学生转化意识的短缺,故特设此环节,试图啃一下这块“硬骨头”.)
问题4：0.216化成分数是多少？
学生默然不语
师：同学们认识这个小数吗？
生：循环小数
师：对,是循环小数,但和前面研究过的一样吗？
生：不一样．
师：刚才的循环里面比较纯正,没有多余成分,而这个数呢？
生(少数)：混循环．
师：对,这个应该是混循环,看来同学们在小学少有认识．
(出示纯循环、混循环的概念并熟悉,略)．
师(回归问题)：0.216=？
生12：0.216=0.2+0.016=0.2+1699．
师(反问)：再看一下,相等吗？
生(计算)：不相等．
但仍然迟疑,很显然不知道哪里出问题了？
师：你看0.016是纯循环吗？
生12(似有醒悟)：哦,不是．
师：因为此处仍然有一个0不循化,它仍然是混循环,也就是如此处理还没有从根本上解决问题,但提供了一条路径,显然降低了问题的难度,谢谢这位同学的想法!
掌声．
生13：设0.216=x…(1),则2.16=10x…(2),216.16=1000x…(3),(3)-(2)得：216.16-2.16=1000x-10x,即214=990x,则x=214990．
师(追问)：原来两个方程就解决了,现在弄出三个方程来,你是怎么想的？
生13：因为前两个方程体现的是一个混循环、一个纯循环,就这两个并不能把循环部分去掉,但已经把混循环变成纯循环了,这样题目就变成了前面的问题．
师：说的多好呀,这其实就是我们常用的“转化”,把混循环问题化为纯循环问题,问题迎刃而解．
(教学说明：转化的萌芽已经出现,就等老师的点睛之笔了.这是落实思想方法的契机,岂容错过!)
六、兴味犹在,余味不绝
(教学意图：“路漫漫其修远兮,吾将上下而求索”,探索犹在进行,但时间已经不足,怎么办？只能忍痛割爱,让课堂的探索就此止步!)
师：混循环小数化分数已经揭开了序幕,同学们已经有了非常好的思路,但其蕴含的规律我们在课堂上已没有时间探讨,只能留在小课题报告中研究了,老师期待同学们的成果．
作业：填写小课题研究报告．
反思与评价：
1.要知识更要思想
培根有句名言：知识就是力量.把知识推向了一个至高无上的位置,崇尚知识成为顶礼膜拜的上帝,随着科技的发展、社会的进步,知识的更新让人眼花缭乱,这样一个新的问题就摆在了大众的面前：吾生亦有涯,而知亦无涯,以有涯之生学无涯之识,殆矣!因此,学会学习、学会求知成为一个人必备的基本素养.将来的人才,是会思考的而不单单是懂得很多知识的人.善于思考、肯于思考才是真正的人才．
任何东西只有用较高的观点来透视,才能看清它的本质,而数学思想方法是在反复理解和运用数学知识的过程中发展和提炼出来的,它具有很强的统摄力和概括性.从学习理论上讲,数学思想方法在学习新知的过程中起到一个“先行组织者”的作用,而在知识的巩固过程中,它又对数学知识起着以纲代目、以简驭繁、综合贯彻的作用．
转化的思想方法在本课例中表现突出,本来循环小数化分数就是转化,混循环设法向纯循环靠拢又是一种转化,一个人有了这种意识,不但对数学的学习大有裨益,对一个人一生的发展也是无限量的智力资源,一笔不可多得的财富,从这层意义上来说,思想方法才是教学的命脉,才是根!根深才能叶茂!
2.Pisa给予的教学启示
Pisa测试中的数学素养是一种个人能力,学生能确定并理解数学在社会所起的作用,得出有充分根据的数学判断和能够有效的运用数学.这是作为一个有创新精神、关心他人和有思想的公民,适应当前及未来生活所必须的数学能力.Pisa认为,由于学生不可能在学校学到将来生活所需要的每一种知识和技能,因此学校的功能不在于使学生学会事实(learn to know),而是学会如何学习(learn to learn)；Pisa测试的目的,不在于考察学生现时掌握了多少,而在于了解学生的学习潜力.这个理念,应当成为我国基础教育评价的核心思想,同时也为我们的教学明确了价值取向．
基于以上认识,我们的课堂教学也应该做一些这方面的尝试和努力,本节内容立于学业考试的视野外,鲜有人关注成为常态,因为现有的教育体制虽然在改革,评价机制也在转身,但由于受功利化社会环境的污染深重,淡失了“教书育人”的根本职责,家长、社会、行政部门以“教育GDP”论英雄,这种氛围促成了教育的现状,数学教学也概莫能外,教师为分数而进行大量的机械重复训练,透支学生的身心,丢掉了数学的育人本分(培养思维能力,发展理性思维).作为一名齐鲁名师人选,要敢于担当,把知识作为教学的载体,大力发展学生的思维,要敢于捕捉有利于学生思维发展、理性观念的素材,为我所用,抛开世俗的压力,义无反顾地投身探索,不负自己的追求．
作者简介:邢成云，男，1968年12月生，中学数学高级教师，滨州市有突出贡献的中青年专家、山东省第二届齐鲁名师、省教学能手、省优秀教师、省师德标兵. 近年来，发表论文150余篇，有5篇被中国人大报刊资料中心期刊《中学数学教与学》全文转摘，5文索引.研究方向：课堂教学与中考研究.