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[摘 要] 微课程中的“微”既指教学时长短又指教学内容少。一方面，教学时长短便于学生利用碎片化时间学习;另一方面，教学内容少对教师做教学设计提出了更高的要求。文章以概率论与数理统计中最重要的一类定理——中心极限定理为例，阐述微课程教学设计的特点及其应用实践。贴近生活的案例设计使教学更生动;形象化教学使抽象的定理更具象化地呈现。微课程教学实践体现了三个特点：合理的教学结构设置、有针对性地突出重点、加强教学系统性的考量。
[关键词] 微课程;案例设计;数值模拟;中心极限定理
[中图分类号] G642 [文献标志码] A [文章编号] 1008-2549（2019） 09-0110-03
微课程是微型学习的一种具体形式，主要以短时视频为载体记录微型化的教学内容，是对传统教学模式的革新[1]。为贯彻落实《教育部关于全面提高高等教育质量的若干意见》精神，推动信息技术与大学数学课程教学深度融合，促进教师更新教学理念、革新教学方法、创新教学设计、提升教学能力，由教育部高等学校大学数学课程教学指导委员会和全国高等学校教学研究中心共同主办了“全国高校数学微课程教学设计竞赛”，促进了数学类课程教育教学改革的发展、积累了教学成果。
微课程具有短小精悍可重现的教学优势。与传统教学50分钟一节课的安排方式相比，微课程的教学时间较短，更利于集中注意力学习，符合认知规律。其次，微课程是对某个具体的知识点展开教学，与传统教学相比，其主题更加突出、针对性较强。此外，微课程视频易于保存传播，具有更高的教学可重现性，可以供多位教师多次再利用，也可以供学生预习复习使用。本文以概率论与数理统计中最重要的一类定理——中心极限定理为例，阐述微课程教学设计及其实践。文章第一部分介绍中心极限定理的教学特征;第二部分给出中心极限定理的微课程教学设计;第三部分阐述微课程实践的特点。
一 中心极限定理的教学特征
在概率论当中，将“相互独立的随机变量和的极限分布为正态分布”这样的定理统称为中心极限定理。它是概率论当中最重要的一类定理，具有广泛的实际应用背景。例如，应用中心极限定理规划雨量站网设计[2]，使得降水监测更科学、经济;应用中心极限定理计算股价期权价格[3];中心极限定理在保险精算[4]等行业中的应用。
多数本科非数学专业概率论与数理统计教材中，中心极限定理包括：列维——林德伯格定理和棣莫弗——拉普拉斯定理。2019年考研数学大纲中对中心极限定理的考试要求是：了解列维——林德伯格定理和棣莫弗——拉普拉斯定理（数学一）;了解列维——林德伯格定理、棣莫弗——拉普拉斯定理，并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率（数学三）。
中心极限定理的教学安排在随机变量、分布函数、数字特征等先修内容之后，抽样、估计、检验等统计学教学内容之前。从这个意义上讲，中心极限定理可以看作是概率、数理统计两部分的衔接，有着承上启下的作用。一方面，中心极限定理可以刻画正态分布的形成机制，解释正态分布的普遍性;另一方面，中心极限定理是大样本统计推断的理论基石，是学习后续知识的基础。从教学地位、教学目标、教学内容三个方面，中心极限定理都占有重要的位置。与之形成鲜明的对比，在课程考核时，中心极限定理被忽略了。近10年的硕士研究生入学考试中，没有涉及到中心极限定理的考题。
虽然中心极限定理应用广泛、地位重要，但是考试“指挥棒”没有指到这个知识点，造成很多学生学习中心极限定理不够积极，部分教师对中心极限定理的教学不够重视。现有中心极限定理教学中存在一些问题：教学内容缺乏巧妙的设计;教学手段比较简单，形象化演示不足;教学中的应用场景做得不够好，缺乏案例设计。
二 微课程教学设计
中心极限定理从理论上说明了“许多类型”的随机变量， 它们的极限分布服从正态分布， 这既肯定了正态分布在概率论中的重要地位， 也为计算概率提供了强有力的手段。考虑到授课对象是理工科非数学专业本科生，他们的主要专业需求和未来职业需求是应用概率统计的思想和方法。因此，教学设计中， 重点强调中心极限定理的研究对象和应用中心极限定理解决实际问题。选取案例时，选择学生易于产生共鸣的题材;证明定理时，注重形象化的展示;应用定理时，清晰明了地强调如何使用。
列维——林德伯格定理微课程的教学设计以如何设置住宅小区的停车位数量开篇，引出中心极限定理的研究对象：独立随机变量的和。使用数值模拟方式，形象化地展示案例，启发学生提出猜想，引出列维——林德伯格定理。省略定理的证明，采用数值模拟的方法形象化地验证定理内容。最后，使用列维——林德伯格定理计算开篇提出的案例：小区停车位数量问题。
随着私家车保有量的增加，住宅小区停车问题越来越严重。根据小区的地理位置、预期房价、未来业主情况等信息，获知某住宅小区一千户居民的户拥有汽车数量的分布情況，问如何设置该小区的停车位数量，使得每辆车具有一个车位的概率不小于0.97。以此案例开篇，引导学生：已知户拥有汽车量的分布，如果能够得到一千户居民拥有汽车量的分布情况，问题可解。由此引出中心极限定理的研究对象：随机变量和的分布。此外，采用数值模拟的方法将一千户居民拥有汽车数量的分布情况呈现，引导学生大胆猜想：和随机变量服从什么分布。
棣莫弗——拉普拉斯定理微课程的教学设计以二项分布在医学、保险精算、质量检测等方面的广泛应用开篇，提出问题：在分析计算实际问题时，不可避免地涉及二项概率的计算，n较大时直接用公式计算比较烦琐，有更方便的计算方法吗？开门见山地引出棣莫弗——拉普拉斯定理：n充分大时，二项随机变量渐近服从正态分布。从数学证明、数值模拟两个方面验证定理内容。然后，利用定理解决开篇提出的实际问题：保险盈利的概率。
三 微课程教学实践
1 案例教学
案例一：设置合适的停车位数量。随着私家车保有量的增加，停车问题越来越严峻。根据地理位置、预期房价、目标业主情况等信息，获知某住宅小区居民每户拥有汽车数量X的分布律为：P（X=0）=0.3，P（X=1）=0.6，Ps（X=2）=0.1;问：小区共有1000户住户，需要多少停车位，可以使该每辆车拥有一个车位的概率不小于0.97。
案例二：随机误差服从正态分布。以加工零件为例，一位工人在机床上加工零件，加工过程中受到一些随机因素的影响：噪声干扰、电磁场微变;空气扰动、大地微震;机床本身有磨损;工人的技术熟练程度不同;工人感觉器官无规律变化等等。这些随机因素的影响使得加工出的零件与要求存在一定误差。这个随机误差是由大量的微小的相互独立的随机因素综合影响构成的，因此，根据中心极限定理它近似服从正态分布。
案例三：恋爱保险盈利的概率。2017年初，某网络平台推出一项恋爱保险：投保人支付少量的保金（有三个档次），如果在第3～13年内结婚，可以获赠近保金20倍的祝福金。这项保险具有祝福和承诺的美好含义，推出当天即售出1.5万份。简化实际问题，假设每个投保人交纳99元保金，符合约定条款的概率为0.04，符合约定条款后可获赠祝福金1999元。忽略其他成本，如果有一万人投保，问：保险公司获利的概率是多少？
将案例引入教学中，学生可以认识到抽象的定理在现实中的应用，启发学生数理统计的广泛应用，提高学生的学习兴趣，引导他们喜爱数理统计。在中心极限定理微课程教学实践时，使用了三个案例。这些案例来源于实际，贴近学生生活，使教学更生动;此外，理解这些案例不需要深厚的专业知识，适用于各个学院的学生，应用范围较广。引入列维——林德伯格定理时，使用数值模拟方法处理了案例一，合理设置住宅小区的停车位数量;讲授列维——林德伯格定理的应用时，使用了案例二，解释为什么物理实验中将随机误差认定为服从正态分布;在应用棣莫弗——拉普拉斯定理处理实际问题时，使用了案例三，启发学生初步了解保险精算。
2 形象化教学
形象化教学可以将抽象的内容具化地展示出来。在棣莫弗——拉普拉斯定理的微课程教学设计中，采用数学证明和数值模拟相结合的方式验证定理内容。如图1所示，每次生成一万组随机数、每组一百个数据。图1是参数为n = 100，p = 0.2的二项分布随机数频率直方图。图形呈现出“中间高、两边低、左右对称”的特点，符合正态钟形曲线的特征。图1的数值模拟柱状图不仅辅助了定理的证明，而且锻炼了学生发现问题的能力，引导他们先大胆猜想再严格证明，这也是科学研究中常用的一种思维方式，理论证明与数值模拟相符。
此外，某些情况下受知识所限不能给出严格证明时，形象化教学可以起到验证证明的辅助作用。由于知识所限，教材中省略了列维——林德伯格定理的证明。在微课程教学实践中，我们使用数值模拟方法验证了定理的内容，形象化地展示了列维——林德伯格定理，这有利于学生理解和领悟定理内容，如图2和图3所示。图2以指数分布为例，数值模拟了列维——林德伯格定理。生成参数为二分之一的指数分布随机数，每次生成一万组、每组n个数据（a： n=1;b： n=2;c： n=10;d： n=100），计算随机数的和，做频率直方图。观察这些直方图，随着n的增加，图形呈现出钟形曲线的特征，趋近正态曲线。通过图2的演示，学生可以观察到：随着随机变量叠加之个数的增大，曲线由偏态逐渐向正态接近的动态演化过程，加深学生对中心极限定理的理解。
图3以一些常见分布为例，数值模拟列维——林德伯格定理。分别生成四种不同分布（图3a：参数为2的泊松分布;图3b：参数为0、4的均匀分布;图3c：参数为三分之一的几何分布;图3d：参数为10、0.2的二项分布）的随机数，每次生成一万组、每组100个数据;计算随机数的和，做频率直方图，可以观察到图形呈现出正态钟形曲线的特征。图3的可视化展示再次印证了中心极限定理的重要作用：不论随机变量服从什么分布，不论随机变量是离散型还是连续型，满足一定条件时，随着随机变量个数的叠加，部分和随机变量都近似服从正态分布。
3 教学的系统性
教学设计中融入简短的科学发展史信息，提高学生对中心极限定理的认知。在概率论与数理统计教材和教学中，遵循了从一般到特殊的逻辑规律，将列维——林德伯格定理安排在棣莫弗——拉普拉斯定理的前面;并且，使用列维——林德伯格定理的一般性结论证明了棣莫弗——拉普拉斯定理。事实上，从历史发展进程的角度，棣莫弗——拉普拉斯定理出现的更早。1733年，棣莫弗研究了二项概率的近似计算问题;约40年后，拉普拉斯建立了中心极限定理较一般的形式;到20世纪30年代，独立和中心极限定理的最一般形式最终完成[5]。介绍科学发展史可以培养学生的理性思维;与此同时，为那些感兴趣的学生提供继续深入认识中心极限定理的渠道。
微课程中的第一个字——微，包含了两层含义。一方面，微课程教学时间短，相对于传统的课堂教学一学时50分钟时长而言，微课程视频时长在10分钟左右甚至更短。另一方面，微课程教学内容少，一个微课程讲授一个知识点。微课程时间短，更方便学生将碎片化的时间利用起来，这是微课程的特点和优点。但同时，微课程教学设计应避免将知识碎化，教学设计中更应加强教学完整性、系统性的考量。两个中心极限定理微课程教学设计时，特别注意了合理设置课程结构。教学过程依据“案例引子→可视化展示→定理→应用于案例→小结”的结构;微课程结束部分安排了课程小结，注重了讲授的完整性和系统性;定理和定理的应用两部分时长占比超过70%，突出了课程的重点。此外，配以一定的辅助材料：练习题及其详解和数值模拟时的程序代码。
參考文献：
[1]李小刚， 王运武， 马德俊， 靳素丽. 微型学习视野下的微课程设计及教学应用研究[J]. 现代教育技术， 2013， 23（10）： 31-35.
[2]孙大利， 王久珂， 刘晓阳， 何思远. 独立同分布中心极限定理在雨量站网规划中的应用[J].北京大学学报（自然科学版）， 2015， 51（1）： 35-42.
[3]潘素娟， 李时银. 基于涨跌停规则的股票期权定价[J]. 福州大学学报（自然科学版）， 2011， 39（4）： 503-507.
[4]王东红. 大数定律和中心极限定理在保险业中的重要应用[J]. 数学的实践与认识， 2005， 35（10）： 128-133.
[5]陈希孺. 数理统计学简史[M].长沙： 湖南教育出版社， 2002.
（责任编辑：姜海晶）
[关键词] 微课程;案例设计;数值模拟;中心极限定理
[中图分类号] G642 [文献标志码] A [文章编号] 1008-2549（2019） 09-0110-03
微课程是微型学习的一种具体形式，主要以短时视频为载体记录微型化的教学内容，是对传统教学模式的革新[1]。为贯彻落实《教育部关于全面提高高等教育质量的若干意见》精神，推动信息技术与大学数学课程教学深度融合，促进教师更新教学理念、革新教学方法、创新教学设计、提升教学能力，由教育部高等学校大学数学课程教学指导委员会和全国高等学校教学研究中心共同主办了“全国高校数学微课程教学设计竞赛”，促进了数学类课程教育教学改革的发展、积累了教学成果。
微课程具有短小精悍可重现的教学优势。与传统教学50分钟一节课的安排方式相比，微课程的教学时间较短，更利于集中注意力学习，符合认知规律。其次，微课程是对某个具体的知识点展开教学，与传统教学相比，其主题更加突出、针对性较强。此外，微课程视频易于保存传播，具有更高的教学可重现性，可以供多位教师多次再利用，也可以供学生预习复习使用。本文以概率论与数理统计中最重要的一类定理——中心极限定理为例，阐述微课程教学设计及其实践。文章第一部分介绍中心极限定理的教学特征;第二部分给出中心极限定理的微课程教学设计;第三部分阐述微课程实践的特点。
一 中心极限定理的教学特征
在概率论当中，将“相互独立的随机变量和的极限分布为正态分布”这样的定理统称为中心极限定理。它是概率论当中最重要的一类定理，具有广泛的实际应用背景。例如，应用中心极限定理规划雨量站网设计[2]，使得降水监测更科学、经济;应用中心极限定理计算股价期权价格[3];中心极限定理在保险精算[4]等行业中的应用。
多数本科非数学专业概率论与数理统计教材中，中心极限定理包括：列维——林德伯格定理和棣莫弗——拉普拉斯定理。2019年考研数学大纲中对中心极限定理的考试要求是：了解列维——林德伯格定理和棣莫弗——拉普拉斯定理（数学一）;了解列维——林德伯格定理、棣莫弗——拉普拉斯定理，并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率（数学三）。
中心极限定理的教学安排在随机变量、分布函数、数字特征等先修内容之后，抽样、估计、检验等统计学教学内容之前。从这个意义上讲，中心极限定理可以看作是概率、数理统计两部分的衔接，有着承上启下的作用。一方面，中心极限定理可以刻画正态分布的形成机制，解释正态分布的普遍性;另一方面，中心极限定理是大样本统计推断的理论基石，是学习后续知识的基础。从教学地位、教学目标、教学内容三个方面，中心极限定理都占有重要的位置。与之形成鲜明的对比，在课程考核时，中心极限定理被忽略了。近10年的硕士研究生入学考试中，没有涉及到中心极限定理的考题。
虽然中心极限定理应用广泛、地位重要，但是考试“指挥棒”没有指到这个知识点，造成很多学生学习中心极限定理不够积极，部分教师对中心极限定理的教学不够重视。现有中心极限定理教学中存在一些问题：教学内容缺乏巧妙的设计;教学手段比较简单，形象化演示不足;教学中的应用场景做得不够好，缺乏案例设计。
二 微课程教学设计
中心极限定理从理论上说明了“许多类型”的随机变量， 它们的极限分布服从正态分布， 这既肯定了正态分布在概率论中的重要地位， 也为计算概率提供了强有力的手段。考虑到授课对象是理工科非数学专业本科生，他们的主要专业需求和未来职业需求是应用概率统计的思想和方法。因此，教学设计中， 重点强调中心极限定理的研究对象和应用中心极限定理解决实际问题。选取案例时，选择学生易于产生共鸣的题材;证明定理时，注重形象化的展示;应用定理时，清晰明了地强调如何使用。
列维——林德伯格定理微课程的教学设计以如何设置住宅小区的停车位数量开篇，引出中心极限定理的研究对象：独立随机变量的和。使用数值模拟方式，形象化地展示案例，启发学生提出猜想，引出列维——林德伯格定理。省略定理的证明，采用数值模拟的方法形象化地验证定理内容。最后，使用列维——林德伯格定理计算开篇提出的案例：小区停车位数量问题。
随着私家车保有量的增加，住宅小区停车问题越来越严重。根据小区的地理位置、预期房价、未来业主情况等信息，获知某住宅小区一千户居民的户拥有汽车数量的分布情況，问如何设置该小区的停车位数量，使得每辆车具有一个车位的概率不小于0.97。以此案例开篇，引导学生：已知户拥有汽车量的分布，如果能够得到一千户居民拥有汽车量的分布情况，问题可解。由此引出中心极限定理的研究对象：随机变量和的分布。此外，采用数值模拟的方法将一千户居民拥有汽车数量的分布情况呈现，引导学生大胆猜想：和随机变量服从什么分布。
棣莫弗——拉普拉斯定理微课程的教学设计以二项分布在医学、保险精算、质量检测等方面的广泛应用开篇，提出问题：在分析计算实际问题时，不可避免地涉及二项概率的计算，n较大时直接用公式计算比较烦琐，有更方便的计算方法吗？开门见山地引出棣莫弗——拉普拉斯定理：n充分大时，二项随机变量渐近服从正态分布。从数学证明、数值模拟两个方面验证定理内容。然后，利用定理解决开篇提出的实际问题：保险盈利的概率。
三 微课程教学实践
1 案例教学
案例一：设置合适的停车位数量。随着私家车保有量的增加，停车问题越来越严峻。根据地理位置、预期房价、目标业主情况等信息，获知某住宅小区居民每户拥有汽车数量X的分布律为：P（X=0）=0.3，P（X=1）=0.6，Ps（X=2）=0.1;问：小区共有1000户住户，需要多少停车位，可以使该每辆车拥有一个车位的概率不小于0.97。
案例二：随机误差服从正态分布。以加工零件为例，一位工人在机床上加工零件，加工过程中受到一些随机因素的影响：噪声干扰、电磁场微变;空气扰动、大地微震;机床本身有磨损;工人的技术熟练程度不同;工人感觉器官无规律变化等等。这些随机因素的影响使得加工出的零件与要求存在一定误差。这个随机误差是由大量的微小的相互独立的随机因素综合影响构成的，因此，根据中心极限定理它近似服从正态分布。
案例三：恋爱保险盈利的概率。2017年初，某网络平台推出一项恋爱保险：投保人支付少量的保金（有三个档次），如果在第3～13年内结婚，可以获赠近保金20倍的祝福金。这项保险具有祝福和承诺的美好含义，推出当天即售出1.5万份。简化实际问题，假设每个投保人交纳99元保金，符合约定条款的概率为0.04，符合约定条款后可获赠祝福金1999元。忽略其他成本，如果有一万人投保，问：保险公司获利的概率是多少？
将案例引入教学中，学生可以认识到抽象的定理在现实中的应用，启发学生数理统计的广泛应用，提高学生的学习兴趣，引导他们喜爱数理统计。在中心极限定理微课程教学实践时，使用了三个案例。这些案例来源于实际，贴近学生生活，使教学更生动;此外，理解这些案例不需要深厚的专业知识，适用于各个学院的学生，应用范围较广。引入列维——林德伯格定理时，使用数值模拟方法处理了案例一，合理设置住宅小区的停车位数量;讲授列维——林德伯格定理的应用时，使用了案例二，解释为什么物理实验中将随机误差认定为服从正态分布;在应用棣莫弗——拉普拉斯定理处理实际问题时，使用了案例三，启发学生初步了解保险精算。
2 形象化教学
形象化教学可以将抽象的内容具化地展示出来。在棣莫弗——拉普拉斯定理的微课程教学设计中，采用数学证明和数值模拟相结合的方式验证定理内容。如图1所示，每次生成一万组随机数、每组一百个数据。图1是参数为n = 100，p = 0.2的二项分布随机数频率直方图。图形呈现出“中间高、两边低、左右对称”的特点，符合正态钟形曲线的特征。图1的数值模拟柱状图不仅辅助了定理的证明，而且锻炼了学生发现问题的能力，引导他们先大胆猜想再严格证明，这也是科学研究中常用的一种思维方式，理论证明与数值模拟相符。
此外，某些情况下受知识所限不能给出严格证明时，形象化教学可以起到验证证明的辅助作用。由于知识所限，教材中省略了列维——林德伯格定理的证明。在微课程教学实践中，我们使用数值模拟方法验证了定理的内容，形象化地展示了列维——林德伯格定理，这有利于学生理解和领悟定理内容，如图2和图3所示。图2以指数分布为例，数值模拟了列维——林德伯格定理。生成参数为二分之一的指数分布随机数，每次生成一万组、每组n个数据（a： n=1;b： n=2;c： n=10;d： n=100），计算随机数的和，做频率直方图。观察这些直方图，随着n的增加，图形呈现出钟形曲线的特征，趋近正态曲线。通过图2的演示，学生可以观察到：随着随机变量叠加之个数的增大，曲线由偏态逐渐向正态接近的动态演化过程，加深学生对中心极限定理的理解。
图3以一些常见分布为例，数值模拟列维——林德伯格定理。分别生成四种不同分布（图3a：参数为2的泊松分布;图3b：参数为0、4的均匀分布;图3c：参数为三分之一的几何分布;图3d：参数为10、0.2的二项分布）的随机数，每次生成一万组、每组100个数据;计算随机数的和，做频率直方图，可以观察到图形呈现出正态钟形曲线的特征。图3的可视化展示再次印证了中心极限定理的重要作用：不论随机变量服从什么分布，不论随机变量是离散型还是连续型，满足一定条件时，随着随机变量个数的叠加，部分和随机变量都近似服从正态分布。
3 教学的系统性
教学设计中融入简短的科学发展史信息，提高学生对中心极限定理的认知。在概率论与数理统计教材和教学中，遵循了从一般到特殊的逻辑规律，将列维——林德伯格定理安排在棣莫弗——拉普拉斯定理的前面;并且，使用列维——林德伯格定理的一般性结论证明了棣莫弗——拉普拉斯定理。事实上，从历史发展进程的角度，棣莫弗——拉普拉斯定理出现的更早。1733年，棣莫弗研究了二项概率的近似计算问题;约40年后，拉普拉斯建立了中心极限定理较一般的形式;到20世纪30年代，独立和中心极限定理的最一般形式最终完成[5]。介绍科学发展史可以培养学生的理性思维;与此同时，为那些感兴趣的学生提供继续深入认识中心极限定理的渠道。
微课程中的第一个字——微，包含了两层含义。一方面，微课程教学时间短，相对于传统的课堂教学一学时50分钟时长而言，微课程视频时长在10分钟左右甚至更短。另一方面，微课程教学内容少，一个微课程讲授一个知识点。微课程时间短，更方便学生将碎片化的时间利用起来，这是微课程的特点和优点。但同时，微课程教学设计应避免将知识碎化，教学设计中更应加强教学完整性、系统性的考量。两个中心极限定理微课程教学设计时，特别注意了合理设置课程结构。教学过程依据“案例引子→可视化展示→定理→应用于案例→小结”的结构;微课程结束部分安排了课程小结，注重了讲授的完整性和系统性;定理和定理的应用两部分时长占比超过70%，突出了课程的重点。此外，配以一定的辅助材料：练习题及其详解和数值模拟时的程序代码。
參考文献：
[1]李小刚， 王运武， 马德俊， 靳素丽. 微型学习视野下的微课程设计及教学应用研究[J]. 现代教育技术， 2013， 23（10）： 31-35.
[2]孙大利， 王久珂， 刘晓阳， 何思远. 独立同分布中心极限定理在雨量站网规划中的应用[J].北京大学学报（自然科学版）， 2015， 51（1）： 35-42.
[3]潘素娟， 李时银. 基于涨跌停规则的股票期权定价[J]. 福州大学学报（自然科学版）， 2011， 39（4）： 503-507.
[4]王东红. 大数定律和中心极限定理在保险业中的重要应用[J]. 数学的实践与认识， 2005， 35（10）： 128-133.
[5]陈希孺. 数理统计学简史[M].长沙： 湖南教育出版社， 2002.
（责任编辑：姜海晶）