论文部分内容阅读
摘 要： 高中数学抛物线知识中，有两个结论的推导在解题过程中应用，能够快速解题，将问题的多个角联系起来，从而实现角与角的转换，这一知识点也是大部分高中生在学习数学的难点。本篇文章基于此，从高中生的视角出发，首先简要介绍这两个抛物线结论，然后再提出推导方法和过程。
关键词： 高中数学；抛物线；推导过程
前言：抛物线有一些结论，能够帮助学习者在面对选择题、填空题，快速地完成解题，同时帮助他们打开解题思路。相比起传统解题方法，利用抛物线的两个结论能够节省许多的时间，特别是对于卷面分值较小的选择、填空题，采用这个方法既保证答题正确，又节省更多时间用于其他类型问题的解答。
一、抛物线的两个结论
结论一：若AB是抛物线y2=2px（p>0）的焦点弦（过焦点的弦），且A（x1，y1），B（x2，y2），则：x2y2=p2/4，x1y2=p2
例题：已知直线AB是过抛物线y2=2px（p>0）焦点F，求证1/丨AF丨+1/丨BF丨为定值。
结论二：若（1）若AB是抛物线y2=2px（p>0）的焦点弦，且直线AB的倾斜角为α，则丨AB丨=2P/sin2α（α≠0）。（2）焦点弦中通经（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。
例题：已知抛物线y2=9x过焦点的弦AB长为12，则直线AB倾斜角为？
通过以上结论及其所举例题，可以明确问题所考察的内容，包括抛物线、曲线切线、直线的知识点，所涉及的函数与方程、数形结合的解题技巧。学习这两个结论，有助于锻炼学习者的化归和转化的数学思维、运算求解能力，从而站在更广阔的角度思考数学问题，并尽心解答[1]。
二、解题方法以及解题思路分析
通过以上两个结论比较，可以看出它们的共同点有以下几点：1、给定的焦点弦为y2=2px（p>0），结论一是将焦点坐标设为F（P/2，0），当AB不垂直于x轴时，得出直线AB的方程。结论二是通过设A为（x1，y1），B为（x2，y2），由此得出直线AB的公式：设AB：y=k（x-P/2）。2、第二个相同点是两个结论，所解决的问题相近，主要是如何通过切线平分角，从而确认直线与焦点的关系。通过历年的高考数学真题以及其他模拟试卷，都可以发现许多类似的问题，对于这些问题的解答，都主张采用函数表达式解答。这样的解题方法，对于学习者而言思路更加开阔。
基于以上分析，求解抛物线焦点弦最为常用的解题方法，就是通过设置焦点坐标，然后再利用导数表示斜线AB的斜率，设斜线方程并与抛物线方程所联系，从而利用判别式y2=2px（p>0）铺展开解题思路。求直线防尘采用斜截式，以韦达定理列出直线、抛物线方程的焦点坐标，几何意义的待定系数利用导数推出。通过导数确定斜线的斜率以及直线与抛物线方程位置关系[2]。
三、抛物线结论推导过程解析
上文提到两个抛物线结论，都是利用导数来推导出问题的几何意义，从而将焦点坐标列出。
（一）第一结论的推导过程
若是AB是抛物线方程y2=2px（p>0），通过以上关系，可以了解该抛物线是过焦点的弦，从而可以证明坐标为F（P/2，0），通过进一步的证明过程，可以确认AB不垂直于x轴，设置的AB方程为y=k（x-P/2）。
例题：已知直线AB是过抛物线，过焦点的弦条件为y2=2px（p>0），根据以上条件求出1/丨AF丨+1/丨BF丨为定值。
针对以上问题，首先设立设置AB直线的抛物线方程y2=2px（p>0），因为AB不垂直于x轴，射出直线AB的方程y=k（x-P/2）。从而可以得出y=k（x-P/2），y2=2px，共同得出ky2-2py-kp2=0。因为y1y2=-p2，可以设为以下公式x1x2=y12/2p·y22/2p=p4/4p2=p2/4。
根据以上条件，当直线AB垂直于x轴时，直线方程可以列为x=p/2，从而y1y2可以列为y1=p，y2=-p，所以y1y2=-p2，基于以上关系x1x2=p2/4。证明过程如下：
设A（x1，y1），B（x2，y2），根据抛物线的定义可以知道丨AF丨=x1+p/2，丨BF丨=x2+p/2，又因为丨AF丨+丨BF丨=丨AB丨。根据以上关系，x1+x2=丨AB丨-p，由此得出结论x1x2=p2/4。
基于以上关系可列为：1/丨AF丨+1/丨BF丨=丨AF丨+丨BF丨/丨AF丨·丨BF丨=丨AB丨/（x1+p/2）（x2+p/2）=丨AB丨/x1x2+p/2（x1+x2）p2/4=丨AB丨/p2/4+p/2（丨AB丨-p）+p2/4=2/p（常数）
（二）第二结果推导过程
若AB是抛物线，过焦点的弦为y2=2px（p>0），AB倾斜角为α，则可以判定丨AB丨=2p/sin2α（α≠0），过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦最短。证明过程：
（1）设A为（x1，y1）B为（x2，y2），直线AB：y=k（x-P/2）；根据设定的条件，y=k（x-P/2） y2=2px；ky2-2py-kp2=0，从而得到y1+y2==2p/k，y1y2=-p2；根据以上条件，验证公式为丨AB丨=1+1/k2丨y1y2丨=1+1/k2（y1+y2）2-4y1y2=1+1/k2·1+1/k2·2p1+k2/丨k丨=2p（1+k2）/k2=2p（1+tan2α）/tan2α=2p/sin2α
（2）通过条件（1）可以确定AB为通径时，α=90°，sin2α值最大，丨AB丨值最小。
例题：已知抛物线为y2=9x，其过焦点的弦AB长为12，求直线AB的倾斜角。
这道问题的解法，可以采用结论二的方法，12=9/sin2α（其中α为直线AB的倾斜角），基于此条件sinα=± /2，所以直线AB倾斜角为π/3或2π/3。第二种结论的验证方法，相比其他验证方法，其应用优点表现在斜率不存在时也能够成立。
在解题过程中，部分学者对于导数几何意义不够了解，因此忽视了导数在解决函数问题的作用。此外，部分学习者由于缺乏数学思维，在分析问题时没有考虑到问题的变量关系以及其他复杂的关系式，从而不知道从何推算问题。针对这一问题，需要全局把握问题，预先规划解题步骤，从中找寻最佳的解题思路和方法。
结论：综合上述，本篇文章基于两个抛物线结论，提出了两种解题方案，主张采用导数来推出几何意义，然后列出函数方程。这种解题方法的应用难点，在于学习者没有以數学思维考虑问题，从而忽视了变量以及关系式的复杂性。希望本文的研究能够为读者提供有益参考。
参考文献
[1]杨玲.高中数学有效思维课堂的构建——以《抛物线的焦点弦性质探究》一课教学为例[J].延边教育学院学报，2018，32（01）：138-140.
[2]刘娟.高中数学实施“同课异构”的反思——以北师大版“抛物线及其标准方程”教学为例[J].教师博览（科研版），2017（07）：64-65.
关键词： 高中数学；抛物线；推导过程
前言：抛物线有一些结论，能够帮助学习者在面对选择题、填空题，快速地完成解题，同时帮助他们打开解题思路。相比起传统解题方法，利用抛物线的两个结论能够节省许多的时间，特别是对于卷面分值较小的选择、填空题，采用这个方法既保证答题正确，又节省更多时间用于其他类型问题的解答。
一、抛物线的两个结论
结论一：若AB是抛物线y2=2px（p>0）的焦点弦（过焦点的弦），且A（x1，y1），B（x2，y2），则：x2y2=p2/4，x1y2=p2
例题：已知直线AB是过抛物线y2=2px（p>0）焦点F，求证1/丨AF丨+1/丨BF丨为定值。
结论二：若（1）若AB是抛物线y2=2px（p>0）的焦点弦，且直线AB的倾斜角为α，则丨AB丨=2P/sin2α（α≠0）。（2）焦点弦中通经（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。
例题：已知抛物线y2=9x过焦点的弦AB长为12，则直线AB倾斜角为？
通过以上结论及其所举例题，可以明确问题所考察的内容，包括抛物线、曲线切线、直线的知识点，所涉及的函数与方程、数形结合的解题技巧。学习这两个结论，有助于锻炼学习者的化归和转化的数学思维、运算求解能力，从而站在更广阔的角度思考数学问题，并尽心解答[1]。
二、解题方法以及解题思路分析
通过以上两个结论比较，可以看出它们的共同点有以下几点：1、给定的焦点弦为y2=2px（p>0），结论一是将焦点坐标设为F（P/2，0），当AB不垂直于x轴时，得出直线AB的方程。结论二是通过设A为（x1，y1），B为（x2，y2），由此得出直线AB的公式：设AB：y=k（x-P/2）。2、第二个相同点是两个结论，所解决的问题相近，主要是如何通过切线平分角，从而确认直线与焦点的关系。通过历年的高考数学真题以及其他模拟试卷，都可以发现许多类似的问题，对于这些问题的解答，都主张采用函数表达式解答。这样的解题方法，对于学习者而言思路更加开阔。
基于以上分析，求解抛物线焦点弦最为常用的解题方法，就是通过设置焦点坐标，然后再利用导数表示斜线AB的斜率，设斜线方程并与抛物线方程所联系，从而利用判别式y2=2px（p>0）铺展开解题思路。求直线防尘采用斜截式，以韦达定理列出直线、抛物线方程的焦点坐标，几何意义的待定系数利用导数推出。通过导数确定斜线的斜率以及直线与抛物线方程位置关系[2]。
三、抛物线结论推导过程解析
上文提到两个抛物线结论，都是利用导数来推导出问题的几何意义，从而将焦点坐标列出。
（一）第一结论的推导过程
若是AB是抛物线方程y2=2px（p>0），通过以上关系，可以了解该抛物线是过焦点的弦，从而可以证明坐标为F（P/2，0），通过进一步的证明过程，可以确认AB不垂直于x轴，设置的AB方程为y=k（x-P/2）。
例题：已知直线AB是过抛物线，过焦点的弦条件为y2=2px（p>0），根据以上条件求出1/丨AF丨+1/丨BF丨为定值。
针对以上问题，首先设立设置AB直线的抛物线方程y2=2px（p>0），因为AB不垂直于x轴，射出直线AB的方程y=k（x-P/2）。从而可以得出y=k（x-P/2），y2=2px，共同得出ky2-2py-kp2=0。因为y1y2=-p2，可以设为以下公式x1x2=y12/2p·y22/2p=p4/4p2=p2/4。
根据以上条件，当直线AB垂直于x轴时，直线方程可以列为x=p/2，从而y1y2可以列为y1=p，y2=-p，所以y1y2=-p2，基于以上关系x1x2=p2/4。证明过程如下：
设A（x1，y1），B（x2，y2），根据抛物线的定义可以知道丨AF丨=x1+p/2，丨BF丨=x2+p/2，又因为丨AF丨+丨BF丨=丨AB丨。根据以上关系，x1+x2=丨AB丨-p，由此得出结论x1x2=p2/4。
基于以上关系可列为：1/丨AF丨+1/丨BF丨=丨AF丨+丨BF丨/丨AF丨·丨BF丨=丨AB丨/（x1+p/2）（x2+p/2）=丨AB丨/x1x2+p/2（x1+x2）p2/4=丨AB丨/p2/4+p/2（丨AB丨-p）+p2/4=2/p（常数）
（二）第二结果推导过程
若AB是抛物线，过焦点的弦为y2=2px（p>0），AB倾斜角为α，则可以判定丨AB丨=2p/sin2α（α≠0），过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦最短。证明过程：
（1）设A为（x1，y1）B为（x2，y2），直线AB：y=k（x-P/2）；根据设定的条件，y=k（x-P/2） y2=2px；ky2-2py-kp2=0，从而得到y1+y2==2p/k，y1y2=-p2；根据以上条件，验证公式为丨AB丨=1+1/k2丨y1y2丨=1+1/k2（y1+y2）2-4y1y2=1+1/k2·1+1/k2·2p1+k2/丨k丨=2p（1+k2）/k2=2p（1+tan2α）/tan2α=2p/sin2α
（2）通过条件（1）可以确定AB为通径时，α=90°，sin2α值最大，丨AB丨值最小。
例题：已知抛物线为y2=9x，其过焦点的弦AB长为12，求直线AB的倾斜角。
这道问题的解法，可以采用结论二的方法，12=9/sin2α（其中α为直线AB的倾斜角），基于此条件sinα=± /2，所以直线AB倾斜角为π/3或2π/3。第二种结论的验证方法，相比其他验证方法，其应用优点表现在斜率不存在时也能够成立。
在解题过程中，部分学者对于导数几何意义不够了解，因此忽视了导数在解决函数问题的作用。此外，部分学习者由于缺乏数学思维，在分析问题时没有考虑到问题的变量关系以及其他复杂的关系式，从而不知道从何推算问题。针对这一问题，需要全局把握问题，预先规划解题步骤，从中找寻最佳的解题思路和方法。
结论：综合上述，本篇文章基于两个抛物线结论，提出了两种解题方案，主张采用导数来推出几何意义，然后列出函数方程。这种解题方法的应用难点，在于学习者没有以數学思维考虑问题，从而忽视了变量以及关系式的复杂性。希望本文的研究能够为读者提供有益参考。
参考文献
[1]杨玲.高中数学有效思维课堂的构建——以《抛物线的焦点弦性质探究》一课教学为例[J].延边教育学院学报，2018，32（01）：138-140.
[2]刘娟.高中数学实施“同课异构”的反思——以北师大版“抛物线及其标准方程”教学为例[J].教师博览（科研版），2017（07）：64-65.