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摘 要：中职学生在集合符号、集合与元素、数与数对辨析、列举法与描述法的理解、隐含条件的挖掘等方面存在诸多误区，本文试就学生学习集合时易犯的错误进行分析，理清思考脉络，扫除障碍。
关键词：中职学生 集合 学习障碍
一、分不清0、{0}、?、{?}之间的关系
在学习了空集的概念后，很多同学搞不清楚0、{0}、?、{?}之间的关系，一些同学甚至错误地认为0={0}=?={?}。
0、、{0}、?、{?}之间的关系如下：0为一个对象，而不是一个集合。{0}、?、{?}都为集合，其中{0}为含有一个元素0的集合，?为不含任何元素的集合，{?}为含有一个元素?的集合，这里的集合?只作为集合{?}的一个元素。由于对象与集合之间的关系为属于和不属于的关系，于是有0∈{0}、0?、0{?}。因为?是任何集合的子集，?是任何非空集合的真子集，故有?{0}、?{0}。虽然?是一个集合，但对于集合{?}来说它又是这个集合的一个元素，所以，?∈{?}。因{0}与{?}中的元素不同，故{0}≠{?}。
例1：{0}、{?}、{空集}是空集吗？
分析：?中不含任何元素，但{0}、{?}、{空集}中的元素分别有数0、符号?、汉字“空集”，故它们均不是空集。
例2：下列四个关系式，①空集≠{0}，②0∈{0}，③空集{0}④0?，其中正确的个数是（ ）。
（A）4 （B） 3 （C） 2 （D） 1
分析：对于这道题目许多同学会错误地选择（C），他们认为①②是正确的，③④是错误的。其实因为空集不含有任何元素，0不是它里面的对象，所以④的说法是正确的；另外由于?是任意集合的子集，所以③空集被包含于{0}也是对的，因此本题的正确结果是（A）。
二、集合符号错用
如在写实数集时，将R写成{R}、{实数集}或{所有实数}等。R已经就是实数集了，将实数集R写成{R}或{实数集}就都错了。集合已经是指一组对象的全体所组成的集合，故不需再在实数前写“所有”。
例3：设A、B、M、N为非空集合，A∩B=?，M=，，则M∩N=? 。
错解：M∩N=?
分析：此题混淆了集合的元素和集合的子集的概念，M、N是分别由A、B的真子集构成的集合，因而M、N的元素都是集合，显然?既是M又是N的元素。
正解：M∩N={?}
三、混淆列举法和描述法
当集合为无限集时，一般用描述法表示集合。在用描述法表示集合时，大括号中的竖线及其左右两边的字母都不能省。当集合为有限集时，在元素不多的情况下，一般用列举法表示集合。在用列举法表示集合时，大括号中的竖线及其左右两边的字母必须省去。即大括号中的竖线及其左右两边的字母，若省则都省，若不省则都不省。
{（x，y）}={（1，2）}，这个集合用下列結果表示，都为错误的，如：{x=1，y=2}、{（x，y）（1，2）}等。
例4：已知集合A={x2-x-6=0}，B={xx2-x-6=0}，判断A与B的关系。
分析：许多学生会认为A=B={2，3}，这是错误的。集合中元素的属性可以是数，可以是数对，可以是方程，也可以是集合，虽然集合A、B中有相同的方程，但是集合A是用列举法表示，集合B是用描述法表示，不同的方法导致二者里面的元素属性是不同的。集合A的元素属性是方程，集合B的元素属性是数，所以集合A和B不相等，也不具备包含关系。
四、混淆数与数对
在判断集合{y|y=x 1}与{（x，y）|y=x 1}之间的关系时，许多学生认为这两个集合相等，其实不然。集合{y|y=x 1}是一个数集，而{（x，y）|y=x 1}是一个数对集，虽然两个集合中都有y=x 1，但这两个集合并不相等。一些学生在写点集如{（1，2）}时，常写成{1，2}，这是不对的。
例5：设集合A={（x，y）x y=3}，B={（x，y）x-y=1}，求A∩B，x-2
错解：由得，从而A∩B={2，1}
分析：上述解法混淆了数集与数对集的区别，集合A、B中的元素为数对集即点集，所以A∩B={2，1}
例6：集合{y|y=x2-1}={x|y=x2-1}={（x，y）|y=x2-1}
分析：上述说法是错误的。集合{y|y=x2-1}与集合{x|y=x2-1}的元素都是数集，其中集合{y|y=x2-1}的元素是y，是函数y=x2-1的函数值组成的集合；而集合{x|y=x2-1}的元素是x，是函数y=x2-1的自变量的取值组成的集合，因而{x|y=x2-1}≠{x|y=x2-1}。集合{（x，y）|y=x2-1}的元素是（x，y），是有序数对，和前两个集合的元素在属性上有所区别。所以{y|y=x2-1}≠{x|y=x2-1}≠{（x，y）|y=x2-1}
五、分不清集合和元素
例7：若A={a，b}B={x|xA}，则集合A与B的关系是（）。
（A） AB （B） AB （C） A∈B （D） AB
分析：许多学生选（A），这是错误的。xA表明x是A的子集，由知，B是A的所有子集的集合。因而A和B的关系是元素和集合的关系，（A）和（B）显然是错误的，正确结果为（C）。
例8：设为A，B，M，N非空集合，A∩B=?，，则M∩N= 。
错解：M∩N=?
分析：此题混淆了集合的元素和集合的子集的概念，M、N是分别由A，B的真子集构成的集合，因而M、N的元素都是集合，显然?既是M又是N的元素。
正解：M∩N={?}
（作者单位：山东省枣庄市台儿庄区职业中等专业学校）
关键词：中职学生 集合 学习障碍
一、分不清0、{0}、?、{?}之间的关系
在学习了空集的概念后，很多同学搞不清楚0、{0}、?、{?}之间的关系，一些同学甚至错误地认为0={0}=?={?}。
0、、{0}、?、{?}之间的关系如下：0为一个对象，而不是一个集合。{0}、?、{?}都为集合，其中{0}为含有一个元素0的集合，?为不含任何元素的集合，{?}为含有一个元素?的集合，这里的集合?只作为集合{?}的一个元素。由于对象与集合之间的关系为属于和不属于的关系，于是有0∈{0}、0?、0{?}。因为?是任何集合的子集，?是任何非空集合的真子集，故有?{0}、?{0}。虽然?是一个集合，但对于集合{?}来说它又是这个集合的一个元素，所以，?∈{?}。因{0}与{?}中的元素不同，故{0}≠{?}。
例1：{0}、{?}、{空集}是空集吗？
分析：?中不含任何元素，但{0}、{?}、{空集}中的元素分别有数0、符号?、汉字“空集”，故它们均不是空集。
例2：下列四个关系式，①空集≠{0}，②0∈{0}，③空集{0}④0?，其中正确的个数是（ ）。
（A）4 （B） 3 （C） 2 （D） 1
分析：对于这道题目许多同学会错误地选择（C），他们认为①②是正确的，③④是错误的。其实因为空集不含有任何元素，0不是它里面的对象，所以④的说法是正确的；另外由于?是任意集合的子集，所以③空集被包含于{0}也是对的，因此本题的正确结果是（A）。
二、集合符号错用
如在写实数集时，将R写成{R}、{实数集}或{所有实数}等。R已经就是实数集了，将实数集R写成{R}或{实数集}就都错了。集合已经是指一组对象的全体所组成的集合，故不需再在实数前写“所有”。
例3：设A、B、M、N为非空集合，A∩B=?，M=，，则M∩N=? 。
错解：M∩N=?
分析：此题混淆了集合的元素和集合的子集的概念，M、N是分别由A、B的真子集构成的集合，因而M、N的元素都是集合，显然?既是M又是N的元素。
正解：M∩N={?}
三、混淆列举法和描述法
当集合为无限集时，一般用描述法表示集合。在用描述法表示集合时，大括号中的竖线及其左右两边的字母都不能省。当集合为有限集时，在元素不多的情况下，一般用列举法表示集合。在用列举法表示集合时，大括号中的竖线及其左右两边的字母必须省去。即大括号中的竖线及其左右两边的字母，若省则都省，若不省则都不省。
{（x，y）}={（1，2）}，这个集合用下列結果表示，都为错误的，如：{x=1，y=2}、{（x，y）（1，2）}等。
例4：已知集合A={x2-x-6=0}，B={xx2-x-6=0}，判断A与B的关系。
分析：许多学生会认为A=B={2，3}，这是错误的。集合中元素的属性可以是数，可以是数对，可以是方程，也可以是集合，虽然集合A、B中有相同的方程，但是集合A是用列举法表示，集合B是用描述法表示，不同的方法导致二者里面的元素属性是不同的。集合A的元素属性是方程，集合B的元素属性是数，所以集合A和B不相等，也不具备包含关系。
四、混淆数与数对
在判断集合{y|y=x 1}与{（x，y）|y=x 1}之间的关系时，许多学生认为这两个集合相等，其实不然。集合{y|y=x 1}是一个数集，而{（x，y）|y=x 1}是一个数对集，虽然两个集合中都有y=x 1，但这两个集合并不相等。一些学生在写点集如{（1，2）}时，常写成{1，2}，这是不对的。
例5：设集合A={（x，y）x y=3}，B={（x，y）x-y=1}，求A∩B，x-2
错解：由得，从而A∩B={2，1}
分析：上述解法混淆了数集与数对集的区别，集合A、B中的元素为数对集即点集，所以A∩B={2，1}
例6：集合{y|y=x2-1}={x|y=x2-1}={（x，y）|y=x2-1}
分析：上述说法是错误的。集合{y|y=x2-1}与集合{x|y=x2-1}的元素都是数集，其中集合{y|y=x2-1}的元素是y，是函数y=x2-1的函数值组成的集合；而集合{x|y=x2-1}的元素是x，是函数y=x2-1的自变量的取值组成的集合，因而{x|y=x2-1}≠{x|y=x2-1}。集合{（x，y）|y=x2-1}的元素是（x，y），是有序数对，和前两个集合的元素在属性上有所区别。所以{y|y=x2-1}≠{x|y=x2-1}≠{（x，y）|y=x2-1}
五、分不清集合和元素
例7：若A={a，b}B={x|xA}，则集合A与B的关系是（）。
（A） AB （B） AB （C） A∈B （D） AB
分析：许多学生选（A），这是错误的。xA表明x是A的子集，由知，B是A的所有子集的集合。因而A和B的关系是元素和集合的关系，（A）和（B）显然是错误的，正确结果为（C）。
例8：设为A，B，M，N非空集合，A∩B=?，，则M∩N= 。
错解：M∩N=?
分析：此题混淆了集合的元素和集合的子集的概念，M、N是分别由A，B的真子集构成的集合，因而M、N的元素都是集合，显然?既是M又是N的元素。
正解：M∩N={?}
（作者单位：山东省枣庄市台儿庄区职业中等专业学校）