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云南曲靖师范学院数学与信息科学学院 655011
弗赖登塔尔(Hans Freudenthal，1905—1990)提出 “数学应该被看成是人类的一种活动”的教育理念，以及他的“数学必须联系现实，必须贴近孩子，必须与社会相联系；数学教育的重点不是让学习者在一个封闭的系统中处理数学，而是让他们在一种数学化的过程中学习数学，这个“数学化”的过程必须是由学习者自己主动完成的，而不是任何外界强加的[1]”等“数学现实教育”思想对数学课程理论、教学方法，以及大众数学的主张产生了影响深远.
RME (Realistic Mathematics Education)（即现实数学教育）思想产生于以荷兰数学教育家弗赖登塔尔为代表的荷兰数学教育研究，它是对上世纪60年代美国“新数学”运动和荷兰“机械数学教育”的挑战.
1 RME（现实数学教育）思想的基本内涵
RME是自1971年以来荷兰弗赖登塔尔所研究、倡导和推行的一种开创性的数学教与学的途径，被广泛地视为弗赖登塔尔Institute的标志.RME的基本观点是，认为从学生经验上看来，真实的数学活动是可以促进学生有意义学习的.学生在学习的过程中，通过探究、建构性活动和对话交流等一系列数学化了的活动来自主学习数学知识，获得数学理解[1].
从上世纪60年代末开始的现实数学教育改革，经过近四十年的发展，RME已形成了结构完整、内涵丰富的思想体系.对它的思想体系的把握，应弄清RME中的“现实”和“数学化”这两个重要概念.
1．1 现实（Realistic）
弗莱登塔尔主认为“现实”就意味着获得数学常识的经历是现实的，每个人都要在真实的过程中逐渐积累数学知识[3].
RME中的“现实”的涵义是：首先，RME强调要给学生提供他们自己可以想象的现实问题情境.这就意味着问题的内容可以是来自于现实世界的.
其次，RME中所涉及的现实，不仅包括与现实世界相联系的一些问题情境，还包括那些成为常识的数学知识，即“数学现实”.“现实”不一定限于具体的事物，作为属于这个现实世界的数学本身，也是“现实”的一部分.每个人也都有自己所接触到的特定的“数学现实”.
最后，“现实”一词还意味着学生获得数学知识的经历是真实的.每一位学生都亲身经历、参与了知识获得的全过程，他们有自己独特的感受和体会，有自己的付出和收获，更有同伴间的交流和帮助.这些经历都是真实存在的，是学生们的知识、技能、情感发展的真实反映.
由此，“现实”表达了RME的如下特征[4]：①现实数学教育是现实（realizing）的，即现实数学教育与学生熟悉的生活密切相关，学生通过自己熟悉的生活来学习数学，作为教育内容的数学和现实生活中的数学始终紧密的联系在一起.这一点体现出了现实数学教育内容的“现实性”.②现实数学教育是实现（realized）的，即现实数学教育与数学的“再创造”紧密相连，学生所学的数学知识不是教师课堂灌输的现成数学成果，而是在教师引导下由学生自己发现和得出的结论.这一点体现出了现实数学教育过程的“实现性”.
1．2 数学化(Mathematizing)
数学化是数学教育的主题[5]，现实数学教育是关于数学再发现的教育.这里的“再发现”就是数学化.所以，现实数学教育也可称为是关于如何实现数学化的教育，数学化是现实数学教育思想体系中最重要的概念.
弗赖登塔尔认为，人们运用数学的方法观察现实世界，分析研究各种具体的现象，并加以整理组织，这个过程就是数学化.简单地说，数学地组织现实世界的过程就是数学化[7].
一般来说，数学化是一种由现实问题到数学问题，由具体问题到抽象概念的认识转化活动，是人类发现活动在数学领域里的具体表现[8].RME中所说的数学化，泛指学习者从一个具体的情境问题开始，到得出一个抽象数学概念的教育全过程.这个过程中，就包括运用数学的知识、数学的语言和数学的方法去处理现实材料[4].
数学化分为两个层次：水平数学化和垂直数学化.水平数学化是指由现实问题到数学问题的转化，是把情境问题表述为数学问题的过程.大体包括以下内容：确定情境问题中包含的数学成分；建立数学成分与已知的数学模型之间的联系；通过不同的方法使这些数学成分形象化和公式化；找出蕴涵在其中的关系和规则；考虑相同数学成分在不同情境问题中的表现；做出形式化的表述等.水平数学化是发现情境问题中的数学成分，并对这些成分作符号化处理的数学化过程，是从生活世界到符号世界的转化过程.经过水平数学化，现实问题变成了数学问题.垂直数学化随之出现，它是从具体问题到抽象概念的转化，是建立数学问题与数学系统之间关系的过程.垂直数学化大体包括以下内容：用公式表示关系；对规则做出证明；尝试运用不同的数学模型；对数学模型进行调整和加工；考虑不同数学模型的结合和形成统一的新模型；对得到的新数学概念做出公式化的精确表述；对问题一般化和推广等.垂直数学化是在数学的范畴内对已经符号化了的问题作进一步的抽象化处理的数学化过程，是从“符号”到“概念”的转化[4].
因此，水平数学化包括从现实世界到符号世界的过程；而垂直数学化就是符号世界中的活动，即水平数学化让学生从生活世界走进符号世界，垂直数学化让符号语言得以在数学范畴中塑造、被塑造，以及被操作等.
2 RME教学模式
在RME教学思想指导之下有三种教学方式[3]：（1）通过渐进式的数学化引导再创造（Guided Reinvention Through Progressive Mathematizing）；（2）教学的现象学分析（Didactical Phenomenology Analysis）；（3）即时建模（Emergent Models/Emergent Modeling）.“通过渐进式的数学化引导再创造”，就是说学生数学学习的过程实际上就是学生“再创造”数学概念、性质、定理的过程.在这个过程中，教师的作用是要对学生的再发现过程进行有利的引导.“教学的现象学分析”重在于讨论学生数学学习的起点——现实情境问题的有效创设.而“即时建模”则是讨论如何有效地使数学理解、数学思维从情境层次向更高层次发展的一种教学行为.
根据RME的思想，结合三种教学方式的内涵，可以得到一个基本教学模式[9]（见图1）：
图1 RME教学模式示意图
其中的数学化过程是渐进的，有四个层次[2].
第一个层次是情境层次（situation level）.这个层次跟问题情境相关，它针对某一专题，促使知识能在情境中运用.学生在这一层次的活动主要是从背景信息中找出符合的条件，思考怎样解决问题.
第二个层次是指涉层次（referential level/model of）.这个层次涉及利用具体的数学模型（或者是数学式子）去代表特定的数学对象，所用到的数学模型和策略必须指涉问题所衍生的情境.
第三个层次是普遍层次（general level/model for）.这是一种过渡性层次，主要是使用具有普遍意义的数学模型去分析蕴含的关系.这时模型的建立不再依赖背景环境，而是单纯地从数量关系中寻找数学关系.
第四个层次，也是理解的最高层次，称为形式层次（formal level）.这个层次允许学习者进行纯粹思维、反思及欣赏活动，这是因为数学对象已经引用在数学范畴内规范化的步骤和符号进行表述和操作的缘故.
不同的数学化层次，从本质上来说就是从寻求非正式的、与问题情境相联系的结论到一定程度的系统化，再到对隐藏在问题情境背后的一般性原理的深层次的理解，以及能够透过部分获得对整体的把握等等.
数学化层次的变化，体现出的是数学化的变化过程（见图2）.学生思维在情境层次、指涉层次的活动，主要体现了其水平数学化，这是一个由现实世界到符号世界的过程.学生的行为处于“领受”阶段；在符号世界中的活动，即垂直数学化，主要涉及思维的普遍层次和形式层次.学生逐渐深入知识的内部，领会知识的内涵及发现知识生成的初步或基本的规律，拓展知识，即为“领悟”阶段；处于形式层次的思维活动，学生对知识进行反思、扩展和欣赏，运用知识解决其他问题，发展了知识的迁移，达到“提升”阶段.
图2 RME教学中的数学化层次示意图
3 RME教学案例
案例[10]：初中课题学习——打包问题.
教学过程：（1）创设情景，提出问题
现实情景：有些商品是若干件被装在一起按包销售的，例如一包火柴中装有10盒火柴、一大包纸巾中装有10小包纸巾、一条香烟中装有10包香烟等.不同商品的打包形式常常不同，请同学们收集一些这样的商品，先看其外观，再打开包装看内部的摆放形式.它们打包后的外包装形式一样吗？哪一种包装形式更能节省外包装材料呢？
为了讨论方便，先定义一种“规则打包”法：打包时要求包内相邻两物体必须全等的侧面对接，打包后是一长方体.
更数学化地提问：
问题1 火柴、香烟或其他长方体的物品，按“规则打包”的方法将10包打成一大包，打成一个大包，怎样打包可使表面积最小？请以10包香烟（88mm×58mm×22mm）来进行讨论.
（2）活动探究，解决问题
学生用实物进行摆放，找出解决问题的方案：对各种可能的打包方式由具体数据算出面积，再从中挑出最小的，它对应的打包方式就是我们所要的.
活动1 根据方案，第一个要解决的问题是，按照规则打包，到底有几种不同的摆放方式.这是问题的难点和关键所在.
通过实物操作活动，学生寻找不同的打包方式.但是很多学生不能找到所有的打包方式.
教师引导学生数学地思考：10的分解因数只有两种：10＝1×10和10= 2×5.先就1×10的打包方式来看，一个烟盒有三个大小不同的面，把它们分别标记为x、y、z，且x>y>z.只有三个方向可以1×10，由此对应三种打包方式（见图3（1）~（3））；而对于 2×5 型的打包方式中，“2”的方式就有三种，对于其中的每一种，“乘5”的方式还有两种，故有六种打包方式（见图3（4）~（6））.因此10包香烟按规则打包共有九种打包方式.
活动2 先让学生进行直观估算，哪些表面积一定大，又不美观，哪些表面积会较小.然后再让学生根据具体数据算出各种打包方式的表面积.
1×10型： S1=2x+20y+20z
=74448mm2
S2=20x+2y+20z=131872mm2
S3=20x+20y+2z=144152mm2
2×5型：
S4=10x+4y+20z
=84304mm2
S5=4x+20y+10z
=94864mm2
S6=4x+10y+20z
=65296mm2
S7=20x+10y+4z=126544mm2
S8=20x+4y+10z=122584mm2
S9=10x+20y+4z= 71896mm2
对这九种打包方式的表面积进行比较，可知打包方式（6）是表面积最小的.
（3）探究讨论，发展问题
问题2 如果不给出长方形三条边a、b、c的具体数据，只给出a≥b≥c，你能否知道哪一种打包方式的表面积最小？
令x=ab,y=ac,z=bc，则有x≥y≥z，所以x的正系数越小面积就越小.说明面积大的面被对接的越多，面积被抵消的也越多，打包后的表面积就越小. 所以不给出具体的数据，也能知道哪种打包方式的表面积小.
问题3 是否方式（6）一定是表面积最小的？
引导学生进行比较，方式（1）～（3）中，方式（1）最省；方式（4）～（9）中，方式（6）最省.
而S1-S6 =10ac-2ab=2a(5c-b)，
故当5c-b>0，方式（6）省.当5c-b<0时，方式（1）省.
问题4 香烟的真正包装方式是方式（4），并非方式（6），为什么？
因为香烟打包要考虑从长方形纸上下料，剩料最少；
表面积最小的打包形式不一定是美观和实用的，方式（4）更便于携带；
打包的表面积最小和最省包装并不完全一致；
……
（4）课外研究，应用拓展：
①根据上面的结果，给出十包以下的物品打包后，具有最小面积的打包形式.
火柴：a=46mm, b=36mm,c=16mm
书本：a=183mm, b=129mm,c=20mm
②将6包香烟打成一包，表面积不同的打包方式有几种？其中表面积最小的打包方式是怎样的？
③选做：将上题中的6包改成12包或8包，结果怎样？有没有一个更一般的处理这类问题的程序？
④选做：你能设计一个新的打包问题吗？由打包问题你还能联想到哪些相关问题？你有解决这些问题的想法或方案吗？
教学评析
首先，这个教学案例，在教学设计上体现了RME的教学模式.
创设现实情境，让学生思考一个实际问题，然后通过学生的探究活动和教师的引导，把数学知识应用于问题解决，获得了对问题的非正规性和正规性解答.并在解决问题的基础上进行推广、深化，让学生不仅会解决这一问题，而且会对更一般的问题建立数学模型，分不同情况讨论结果.
其次，这个教学设计体现出了RME思想.在解决问题的过程中，学生的数学思维发生了不同层次的变化.
情境层次.教师提出一个问题：火柴、香烟或其他长方体的物品，按“规则打包”的方法将10包打成一大包，打成一个大包，怎样打包可使表面积最小？这个情境问题来源于真实情境.学生在这个真实情境中活动，通过摆放实物的活动来寻找求解的方案.
指涉层次.根据学生在寻找打包方式时的分类混乱，出现少找或多找了打包方式的情况.教师进一步引导学生数学地思考：10的分解因数只有两种：10＝1×10和10= 2×5.由此对10包香烟打成一包所有可能的打包形式作简明透彻的分析，然后再通过估算和计算，就很容易地解决了问题1.
普遍层次.接着教师又提出问题2和问题3，将问题的条件一般化，使结果有更好的适应性.这样既把前面的讨论推广到一般，让学生学会建立数学模型，又使学生学会多角度分析、考虑问题，从而使学生的认识产生了一个飞跃.
形式层次.一方面，数学建模结果不一定和实际情况吻合.通过问题4，引导学生进一步进行反思. 另一方面，再通过课后作业，这四道题有对知识的巩固训练，也有对该问题的深化和拓展.使学生在数学范畴内，可利用形式化的数学方法解决各种相似甚至是相反的情境问题.比如第④题，同学会提出把长方体的包改成正方体、圆柱体的包（如饮料罐的打包问题），改变打包形式的打包问题，甚至提出打包问题的反问题：给定大包的尺寸，最多能放多少个小包？（如集装箱问题）等.
4 RME对数学教育的启示
作为一种新型的数学教育方式，RME是具有启发性的.
（1）对改进数学教学方式的促进作用
传统的数学教学是一种自上而下的教学，它从“具体的数学知识”或“现成的数学结论”出发，教给学生数学的“现成结果”，教师在这一过程中处于主导地位；而RME教学是一种自下而上的教学，它从“现实情境问题”出发，要学生自己通过对现实情境问题的解决去“再创造”数学的这些结果，教师仅仅起着引导的作用.
教师在设计数学教学过程时，首先要明确这节课的教学内容，并且结合学生的学习实际情况，预测学生的数学现实.在数学现实的指导下，创设合宜的现实情境问题，将所要讨论和学习的数学知识融于现实情境问题之中.在解决问题的过程中，学生不断地进行数学活动，其中就包括对问题的非正规性解答和正规性解答.教师处于一个引导者的角色，促进学生数学化过程的顺利过渡.最终学生在亲自参与的数学活动过程中获得感受和体验，最后又将这些感受和体验上升为新的数学现实.在学习的过程中，要注重水平数学化和垂直数学化的过程.低理解水平层次上的数学化，可以成为较高理解水平层次上探究的敲门砖.高理解水平的活动是低理解水平积累和反思的结果.这意味着，一开始以非正规的方式所进行的活动，后来经过反思以及作为反思的结果，会变得越来越正规了.学生一旦较好地经历了这两个过程，理解了在这些过程中思维的发展变化，那么将有利于学生的数学现实就不断增加，他们数学能力也会得到提高.（2）对数学课程改革的指导性作用
《数学课程标准》提出了“大众数学”的教育目标：“人人学有价值的数学、人人都能获得必需的数学、不同的人在数学上得到不同的发展”.对于学生的数学学习的内容，则应当是“现实的”、“有意义的”、“富有挑战性的”，内容要“有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流”.学生的“学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程”、“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式.” [11]由此可见，我国正在进行的新一轮的数学课程改革，与RME的教育思想有相似之处.对RME教学思想的理解，将有利于教师角色的转变，有利于教师对新教材的理解、处理和把握.
特别是在中学的数学教学中，RME思想和教学模式为教师如何设计教学过程、怎样体现学生学习主体性提供了帮助.RME教学模式中“现实情境问题”的运用，架起了现实世界与抽象世界之间的桥梁，不但能激发学生的学习积极性，更让学生明白数学学习的意义和作用.教师在分析教材和进行教学设计时，要注意将数学知识与现实相联系，体现数学的工具性.学生学习数学的过程是一个数学化的过程，其中要有充分的活动和交流，自己的体验和感受也是学习的一部分.通过学习过程中的活动，能使学生运用数学工具来解决现实问题，从而发展自己的数学知识，增强数学学习的体验，激起学生更强的数学学习的求知欲和兴趣.
参考文献：
［1］ Gravemeijer K，Terwel J．Hans Freudenthla：a Mathemaitcianon Didactics and Curriculum Theory［J］．Journal of Curriculum Studies，2000，32(6)：777-796．
［2］ 张国祥.数学化与数学现实思想［J］.数学教育学报,2005,(2):35-36．
［3］ Koeno Gravemeijer.How to support reform in mathematics education［J］.Proceedings of the ICM 2002 satellite conference on the reform of mathematics curriculum and its education in the 21st century［M］.重庆：重庆出版社.2004.11：128．
［4］ 孙晓天.现实数学教育的思想基础及其基本概念［J］.学科教育,1995,(9):16-19．
［5］ H.Freudenthal.Why To Teaeh Mathematics So As To Be Useful［J］，Educational Studies Mathematics,1968: 3-8．
［6］ 弗赖登塔尔著.陈昌平,唐瑞芬译.作为教育任务的数学［M］.上海:上海教育出版社,1995. 4．
［7］ 唐瑞芬,朱成杰.数学教学理论选讲［M］.上海：华东师范大学出版社,2001．23．
［8］ Van Den Heuvel-Panhuizen M.Mathematics Education in the Netherlands: A Guided Tour ［M］.Utrecht: Utrecht University. 2000．5.
［9］ 陈艳斌.RME教育思想与教学模式的研究［D］.昆明：云南师范大学，2006．28-29．
［10］ 王尚志.数学教学研究与案例［M］.北京：高等教育出版社，2006．389-398.
［11］ 中华人民共和国教育部制订.全日制义务教育数学课程标准（实验稿）［S］.北京：北京师范大学出版社,2001．2．
作者简介：孙雪梅，女，1970年生,云南大关县人，副教授,公共数学与教材教法教研室主任. 云南师范大学硕士，学科教学论（数学）方向. 曾评为曲靖市中等职业学校第二批市级文化基础学科（数学）带头人、云南省中等职业学校省级文化基础学科（数学）带头人.有多篇论文发表，荣获过第四次“全国优秀职教文章”评选一等奖.
弗赖登塔尔(Hans Freudenthal，1905—1990)提出 “数学应该被看成是人类的一种活动”的教育理念，以及他的“数学必须联系现实，必须贴近孩子，必须与社会相联系；数学教育的重点不是让学习者在一个封闭的系统中处理数学，而是让他们在一种数学化的过程中学习数学，这个“数学化”的过程必须是由学习者自己主动完成的，而不是任何外界强加的[1]”等“数学现实教育”思想对数学课程理论、教学方法，以及大众数学的主张产生了影响深远.
RME (Realistic Mathematics Education)（即现实数学教育）思想产生于以荷兰数学教育家弗赖登塔尔为代表的荷兰数学教育研究，它是对上世纪60年代美国“新数学”运动和荷兰“机械数学教育”的挑战.
1 RME（现实数学教育）思想的基本内涵
RME是自1971年以来荷兰弗赖登塔尔所研究、倡导和推行的一种开创性的数学教与学的途径，被广泛地视为弗赖登塔尔Institute的标志.RME的基本观点是，认为从学生经验上看来，真实的数学活动是可以促进学生有意义学习的.学生在学习的过程中，通过探究、建构性活动和对话交流等一系列数学化了的活动来自主学习数学知识，获得数学理解[1].
从上世纪60年代末开始的现实数学教育改革，经过近四十年的发展，RME已形成了结构完整、内涵丰富的思想体系.对它的思想体系的把握，应弄清RME中的“现实”和“数学化”这两个重要概念.
1．1 现实（Realistic）
弗莱登塔尔主认为“现实”就意味着获得数学常识的经历是现实的，每个人都要在真实的过程中逐渐积累数学知识[3].
RME中的“现实”的涵义是：首先，RME强调要给学生提供他们自己可以想象的现实问题情境.这就意味着问题的内容可以是来自于现实世界的.
其次，RME中所涉及的现实，不仅包括与现实世界相联系的一些问题情境，还包括那些成为常识的数学知识，即“数学现实”.“现实”不一定限于具体的事物，作为属于这个现实世界的数学本身，也是“现实”的一部分.每个人也都有自己所接触到的特定的“数学现实”.
最后，“现实”一词还意味着学生获得数学知识的经历是真实的.每一位学生都亲身经历、参与了知识获得的全过程，他们有自己独特的感受和体会，有自己的付出和收获，更有同伴间的交流和帮助.这些经历都是真实存在的，是学生们的知识、技能、情感发展的真实反映.
由此，“现实”表达了RME的如下特征[4]：①现实数学教育是现实（realizing）的，即现实数学教育与学生熟悉的生活密切相关，学生通过自己熟悉的生活来学习数学，作为教育内容的数学和现实生活中的数学始终紧密的联系在一起.这一点体现出了现实数学教育内容的“现实性”.②现实数学教育是实现（realized）的，即现实数学教育与数学的“再创造”紧密相连，学生所学的数学知识不是教师课堂灌输的现成数学成果，而是在教师引导下由学生自己发现和得出的结论.这一点体现出了现实数学教育过程的“实现性”.
1．2 数学化(Mathematizing)
数学化是数学教育的主题[5]，现实数学教育是关于数学再发现的教育.这里的“再发现”就是数学化.所以，现实数学教育也可称为是关于如何实现数学化的教育，数学化是现实数学教育思想体系中最重要的概念.
弗赖登塔尔认为，人们运用数学的方法观察现实世界，分析研究各种具体的现象，并加以整理组织，这个过程就是数学化.简单地说，数学地组织现实世界的过程就是数学化[7].
一般来说，数学化是一种由现实问题到数学问题，由具体问题到抽象概念的认识转化活动，是人类发现活动在数学领域里的具体表现[8].RME中所说的数学化，泛指学习者从一个具体的情境问题开始，到得出一个抽象数学概念的教育全过程.这个过程中，就包括运用数学的知识、数学的语言和数学的方法去处理现实材料[4].
数学化分为两个层次：水平数学化和垂直数学化.水平数学化是指由现实问题到数学问题的转化，是把情境问题表述为数学问题的过程.大体包括以下内容：确定情境问题中包含的数学成分；建立数学成分与已知的数学模型之间的联系；通过不同的方法使这些数学成分形象化和公式化；找出蕴涵在其中的关系和规则；考虑相同数学成分在不同情境问题中的表现；做出形式化的表述等.水平数学化是发现情境问题中的数学成分，并对这些成分作符号化处理的数学化过程，是从生活世界到符号世界的转化过程.经过水平数学化，现实问题变成了数学问题.垂直数学化随之出现，它是从具体问题到抽象概念的转化，是建立数学问题与数学系统之间关系的过程.垂直数学化大体包括以下内容：用公式表示关系；对规则做出证明；尝试运用不同的数学模型；对数学模型进行调整和加工；考虑不同数学模型的结合和形成统一的新模型；对得到的新数学概念做出公式化的精确表述；对问题一般化和推广等.垂直数学化是在数学的范畴内对已经符号化了的问题作进一步的抽象化处理的数学化过程，是从“符号”到“概念”的转化[4].
因此，水平数学化包括从现实世界到符号世界的过程；而垂直数学化就是符号世界中的活动，即水平数学化让学生从生活世界走进符号世界，垂直数学化让符号语言得以在数学范畴中塑造、被塑造，以及被操作等.
2 RME教学模式
在RME教学思想指导之下有三种教学方式[3]：（1）通过渐进式的数学化引导再创造（Guided Reinvention Through Progressive Mathematizing）；（2）教学的现象学分析（Didactical Phenomenology Analysis）；（3）即时建模（Emergent Models/Emergent Modeling）.“通过渐进式的数学化引导再创造”，就是说学生数学学习的过程实际上就是学生“再创造”数学概念、性质、定理的过程.在这个过程中，教师的作用是要对学生的再发现过程进行有利的引导.“教学的现象学分析”重在于讨论学生数学学习的起点——现实情境问题的有效创设.而“即时建模”则是讨论如何有效地使数学理解、数学思维从情境层次向更高层次发展的一种教学行为.
根据RME的思想，结合三种教学方式的内涵，可以得到一个基本教学模式[9]（见图1）：
图1 RME教学模式示意图
其中的数学化过程是渐进的，有四个层次[2].
第一个层次是情境层次（situation level）.这个层次跟问题情境相关，它针对某一专题，促使知识能在情境中运用.学生在这一层次的活动主要是从背景信息中找出符合的条件，思考怎样解决问题.
第二个层次是指涉层次（referential level/model of）.这个层次涉及利用具体的数学模型（或者是数学式子）去代表特定的数学对象，所用到的数学模型和策略必须指涉问题所衍生的情境.
第三个层次是普遍层次（general level/model for）.这是一种过渡性层次，主要是使用具有普遍意义的数学模型去分析蕴含的关系.这时模型的建立不再依赖背景环境，而是单纯地从数量关系中寻找数学关系.
第四个层次，也是理解的最高层次，称为形式层次（formal level）.这个层次允许学习者进行纯粹思维、反思及欣赏活动，这是因为数学对象已经引用在数学范畴内规范化的步骤和符号进行表述和操作的缘故.
不同的数学化层次，从本质上来说就是从寻求非正式的、与问题情境相联系的结论到一定程度的系统化，再到对隐藏在问题情境背后的一般性原理的深层次的理解，以及能够透过部分获得对整体的把握等等.
数学化层次的变化，体现出的是数学化的变化过程（见图2）.学生思维在情境层次、指涉层次的活动，主要体现了其水平数学化，这是一个由现实世界到符号世界的过程.学生的行为处于“领受”阶段；在符号世界中的活动，即垂直数学化，主要涉及思维的普遍层次和形式层次.学生逐渐深入知识的内部，领会知识的内涵及发现知识生成的初步或基本的规律，拓展知识，即为“领悟”阶段；处于形式层次的思维活动，学生对知识进行反思、扩展和欣赏，运用知识解决其他问题，发展了知识的迁移，达到“提升”阶段.
图2 RME教学中的数学化层次示意图
3 RME教学案例
案例[10]：初中课题学习——打包问题.
教学过程：（1）创设情景，提出问题
现实情景：有些商品是若干件被装在一起按包销售的，例如一包火柴中装有10盒火柴、一大包纸巾中装有10小包纸巾、一条香烟中装有10包香烟等.不同商品的打包形式常常不同，请同学们收集一些这样的商品，先看其外观，再打开包装看内部的摆放形式.它们打包后的外包装形式一样吗？哪一种包装形式更能节省外包装材料呢？
为了讨论方便，先定义一种“规则打包”法：打包时要求包内相邻两物体必须全等的侧面对接，打包后是一长方体.
更数学化地提问：
问题1 火柴、香烟或其他长方体的物品，按“规则打包”的方法将10包打成一大包，打成一个大包，怎样打包可使表面积最小？请以10包香烟（88mm×58mm×22mm）来进行讨论.
（2）活动探究，解决问题
学生用实物进行摆放，找出解决问题的方案：对各种可能的打包方式由具体数据算出面积，再从中挑出最小的，它对应的打包方式就是我们所要的.
活动1 根据方案，第一个要解决的问题是，按照规则打包，到底有几种不同的摆放方式.这是问题的难点和关键所在.
通过实物操作活动，学生寻找不同的打包方式.但是很多学生不能找到所有的打包方式.
教师引导学生数学地思考：10的分解因数只有两种：10＝1×10和10= 2×5.先就1×10的打包方式来看，一个烟盒有三个大小不同的面，把它们分别标记为x、y、z，且x>y>z.只有三个方向可以1×10，由此对应三种打包方式（见图3（1）~（3））；而对于 2×5 型的打包方式中，“2”的方式就有三种，对于其中的每一种，“乘5”的方式还有两种，故有六种打包方式（见图3（4）~（6））.因此10包香烟按规则打包共有九种打包方式.
活动2 先让学生进行直观估算，哪些表面积一定大，又不美观，哪些表面积会较小.然后再让学生根据具体数据算出各种打包方式的表面积.
1×10型： S1=2x+20y+20z
=74448mm2
S2=20x+2y+20z=131872mm2
S3=20x+20y+2z=144152mm2
2×5型：
S4=10x+4y+20z
=84304mm2
S5=4x+20y+10z
=94864mm2
S6=4x+10y+20z
=65296mm2
S7=20x+10y+4z=126544mm2
S8=20x+4y+10z=122584mm2
S9=10x+20y+4z= 71896mm2
对这九种打包方式的表面积进行比较，可知打包方式（6）是表面积最小的.
（3）探究讨论，发展问题
问题2 如果不给出长方形三条边a、b、c的具体数据，只给出a≥b≥c，你能否知道哪一种打包方式的表面积最小？
令x=ab,y=ac,z=bc，则有x≥y≥z，所以x的正系数越小面积就越小.说明面积大的面被对接的越多，面积被抵消的也越多，打包后的表面积就越小. 所以不给出具体的数据，也能知道哪种打包方式的表面积小.
问题3 是否方式（6）一定是表面积最小的？
引导学生进行比较，方式（1）～（3）中，方式（1）最省；方式（4）～（9）中，方式（6）最省.
而S1-S6 =10ac-2ab=2a(5c-b)，
故当5c-b>0，方式（6）省.当5c-b<0时，方式（1）省.
问题4 香烟的真正包装方式是方式（4），并非方式（6），为什么？
因为香烟打包要考虑从长方形纸上下料，剩料最少；
表面积最小的打包形式不一定是美观和实用的，方式（4）更便于携带；
打包的表面积最小和最省包装并不完全一致；
……
（4）课外研究，应用拓展：
①根据上面的结果，给出十包以下的物品打包后，具有最小面积的打包形式.
火柴：a=46mm, b=36mm,c=16mm
书本：a=183mm, b=129mm,c=20mm
②将6包香烟打成一包，表面积不同的打包方式有几种？其中表面积最小的打包方式是怎样的？
③选做：将上题中的6包改成12包或8包，结果怎样？有没有一个更一般的处理这类问题的程序？
④选做：你能设计一个新的打包问题吗？由打包问题你还能联想到哪些相关问题？你有解决这些问题的想法或方案吗？
教学评析
首先，这个教学案例，在教学设计上体现了RME的教学模式.
创设现实情境，让学生思考一个实际问题，然后通过学生的探究活动和教师的引导，把数学知识应用于问题解决，获得了对问题的非正规性和正规性解答.并在解决问题的基础上进行推广、深化，让学生不仅会解决这一问题，而且会对更一般的问题建立数学模型，分不同情况讨论结果.
其次，这个教学设计体现出了RME思想.在解决问题的过程中，学生的数学思维发生了不同层次的变化.
情境层次.教师提出一个问题：火柴、香烟或其他长方体的物品，按“规则打包”的方法将10包打成一大包，打成一个大包，怎样打包可使表面积最小？这个情境问题来源于真实情境.学生在这个真实情境中活动，通过摆放实物的活动来寻找求解的方案.
指涉层次.根据学生在寻找打包方式时的分类混乱，出现少找或多找了打包方式的情况.教师进一步引导学生数学地思考：10的分解因数只有两种：10＝1×10和10= 2×5.由此对10包香烟打成一包所有可能的打包形式作简明透彻的分析，然后再通过估算和计算，就很容易地解决了问题1.
普遍层次.接着教师又提出问题2和问题3，将问题的条件一般化，使结果有更好的适应性.这样既把前面的讨论推广到一般，让学生学会建立数学模型，又使学生学会多角度分析、考虑问题，从而使学生的认识产生了一个飞跃.
形式层次.一方面，数学建模结果不一定和实际情况吻合.通过问题4，引导学生进一步进行反思. 另一方面，再通过课后作业，这四道题有对知识的巩固训练，也有对该问题的深化和拓展.使学生在数学范畴内，可利用形式化的数学方法解决各种相似甚至是相反的情境问题.比如第④题，同学会提出把长方体的包改成正方体、圆柱体的包（如饮料罐的打包问题），改变打包形式的打包问题，甚至提出打包问题的反问题：给定大包的尺寸，最多能放多少个小包？（如集装箱问题）等.
4 RME对数学教育的启示
作为一种新型的数学教育方式，RME是具有启发性的.
（1）对改进数学教学方式的促进作用
传统的数学教学是一种自上而下的教学，它从“具体的数学知识”或“现成的数学结论”出发，教给学生数学的“现成结果”，教师在这一过程中处于主导地位；而RME教学是一种自下而上的教学，它从“现实情境问题”出发，要学生自己通过对现实情境问题的解决去“再创造”数学的这些结果，教师仅仅起着引导的作用.
教师在设计数学教学过程时，首先要明确这节课的教学内容，并且结合学生的学习实际情况，预测学生的数学现实.在数学现实的指导下，创设合宜的现实情境问题，将所要讨论和学习的数学知识融于现实情境问题之中.在解决问题的过程中，学生不断地进行数学活动，其中就包括对问题的非正规性解答和正规性解答.教师处于一个引导者的角色，促进学生数学化过程的顺利过渡.最终学生在亲自参与的数学活动过程中获得感受和体验，最后又将这些感受和体验上升为新的数学现实.在学习的过程中，要注重水平数学化和垂直数学化的过程.低理解水平层次上的数学化，可以成为较高理解水平层次上探究的敲门砖.高理解水平的活动是低理解水平积累和反思的结果.这意味着，一开始以非正规的方式所进行的活动，后来经过反思以及作为反思的结果，会变得越来越正规了.学生一旦较好地经历了这两个过程，理解了在这些过程中思维的发展变化，那么将有利于学生的数学现实就不断增加，他们数学能力也会得到提高.（2）对数学课程改革的指导性作用
《数学课程标准》提出了“大众数学”的教育目标：“人人学有价值的数学、人人都能获得必需的数学、不同的人在数学上得到不同的发展”.对于学生的数学学习的内容，则应当是“现实的”、“有意义的”、“富有挑战性的”，内容要“有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流”.学生的“学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程”、“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式.” [11]由此可见，我国正在进行的新一轮的数学课程改革，与RME的教育思想有相似之处.对RME教学思想的理解，将有利于教师角色的转变，有利于教师对新教材的理解、处理和把握.
特别是在中学的数学教学中，RME思想和教学模式为教师如何设计教学过程、怎样体现学生学习主体性提供了帮助.RME教学模式中“现实情境问题”的运用，架起了现实世界与抽象世界之间的桥梁，不但能激发学生的学习积极性，更让学生明白数学学习的意义和作用.教师在分析教材和进行教学设计时，要注意将数学知识与现实相联系，体现数学的工具性.学生学习数学的过程是一个数学化的过程，其中要有充分的活动和交流，自己的体验和感受也是学习的一部分.通过学习过程中的活动，能使学生运用数学工具来解决现实问题，从而发展自己的数学知识，增强数学学习的体验，激起学生更强的数学学习的求知欲和兴趣.
参考文献：
［1］ Gravemeijer K，Terwel J．Hans Freudenthla：a Mathemaitcianon Didactics and Curriculum Theory［J］．Journal of Curriculum Studies，2000，32(6)：777-796．
［2］ 张国祥.数学化与数学现实思想［J］.数学教育学报,2005,(2):35-36．
［3］ Koeno Gravemeijer.How to support reform in mathematics education［J］.Proceedings of the ICM 2002 satellite conference on the reform of mathematics curriculum and its education in the 21st century［M］.重庆：重庆出版社.2004.11：128．
［4］ 孙晓天.现实数学教育的思想基础及其基本概念［J］.学科教育,1995,(9):16-19．
［5］ H.Freudenthal.Why To Teaeh Mathematics So As To Be Useful［J］，Educational Studies Mathematics,1968: 3-8．
［6］ 弗赖登塔尔著.陈昌平,唐瑞芬译.作为教育任务的数学［M］.上海:上海教育出版社,1995. 4．
［7］ 唐瑞芬,朱成杰.数学教学理论选讲［M］.上海：华东师范大学出版社,2001．23．
［8］ Van Den Heuvel-Panhuizen M.Mathematics Education in the Netherlands: A Guided Tour ［M］.Utrecht: Utrecht University. 2000．5.
［9］ 陈艳斌.RME教育思想与教学模式的研究［D］.昆明：云南师范大学，2006．28-29．
［10］ 王尚志.数学教学研究与案例［M］.北京：高等教育出版社，2006．389-398.
［11］ 中华人民共和国教育部制订.全日制义务教育数学课程标准（实验稿）［S］.北京：北京师范大学出版社,2001．2．
作者简介：孙雪梅，女，1970年生,云南大关县人，副教授,公共数学与教材教法教研室主任. 云南师范大学硕士，学科教学论（数学）方向. 曾评为曲靖市中等职业学校第二批市级文化基础学科（数学）带头人、云南省中等职业学校省级文化基础学科（数学）带头人.有多篇论文发表，荣获过第四次“全国优秀职教文章”评选一等奖.