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江苏高考题是以圆的方程、直线与圆的位置关系为核心内容来渗透解析几何研究方法的,导数与切线、向量与解三角形、线性规划等内容也很容易与解几结合成灵活多变的题型,本文结合高三教学的实践,对解几复习提出以下建议:
1.重视从不同角度理解数学的基本概念
深刻理解数学语言、数学元素之间的转化是学习解几必须重视的问题,以直线和圆的位置关系为例,“相交”可理解为(1)直线过圆内一点;(2)圆心到直线距离小于半径;(3)Δ>0.不同的理解直接影响到推理及相关的运算过程.
例1 圆C:(x-1)2+(y-2)2=25与直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m=4的关系为 ?
解析:比较圆心到直线距离d与半径,或者比较Δ与0的大小将陷入繁琐计算.考察l方程可变形为(x+y-4)+m(2x+y-7)=0,故恒过x+y-4=0与2x+y-7=0的交点A(3,1),点A在圆C内,与圆C相交.
[变式]
例2 直线l:x+y=9上动点A(a,b),
圆M:2x2+2y2-8x-8y-1=0,作△ABC使直线AB过圆心M且∠BAC=45°.
(1)判断l与⊙M的关系;
(2)当a变化时,若B、C点始终在⊙M上,求a范围.
解析:(1)⊙M :(x-2)2+(y-2)2=(342)2
M到l 的距离:d=52>r=342∴相离
(2)理解“C点始终在⊙M上”即“直线AC与⊙M相交或者相切”是解决本题的关键,但机械运用d=|Ax0+By0+C|A2+B2或Δ,由于直线AC方程至少需用a、b、k三者表示故仍然无法求解.只有充分结合图形,在弦心距d与AM构成的直角三角形中,d=|AM|sin45°≤342
∴AM≤17即(a-2)2+(9-a-2)2≤17∴a∈[3,6]
由文字语言或数学符号表述分析图形并挖掘其隐藏条件,是解几训练的重要能力之一,这需要对曲线方程的结构和形式透彻理解,对曲线的性质运用自如,又如:
例3 x2-y29=1右支上动点P(a,b),如果|3a+b|+|3a-b|=6,则a=
解析:研究曲线常常优先考虑其特征性质,本题“右支上动点P”在图形上体现为“P在渐近线y=3x下方而且在渐近线y=-3x上方”,由此P在A(a,3a)下方而且在点B(a,-3a)上方——这实质上借用了“线性规划”的思考方法,-3a 例4 a>0,圆C过点A(0,a)且在x轴上截得弦长MN=2a,(1)求圆心C轨迹方程;(2)求t=AMAN+ANAM的最大值.
解析:作出图形,(1)设C(x,y)为轨迹上任一点,MN为圆的弦∴MN=2a=2R2-y2,a2=CA2-y2化简得x2=2ay为所求.
(2)转换角度理解AM、AN为面积确定的△AMN的边长,由此考察三角形边、角关系——解三角形:设AM=m,AN=n,t=AMAN+ANAM=m2+n2mn,又面积S=a2=12mn•sinθ(θ为∠MAN)
cosθ=m2+n2-MN22mn=t2-2a2mn=t2-sinθ,∴t=2(sinθ+cosθ)=22sin(θ+π4)∴tmax=22
尽可能视两点间距离为一个整体量可避免两点间距离公式的坐标繁琐表述与运算,这是数学“整体换元”思想的具体应用,将MN既看成圆的“弦长”又视为“三角形的边”,反映了对同一个几何量的不同思维角度的理解.
2.函数——方程思想是解析几何的重点.
2.1.定点和公共弦问题
解几中的“曲线方程f(x,y)=0”反映动点坐标中x与y的关系,这事实上是函数概念的延伸;曲线上的点满足其方程,由此,曲线f(x,y)=0与g(x,y)=0的交点必在f(x,y)+λ•g(x,y)=0上,上述例1隐含的这一结论可使“过定点”或“求交点弦”等问题得到快捷的解决,还可以解决相交圆的公共弦及内切两圆的公切线问题.
例5 过P(4,2)作圆O:x2+y2=10的两切线,求切点A和B连线的直线方程.
分析:只想到“求切线方程——求切点——求直线AB”反映缺乏数形结合的应用意识,“圆——直角三角形”相互联系是初中平面几何的重点内容,直线AB→“圆O与以OP为直径的圆的公共弦”是本题重要的转化思想.
∵OA⊥PA,OB⊥PB∴O、A、P、B四点共圆:(x-2)2+(y-1)2=5;点A、B必满足(x-2)2+(y-1)2-5+λ(x2+y2-10)=0,对直线AB只要λ=-1∴2x+y=5为所求.
2008江苏高考第18题将函数零点、圆的方程、定点问题巧妙结合在一起,计算量不大,对概念与方法的涵盖面宽.2009年江苏高考第18题侧重考查了圆的弦长公式2R2-d2及“点到直线距离公式”、待定系数法.强化基本技能是不可忽视的训练环节.
2.2.韦达定理的应用.
分析图形探求曲线方程,通过方程研究曲线性质——以代数方法解决几何问题,这是解析几何最重要的思想;将直线与二次曲线的位置关系转化为二次方程问题,这历来是高考解几的重点,2009江苏理科附加卷侧重考查了这一内容.这部分内容的一个难点是“直线上两线段的长度比”相关题型.
例6 过点O的直线l交c:y=(x-1)2+1于P、Q两点,OM=λ•OP(λ>0)且2OM=1OP+1OQ,求动点M轨迹方程.
分析:本题可结合多方面知识思考,但首先必须明白OM=λ•OP(λ>0)的几何含义是“M、P、O共线且M、Q、P在y轴同侧”,设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x,y)
思路一:由弦长公式得2OM=21+k2|x-0|=11+k2|x1-0|+11+k2|x2-0|;
由x、x1及x2同号∴2x=1x1+1x2=x1+x2x1x2②
思路二:过P、Q、M分别作x轴垂线,垂足P1、Q1、M1,由RtΔOPP1∽RtΔOQQ1∽RtΔOMM1,OMOP+OMOQ=OM1OP1+OM1OQ1=2∴OMOP+OMOQ=xx1+xx2=2
思路三:OM=λ•OP∴OMOP=λ,(x,y)=λ•(x1,y1)∴λ=xx1=OMOP,同理可得xx2=OMOQ∴OMOP+OMOQ=xx1+xx2=2
对于①式, 设l:y=kx代入y=(x-1)2+1得x2-(k+2)x+2=0,运用韦达定理可得到2x=k+22,注意Δ>0,|2x|=|k+22|>2∴|x|<2;又y=kx,消去k,y=-2x+4(|x|<2,x≠0)即为所求.
这类问题中“直线与二次曲线相交于两点”常常被忽略,本题除Δ>0,结合图形仍有“k必存在,k≠0”,因而x≠0;再如“x2-y22=1能否有以P(1,1)为中点的弦”这一高考题,大部分同学都会知道用“点差法”求出弦所在直线为y=2x-1,事实上,因为代入后Δ<0,这样的弦并不存在.
3.联系的观念是拓开解几思路的有效途径
整合数学知识形成能力是高三学习的最终目标,如上所述,例5反映了直角三角形与圆的有机联系, 例6可理解为线段的长度比与直角三角形的相似比及共线向量的坐标比密切相关.再如:
例7 A(0,2),B(2,0),O(0,0),BC=(2cosα,2sinα),则向量OA与OC的夹角θ的取值范围是
分析:机械地运用向量的夹角公式会得到cosθ=2sinα6+42cosα,导致思维受阻.本题正确的思路是向量坐标的原始含义:c=(x,y)即将c平移至OC时C点的坐标为(x,y),由此c总与唯一的点C对应;A为定点,C在何处呢——C的轨迹是什么?
设OC=(x,y)=OB+BC=(2+2cosα,2sinα)∴C在圆(x-2)2+y2=2上,运用圆的切线得θ∈[π4,3π4].
[变式](1)a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),β=α+7π6则a与a+b的夹角为5π12.(设a=OA则A在α终边上,同理b=OB,则B在β终边上,a+b为菱形对角线)
[拓展](2)椭圆x24+y23=1上动点P、Q满足OP•OQ=0则1OP2+1OQ2= ?
分析:三角函数的原始定义是解决本题的最佳方法.设以OP为终边的角θ,OP=r,则P(rcosθ,rsinθ)代入椭圆方程,∴1r2=cos2θ4+sin2θ3;不妨设OP到OQ逆时针旋转,同理1OQ2=cos2(θ+900)4+sin2(θ+900)3
∴1OP2+1OQ2=712
解几中相互联系的知识还有导数与切线斜率、曲线的上下位置关系与二元不等式及线性规划等,而向量与点的轨迹、解几与解三角形结合的题型近年在各地试卷中频繁出现.
例8 椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上存在P点对焦点F1和F2的张角为900,求离心率e的最小值.
解:设∠PF1F2=α,e=2c2a=F1F2PF1+PF2=2Rsin9002R(sinα+cosα)=12sin(α+450),
∴emin=22.本题也可用勾股定理得4c2=(PF1+PF2)2-2PF1•PF2 ∴2b2=PF1•PF2≤PF21+PF222=2c2从而a2≤2c2;或用“圆x2+y2=c2与椭圆有交点”解之但明显计算量偏大.例7及例8都体现了“视长度为整体量”的基本思想,更体现了数学的“技能”其实源于基础知识.
(作者:吉冬林,吕鹤山,江苏省邗江中学,高邮市第一中学)
1.重视从不同角度理解数学的基本概念
深刻理解数学语言、数学元素之间的转化是学习解几必须重视的问题,以直线和圆的位置关系为例,“相交”可理解为(1)直线过圆内一点;(2)圆心到直线距离小于半径;(3)Δ>0.不同的理解直接影响到推理及相关的运算过程.
例1 圆C:(x-1)2+(y-2)2=25与直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m=4的关系为 ?
解析:比较圆心到直线距离d与半径,或者比较Δ与0的大小将陷入繁琐计算.考察l方程可变形为(x+y-4)+m(2x+y-7)=0,故恒过x+y-4=0与2x+y-7=0的交点A(3,1),点A在圆C内,与圆C相交.
[变式]
例2 直线l:x+y=9上动点A(a,b),
圆M:2x2+2y2-8x-8y-1=0,作△ABC使直线AB过圆心M且∠BAC=45°.
(1)判断l与⊙M的关系;
(2)当a变化时,若B、C点始终在⊙M上,求a范围.
解析:(1)⊙M :(x-2)2+(y-2)2=(342)2
M到l 的距离:d=52>r=342∴相离
(2)理解“C点始终在⊙M上”即“直线AC与⊙M相交或者相切”是解决本题的关键,但机械运用d=|Ax0+By0+C|A2+B2或Δ,由于直线AC方程至少需用a、b、k三者表示故仍然无法求解.只有充分结合图形,在弦心距d与AM构成的直角三角形中,d=|AM|sin45°≤342
∴AM≤17即(a-2)2+(9-a-2)2≤17∴a∈[3,6]
由文字语言或数学符号表述分析图形并挖掘其隐藏条件,是解几训练的重要能力之一,这需要对曲线方程的结构和形式透彻理解,对曲线的性质运用自如,又如:
例3 x2-y29=1右支上动点P(a,b),如果|3a+b|+|3a-b|=6,则a=
解析:研究曲线常常优先考虑其特征性质,本题“右支上动点P”在图形上体现为“P在渐近线y=3x下方而且在渐近线y=-3x上方”,由此P在A(a,3a)下方而且在点B(a,-3a)上方——这实质上借用了“线性规划”的思考方法,-3a
解析:作出图形,(1)设C(x,y)为轨迹上任一点,MN为圆的弦∴MN=2a=2R2-y2,a2=CA2-y2化简得x2=2ay为所求.
(2)转换角度理解AM、AN为面积确定的△AMN的边长,由此考察三角形边、角关系——解三角形:设AM=m,AN=n,t=AMAN+ANAM=m2+n2mn,又面积S=a2=12mn•sinθ(θ为∠MAN)
cosθ=m2+n2-MN22mn=t2-2a2mn=t2-sinθ,∴t=2(sinθ+cosθ)=22sin(θ+π4)∴tmax=22
尽可能视两点间距离为一个整体量可避免两点间距离公式的坐标繁琐表述与运算,这是数学“整体换元”思想的具体应用,将MN既看成圆的“弦长”又视为“三角形的边”,反映了对同一个几何量的不同思维角度的理解.
2.函数——方程思想是解析几何的重点.
2.1.定点和公共弦问题
解几中的“曲线方程f(x,y)=0”反映动点坐标中x与y的关系,这事实上是函数概念的延伸;曲线上的点满足其方程,由此,曲线f(x,y)=0与g(x,y)=0的交点必在f(x,y)+λ•g(x,y)=0上,上述例1隐含的这一结论可使“过定点”或“求交点弦”等问题得到快捷的解决,还可以解决相交圆的公共弦及内切两圆的公切线问题.
例5 过P(4,2)作圆O:x2+y2=10的两切线,求切点A和B连线的直线方程.
分析:只想到“求切线方程——求切点——求直线AB”反映缺乏数形结合的应用意识,“圆——直角三角形”相互联系是初中平面几何的重点内容,直线AB→“圆O与以OP为直径的圆的公共弦”是本题重要的转化思想.
∵OA⊥PA,OB⊥PB∴O、A、P、B四点共圆:(x-2)2+(y-1)2=5;点A、B必满足(x-2)2+(y-1)2-5+λ(x2+y2-10)=0,对直线AB只要λ=-1∴2x+y=5为所求.
2008江苏高考第18题将函数零点、圆的方程、定点问题巧妙结合在一起,计算量不大,对概念与方法的涵盖面宽.2009年江苏高考第18题侧重考查了圆的弦长公式2R2-d2及“点到直线距离公式”、待定系数法.强化基本技能是不可忽视的训练环节.
2.2.韦达定理的应用.
分析图形探求曲线方程,通过方程研究曲线性质——以代数方法解决几何问题,这是解析几何最重要的思想;将直线与二次曲线的位置关系转化为二次方程问题,这历来是高考解几的重点,2009江苏理科附加卷侧重考查了这一内容.这部分内容的一个难点是“直线上两线段的长度比”相关题型.
例6 过点O的直线l交c:y=(x-1)2+1于P、Q两点,OM=λ•OP(λ>0)且2OM=1OP+1OQ,求动点M轨迹方程.
分析:本题可结合多方面知识思考,但首先必须明白OM=λ•OP(λ>0)的几何含义是“M、P、O共线且M、Q、P在y轴同侧”,设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x,y)
思路一:由弦长公式得2OM=21+k2|x-0|=11+k2|x1-0|+11+k2|x2-0|;
由x、x1及x2同号∴2x=1x1+1x2=x1+x2x1x2②
思路二:过P、Q、M分别作x轴垂线,垂足P1、Q1、M1,由RtΔOPP1∽RtΔOQQ1∽RtΔOMM1,OMOP+OMOQ=OM1OP1+OM1OQ1=2∴OMOP+OMOQ=xx1+xx2=2
思路三:OM=λ•OP∴OMOP=λ,(x,y)=λ•(x1,y1)∴λ=xx1=OMOP,同理可得xx2=OMOQ∴OMOP+OMOQ=xx1+xx2=2
对于①式, 设l:y=kx代入y=(x-1)2+1得x2-(k+2)x+2=0,运用韦达定理可得到2x=k+22,注意Δ>0,|2x|=|k+22|>2∴|x|<2;又y=kx,消去k,y=-2x+4(|x|<2,x≠0)即为所求.
这类问题中“直线与二次曲线相交于两点”常常被忽略,本题除Δ>0,结合图形仍有“k必存在,k≠0”,因而x≠0;再如“x2-y22=1能否有以P(1,1)为中点的弦”这一高考题,大部分同学都会知道用“点差法”求出弦所在直线为y=2x-1,事实上,因为代入后Δ<0,这样的弦并不存在.
3.联系的观念是拓开解几思路的有效途径
整合数学知识形成能力是高三学习的最终目标,如上所述,例5反映了直角三角形与圆的有机联系, 例6可理解为线段的长度比与直角三角形的相似比及共线向量的坐标比密切相关.再如:
例7 A(0,2),B(2,0),O(0,0),BC=(2cosα,2sinα),则向量OA与OC的夹角θ的取值范围是
分析:机械地运用向量的夹角公式会得到cosθ=2sinα6+42cosα,导致思维受阻.本题正确的思路是向量坐标的原始含义:c=(x,y)即将c平移至OC时C点的坐标为(x,y),由此c总与唯一的点C对应;A为定点,C在何处呢——C的轨迹是什么?
设OC=(x,y)=OB+BC=(2+2cosα,2sinα)∴C在圆(x-2)2+y2=2上,运用圆的切线得θ∈[π4,3π4].
[变式](1)a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),β=α+7π6则a与a+b的夹角为5π12.(设a=OA则A在α终边上,同理b=OB,则B在β终边上,a+b为菱形对角线)
[拓展](2)椭圆x24+y23=1上动点P、Q满足OP•OQ=0则1OP2+1OQ2= ?
分析:三角函数的原始定义是解决本题的最佳方法.设以OP为终边的角θ,OP=r,则P(rcosθ,rsinθ)代入椭圆方程,∴1r2=cos2θ4+sin2θ3;不妨设OP到OQ逆时针旋转,同理1OQ2=cos2(θ+900)4+sin2(θ+900)3
∴1OP2+1OQ2=712
解几中相互联系的知识还有导数与切线斜率、曲线的上下位置关系与二元不等式及线性规划等,而向量与点的轨迹、解几与解三角形结合的题型近年在各地试卷中频繁出现.
例8 椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上存在P点对焦点F1和F2的张角为900,求离心率e的最小值.
解:设∠PF1F2=α,e=2c2a=F1F2PF1+PF2=2Rsin9002R(sinα+cosα)=12sin(α+450),
∴emin=22.本题也可用勾股定理得4c2=(PF1+PF2)2-2PF1•PF2 ∴2b2=PF1•PF2≤PF21+PF222=2c2从而a2≤2c2;或用“圆x2+y2=c2与椭圆有交点”解之但明显计算量偏大.例7及例8都体现了“视长度为整体量”的基本思想,更体现了数学的“技能”其实源于基础知识.
(作者:吉冬林,吕鹤山,江苏省邗江中学,高邮市第一中学)