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【摘 要】用几何直观或者说用直观图来进行教学是一线教师常用的教学策略，就三年级上册“加与减”单元中的“里程问题”这块内容教学而言，可以从用“图”带题、看题想“图”、 构“图”得形三个角度入手，从而为教学中如何运用好几何直观这一教学策略提供参考。
【关键词】用“图” 想“图” 构“图”
现在，一线数学老师对几何直观或者用直观图来作为教学策略，已经不是什么新观点了。但教师在教学中比较棘手的是如何让几何直观去解决一些教学中的疑难问题，并且在连续的几节课里，有序、有步骤地采用几何直观，如此促使学生不但能用，而且能自觉地用。下面，笔者就以北师大版三年级上册“加与减”单元中的“里程问题”这块内容为例，展开教学实践，并提出相应的教学主张。
一、用“图”带题，图生图长
为了突出图的地位，培养学生的看图能力，在教学实施中，笔者特意去掉了教材中的文字，就直接让学生看图，见图2。
具体的教学实施叙述如下：
师：看了这幅图，你知道一列火车从北京开往西安，途中经过了哪几个站？除了这些，你还想知道哪些数学条件？
生：想知道这些车站之间的距离。
师：好的，请大家看下面的表格。你能把这些条件标在图里吗？如果你有更好的图式，也可以自己创作一幅。
随后，老师根据学生的思考、汇报等，呈现如书本里的象形图、数线图，让学生求解各站点之间的距离。
（三）教学思考
先图后题或者先题后图，并不是一个简单的先后顺序的问题，而是一个教学观念的问题，是一个教学的思考对象谁先谁后的问题。教师在教学中，直接呈现图，通过“从图上你读出了哪些数学信息？”“你还想知道哪些数学条件？”“把这些条件标在图里，你有更好的图式吗？”来引导学生看图、补图、创图。其中，在创图的过程中，教师引发学生自主探索，经历象形图到数线图，由具象到抽象，由一幅图到多幅图的过程，引导学生体会“不改变数学信息和数量关系的前提下”，“图”也可以逐渐变化，可以变得更加简洁、抽象。这种让“图”生长的过程，其实就是学生触摸情境事件、把握数量关系、理解题目意义的过程；更为重要的是，这个成长着的“图”，其实就是学生看图能力的成长写照，且这种成长是学生自发而来的，是自主探索来的，这才是最为有价值的地方。
二、看题想“图”， 借图解题
师：我准备周一读到第15页，请记录下来。周一读了几页。
教师引导学生像图5这样表示出来。
师：我准备周二读到第47页，周三读到第80页。请在图5的基础上记录下来。
引导学生记录并完成图6后，问：那么周二读了几页？周三读了几页？
请学生列出解决这个问题的算式，并在图上指一指算式中的每个数分别在哪里，说一说每个数表示什么。形成图7。
在上面的引导性材料学习之后，教师呈现书里的里程表（二）的内容，放手让学生画图表达，然后汇报交流，结果呈现如图8。
随后，教师请学生将下面的表格填写完整。
（三）教学思考
在教学中，教师作了调整，先让学生解决“读书”情境，然后学习里程表（二）。调整原因有二：（1）起点非零的里程问题对于学生来说是一个难点。学生在平时的生活中，没有观察记录汽车里程的经验。即使老师让他们去观察自家车上的里程表，他们也未必会积累到经验。（2）对于不熟悉的事件，要让学生画图表达出他所理解的意思，这是难上加难。实际上，起点非零的里程问题中，“非零”并不是学生理解的难点，“读数”与“里程数”这两个概念才是学生的认知难点。而在看书这个情境中，学生因为有丰富的看书经验，学生对 “看了几页”与“看到几页”是有经验的，更为重要的是，学生将这个熟悉的事件用图表达就会更容易，知识迁移就显得顺理成章了。整个学习中，都是由题及图，题图共存，自然就形象地解决“点数”“点与点之间的距离数”的概念，真正做到图文结合，借图解题，图有所成。 三、构“图”得形，图有所成
培养画图策略的教学目的不单纯是为了求得问题的结果，最终目标是通过画图策略的培养，使学生全面建构知识，体会把具体问题抽象为数学模型从而得出一般的解题方法的思想，提升数学思想方法。因此在数学教学中，画图策略的渗透决不应止步于一节课或一种课型。只有让学生经历线段图的产生、形成、发展的过程，有了系统的认识，学生才会把画图的策略内化为自己的方法。下面就以里程问题复习课教学为例。
（一）教学实施
黑板上出示三条不同颜色的线段，见图9。
师：有一列火车从衢州出发，与其他城市的路程刚好是这三条线段的长度。（师课件出示图10）
1.你能把这三条线段合并成一个线路图，让大家一眼就能看出从衢州到龙岩要经过哪几个站吗？学生上黑板展示方法，形成图11。
2.你能用线段图把它们的关系表达出来，并标上相关信息吗？（作业纸上画一画、标一标）展示学生作品，如图12。
3.根据这些信息，你能解决什么问题？请列出算式不计算。
364-105 531-364 531-105
4.如果老师想请你们在图13上标出这几个位置的数据，你会吗？
5.开头为什么是0？刚刚大家看到的这个图是我们画出来的，其实在现实生活中，老师看到的线路图是这样的。（出示线路图）你觉得这两种图哪个更容易帮助我们解决问题？为什么？（更清楚）看来画图可以帮助我们解决问题。（板书：画图—解决问题）
（二）教学思考
教学到了单元复习的时候，有的学生会用图，但却不会画图；有的学生会画图，但又不会用图。细细分析这背后的原因，其实皆因学生没有经历构图的过程。在里程问题的复习课中，教师就有意识地让学生经历“把三条线合成一条路线”这样一个建构的过程，沟通图与图之间的相连、包含等各种不同的关系，重在沟通了直观图、线段图与算式意义之间的联系，意在让学生用自己的思维方式逐步抽象并全面构建出解决“起点为零的里程问题”的模型。这样的复习过程，一来厘清了知识的来龙去脉，二来促使学生自我建构起更为复杂的知识体系，特别是以图为媒介的系统，这个“图形”简洁、大气，更具知识的迁移力。
总而言之，几何直观或者说用直观图来教学肯定是一个策略，但是这个策略是一个不断形成并完善的过程，它需要教师整体的设计与实施：用“图”带题，图生图长，其目的就是让学生以“图”为思考对象，培养学生的看图、读图能力；看题想“图”， 借图解题，其目的是要求学生化题为图，关注文字题中数量关系的表示，做到借图解题；构“图”得形，图有所成，其目的是站在更高的数学视野上，整体感知单元学习内容，用更具张力的“图形”来引导单元知识学习，促使学生从知识、策略走向数学本质。
（浙江省衢州市柯城区教学研究室 324000浙江省衢州市大成小学 324000）
【关键词】用“图” 想“图” 构“图”
现在，一线数学老师对几何直观或者用直观图来作为教学策略，已经不是什么新观点了。但教师在教学中比较棘手的是如何让几何直观去解决一些教学中的疑难问题，并且在连续的几节课里，有序、有步骤地采用几何直观，如此促使学生不但能用，而且能自觉地用。下面，笔者就以北师大版三年级上册“加与减”单元中的“里程问题”这块内容为例，展开教学实践，并提出相应的教学主张。
一、用“图”带题，图生图长
为了突出图的地位，培养学生的看图能力，在教学实施中，笔者特意去掉了教材中的文字，就直接让学生看图，见图2。
具体的教学实施叙述如下：
师：看了这幅图，你知道一列火车从北京开往西安，途中经过了哪几个站？除了这些，你还想知道哪些数学条件？
生：想知道这些车站之间的距离。
师：好的，请大家看下面的表格。你能把这些条件标在图里吗？如果你有更好的图式，也可以自己创作一幅。
随后，老师根据学生的思考、汇报等，呈现如书本里的象形图、数线图，让学生求解各站点之间的距离。
（三）教学思考
先图后题或者先题后图，并不是一个简单的先后顺序的问题，而是一个教学观念的问题，是一个教学的思考对象谁先谁后的问题。教师在教学中，直接呈现图，通过“从图上你读出了哪些数学信息？”“你还想知道哪些数学条件？”“把这些条件标在图里，你有更好的图式吗？”来引导学生看图、补图、创图。其中，在创图的过程中，教师引发学生自主探索，经历象形图到数线图，由具象到抽象，由一幅图到多幅图的过程，引导学生体会“不改变数学信息和数量关系的前提下”，“图”也可以逐渐变化，可以变得更加简洁、抽象。这种让“图”生长的过程，其实就是学生触摸情境事件、把握数量关系、理解题目意义的过程；更为重要的是，这个成长着的“图”，其实就是学生看图能力的成长写照，且这种成长是学生自发而来的，是自主探索来的，这才是最为有价值的地方。
二、看题想“图”， 借图解题
师：我准备周一读到第15页，请记录下来。周一读了几页。
教师引导学生像图5这样表示出来。
师：我准备周二读到第47页，周三读到第80页。请在图5的基础上记录下来。
引导学生记录并完成图6后，问：那么周二读了几页？周三读了几页？
请学生列出解决这个问题的算式，并在图上指一指算式中的每个数分别在哪里，说一说每个数表示什么。形成图7。
在上面的引导性材料学习之后，教师呈现书里的里程表（二）的内容，放手让学生画图表达，然后汇报交流，结果呈现如图8。
随后，教师请学生将下面的表格填写完整。
（三）教学思考
在教学中，教师作了调整，先让学生解决“读书”情境，然后学习里程表（二）。调整原因有二：（1）起点非零的里程问题对于学生来说是一个难点。学生在平时的生活中，没有观察记录汽车里程的经验。即使老师让他们去观察自家车上的里程表，他们也未必会积累到经验。（2）对于不熟悉的事件，要让学生画图表达出他所理解的意思，这是难上加难。实际上，起点非零的里程问题中，“非零”并不是学生理解的难点，“读数”与“里程数”这两个概念才是学生的认知难点。而在看书这个情境中，学生因为有丰富的看书经验，学生对 “看了几页”与“看到几页”是有经验的，更为重要的是，学生将这个熟悉的事件用图表达就会更容易，知识迁移就显得顺理成章了。整个学习中，都是由题及图，题图共存，自然就形象地解决“点数”“点与点之间的距离数”的概念，真正做到图文结合，借图解题，图有所成。 三、构“图”得形，图有所成
培养画图策略的教学目的不单纯是为了求得问题的结果，最终目标是通过画图策略的培养，使学生全面建构知识，体会把具体问题抽象为数学模型从而得出一般的解题方法的思想，提升数学思想方法。因此在数学教学中，画图策略的渗透决不应止步于一节课或一种课型。只有让学生经历线段图的产生、形成、发展的过程，有了系统的认识，学生才会把画图的策略内化为自己的方法。下面就以里程问题复习课教学为例。
（一）教学实施
黑板上出示三条不同颜色的线段，见图9。
师：有一列火车从衢州出发，与其他城市的路程刚好是这三条线段的长度。（师课件出示图10）
1.你能把这三条线段合并成一个线路图，让大家一眼就能看出从衢州到龙岩要经过哪几个站吗？学生上黑板展示方法，形成图11。
2.你能用线段图把它们的关系表达出来，并标上相关信息吗？（作业纸上画一画、标一标）展示学生作品，如图12。
3.根据这些信息，你能解决什么问题？请列出算式不计算。
364-105 531-364 531-105
4.如果老师想请你们在图13上标出这几个位置的数据，你会吗？
5.开头为什么是0？刚刚大家看到的这个图是我们画出来的，其实在现实生活中，老师看到的线路图是这样的。（出示线路图）你觉得这两种图哪个更容易帮助我们解决问题？为什么？（更清楚）看来画图可以帮助我们解决问题。（板书：画图—解决问题）
（二）教学思考
教学到了单元复习的时候，有的学生会用图，但却不会画图；有的学生会画图，但又不会用图。细细分析这背后的原因，其实皆因学生没有经历构图的过程。在里程问题的复习课中，教师就有意识地让学生经历“把三条线合成一条路线”这样一个建构的过程，沟通图与图之间的相连、包含等各种不同的关系，重在沟通了直观图、线段图与算式意义之间的联系，意在让学生用自己的思维方式逐步抽象并全面构建出解决“起点为零的里程问题”的模型。这样的复习过程，一来厘清了知识的来龙去脉，二来促使学生自我建构起更为复杂的知识体系，特别是以图为媒介的系统，这个“图形”简洁、大气，更具知识的迁移力。
总而言之，几何直观或者说用直观图来教学肯定是一个策略，但是这个策略是一个不断形成并完善的过程，它需要教师整体的设计与实施：用“图”带题，图生图长，其目的就是让学生以“图”为思考对象，培养学生的看图、读图能力；看题想“图”， 借图解题，其目的是要求学生化题为图，关注文字题中数量关系的表示，做到借图解题；构“图”得形，图有所成，其目的是站在更高的数学视野上，整体感知单元学习内容，用更具张力的“图形”来引导单元知识学习，促使学生从知识、策略走向数学本质。
（浙江省衢州市柯城区教学研究室 324000浙江省衢州市大成小学 324000）