摘 要：几何最值与路径问题能较好地考查同学们的几何探究与推理能力及数学思想方法的运用。有些立意新颖、构思巧妙的中考题目，将圆隐藏在已知条件里，隐晦地考查圆的有关知识。解题时，需要通过分析探索，发现这些隐圆，做到图中无圆，心中有圆。
　　关键词：几何最值;隐形圆;定边对定角;定点定长;夹角定位;圆的定义;动点轨迹
　　
　　初中几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度、角度大小、图形面积）等的最大值或最小值。在近几年各地中考中，几何最值与路径问题屡屡受到命题者关注，一批立意新颖、构造巧妙的新题、活题脱颖而出。此类问题不仅涉及平面几何的基础知识，还涉及几何图形的性质、平面直角坐标系、方程与不等式、函数知识等，能很好地考查同学们的几何探究、推理能力及数学思想方法的运用。本文结合笔者的教学实践与这几年的中考题谈谈初中几何“与动点有关的几何最值与路径”问题的求解策略。
　　一、 几何最值的理论依据与基本模型
　　求解几何最值的基本依据是：①两点之间线段最短。②垂线段最短。③在三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。求几何最值问题的基本方法有：特殊位置与极端位置法;几何定理（公理）法;数形结合法等。与圆有关的常用模型如下：
　　模型1：如图1，当点P是⊙O外一点，直线PO分别交⊙O于点A、B两点，则线段PA的长是点P到⊙O的最短距离，线段PB的长是点P到⊙O上的点的最长距离。
　　理由：在过点P另做直线交⊙O于点A′、B′，则有PA=PO-OA=PO-OA′PB′（三角形两边之和大于第三边）。
　　模型2：如图2，当点P是⊙O内一点，直线PO分别交⊙O于点A、B，则线段PA的长是点P到⊙O上的点的最短距离，线段PB的是点P到⊙O上的点的最长距离。
　　理由：在⊙O另取不同于点A、B的点A′、B′，则有PA=OA-OP=OA′-POPB′（三角形两边之和大于第三边）。
　　模型3：定边对定角
　　已知点A、点B是定点，平面内的动点P满足∠APB=n°（n为定角），根据“经过不在同一条直线的三个点有且只有一个圆”可知动点P的运动路径是圆弧。当0°