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【摘要】义务教育课程标准实验教科书初中一年级（七年级）《数学》（华东师范大学出版社）第8章“多边形”是很能体现新课程理念的一章，解构本章，不仅可以使我们深入思考本章的教学技巧，而且可以使我们感悟新课程理念的精微之处。
【关键词】多边形 教材 特点 问题
多边形这一章是在七年级（上）第四章《图形的初步认识》基础上的几何部分的第二章，编排于《二元一次方程组》与《轴对称》之间。它的主要内容是三角形和多边形的有关概念及边角性质。本章教材从内容的选择、呈现的方式、编排的顺序等方面都较好地体现了新课程的理念，继承了数学教育的优良传统，克服了繁难偏旧的弊端，实现了基础性与现代性的统一，很值得我们加以探究，下面从三个方面进行剖析。
一、教材的特点
1、本章由“瓷砖的铺设”导入，接着研究三角形三边、三角之间，外角与内角之间的关系以及多边形的内角和与外角和公式的推导和应用，最后运用三角形和多边形的有关性质探索拼地板的问题。体现了数学来源于实践，又应用于实践的特点；改变了过去从书本到书本，与实践脱节的做法。
2、在教材内容的编排上由简单到复杂；由低层次到高层次；由具体到抽象；再由抽象到具体，符合学生的认知特点与心理发展规律。三角形是边数最少的多边形，也是最简单、最基本的多边形，先研究三角形再研究多边形，符合学生的认知规律；先研究三角形的角，再研究三角形的边，最后研究三角形的有关性质，逐步递进，也完全符合学生的认知特点与身心发展规律。
3、在呈现方式上，改变“结论——例题——练习”的陈述模式，而是采用“问题——探究——发现”的研究模式，并采用多种探究方法，如对“三角形外角性质及外角和”同时采用度量、剪接和数学说理方法；对“三角形的三边关系”采用画图方法；对“三角形的内角和与外角和”采用计算与归纳说理的方法。
4、在直观感知、操作确认的基础上，适当地进行数学说理，将两者有机地结合起来，让学生体验证明的必要性，学会初步说理。
5、渗透计算器的应用，有意识地让学生运用计算器探索多边形的内角和与外角和。体现了基础性与现代性的结合。
6、教材呈现“问题型”，创设了学生自主探索、合作学习的平台。有利于充分发挥学生的学习主动性。
7、关注学生的情感体验，让学生感受到数学的美，认识数学的价值。
8、教材适当穿插了“想一想”、“试一试”、“做一做”等探索性、开放性的练习内容，给学生留下了适当的思考空间，这些练习内容有利于激发学生学习数学的兴趣，扩大知识面，发展思维。
二、新旧教材的对比
新教材指华东师大版，旧教材指人教版，九年义务教育三年制的初级中学教科书。
1、章节安排比较：
新教材
8、1瓷砖的铺设3、1关于三角形的一些概念
8、2三角形 3、2三角形三条边的关系
8、3多边形 3、3三角形的内角和
8、4用多边形拼地板4、2多边形的内角和
2、旧教材主要采用比较单一的陈述模式，而新教材采用了多种探究方法。在旧教材中，三角形的外角的性质是由三角形的内角和定理，通过推理的方式得到的，多边形的内角和与外角和都是经过推理得出结论，然后总结成定理，三边关系定理是直接由“两点之间线段最短”得出。
在新教材中，三角形的外角的性质同时采用了拼图的方法和数学说理的方法。多边形的内角和与外角和采用计算归纳结论的方法，三边关系定理采用画图方法去探究。
新教材多种探究方法的呈现，把学生引导到“问题——探究——发现”研究模式上来，使学生逐渐学会使用多种探究形式，步入研究性学习轨道。
3、旧教材较多地学习“纯数学”的知识，因而推理、论证较多，而新教材更充分地体现了“数学源于实践”、又“应用于实践”的特点，减少了机械的论证要求，新教材§8、1瓷砖的铺设，首先就把学生引向了现实世界，从“身边的数学”展开学习本章的序幕，进而学生跃跃欲试地想探究“身边的数学”，而在学习了多边形的内角和之后，§8、4用正多边形拼地板这小节中，应用前面所学的数学知识，进一步解释“身边的数学”中的奥妙，进而将数学知识应用于实践。
可以说，新教材全章贯穿了“问题——探究——发现”这样的研究模式，§8、1瓷砖的铺设，实际上向我们展示了一个问题：“为什么能铺满地面？”为了探究其中的道理，展开了对相关知识的学习与探索，当我们发现了其中的“奥秘”之后，又应用于实践中去。
4、新教材的“问题型”呈现和习题的探索性与开放性，可以改变学生的学习方式，引导学生自主探索与合作学习，这是新教材最成功之处。
新教材通过“试一试”、“想一想”、“做一做”、“探索”、“概括”等形式，把问题呈现给学生，充分激发学生自主探索兴趣，并互相交流，展示想法，在讨论争辩中找到问题的答案；
新教材的P59、3，P63、14，P64的“课题学习”等内容都非常适合学生自主探索与合作学习，而旧教材中没有类似的“平台”。
5、新教材体现了要使人人都能获得基本数学知识与技能，同时又使不同的人得到不同的发展的精神。在讲明基本概念和观点后，揭示有关材料，尽量把寻求结论任务留给学生，让学生在自主探索的过程中去体验智力劳动的甘苦，激发探索精神，发展创新思维。
6、新旧教材深浅不同，新教材体现了面向全体学生的精神，着眼于素质教育，适当降低了记忆要求，减少了公式数量，淡化了某些概念的严密性，在学生可接受的情况下，由低层次的发展到高层次的综合，不断深化，使学生循序渐进地获得知识。
7、新旧教材多与少不同。新教材与旧教材相比，知识结构层次少了，内容与作业量减少，死记硬背、机械训练的内容少了，但是，要求理解、了解和探索的内容却多了，新教材中类似于“多边形内角和”的内容，要求在教师指导、点拨下让学生自主地探索、理解、归纳，实际上新教材要求学生掌握的方法多了，必须优化课堂结构，以灵活多样的教法，尽量满足多层次学生的学习需求。
8、新教材各章节前都设置一幅醒目的插图，揭示了本章的主要内容，导图与导入语从学生熟知的实例开始，从已有的知识入手，巧妙提出问题，把学生一下子引入正题。教材中间设置了许多插图，帮助学生理解教材，引发学生的学习兴趣，激发学生的求知欲，既有利于学生自学，又是教师组织教学创设情境的好帮手。
9、新教材对师生要求不同。新教材要求课堂中师生互动、合作交流，形成师生平等、和谐、民主的人际关系。教师应尊重学生差异，崇尚个性和主体性，鼓励探索真理。在教师启发、诱导下，学生发现问题、提出疑问。同时对学生提出了更高的要求，学生在拥有发挥个人才智的机会和空间的同时，压力感促使学生主动涉猎知识，在教师创设的良好氛围下，独立思考问题和寻求解决问题的方法，成为“学习的共同体”。
10、新旧教材活动板块不同。新教材增加了“读一读”、“想一想”、“试一试”、“做一做”、“看一看”、“练一练”、“你知道吗”、“探索”、“概括”、“阅读材料”、“课题学习”等等内容。虽然不是教材的正文，却是教材正文的扩展，实际上是给学生一定思考空间，让学生更好地自主学习，有助于扩大知识面，开阔视野，发展学生的智力，激发学生的学习兴趣，同时，又实施了爱国教育、人文精神的教育。因此，教材要求教师在教学时要充分利用教材，同时尽可能补充一些供学生作为探究活动的内容，让学生分组讨论，人人参与观察、猜想、验证、推理与交流的数学活动，培养学生发散思维能力和创新精神，提高应用数学知识解决实际问题的能力，本章§8、4用多边形拼地板就是最好体现。
三、需商榷的问题
1、本章教材是在七年级（上）第4章图形的初步认识的基础上的几何部分的第二章。教材的引入问题，瓷砖的铺设，这个问题提得太多了些。
由于学生已有知识基础认知所限，能否达到激发学生兴趣，让学生解决生活中的数学问题的目的，自然受到怀疑，是否可设置一些较小且具体的，与本章探索更密切的生活中的问题，更能让学生切实地感受到数学的有用！如本章重点讨论三角形与多边形的角的问题，更能让学生切实地感受到数学的有用！但可否在这上面设置激发兴趣的问题？
2、三角形中的动手问题。本套教材讲究体验探索、直观感知、操作、确认，可否在三线问题上加入折纸操作，如中线定义，教材太直接了。
如图，对折AB即得中点D，再折CD得中线，类似作其两边中线，还可看到三条中线是否交于一点。角平分线也可作类似处理：沿点C使AC与BC重合而折，所得折线即为∠C的内角平分线，类似地可作出∠A、∠B的内角平分线，再观察三线是否交于一点。三边的高线也可通过折纸得出。经过这番操作，学生对三线的特征和交于一点的事实有了亲自感受，因而能更好地理解和应用。在三角形内角和、外角和实践中也可添加这样的对折。
3、构成三角形条件问题。构成三角形的条件书上只有一个结论，但这个结论与要求解决这类问题的要求相差较远，因为学生知识欠缺，如教材P63、11题，在△ABC中，AC=12cm，AB=8cm，那么BC的最大长度应小于多少？最小的长度应满足什么条件呢？由于“不等式”内容未提前，学生解决这类问题很困难。
4、用正多边形拼地板的结论。事实上是说，当铺满地板时，围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角，将这个结论反过来作为一个判断时就有问题了，这是一个必要不充分条件，教材应明确指出这个结论的局恨性，如当用正多边形铺地板时，这是个主要条件，当用两种或两种以上正多边形铺地板时结论是不成立的。比如：用正五边形和正十边形就满足
(5-2)·180° (10-2)·180°
-----------×2+--------------=360°，
5 10
但不能铺满地板。指出这个结论，对教材本身的严肃性也是有好处的。
5、教材的编导方式应当使其操作性更强一些，如§8、3节在编写上，不断地进行试一试——探索这个过程，对中偏下等学生来说，是不便于阅读的，这也是整个教材的缺陷之一。可读性不是很强，不利于学困生的自学，当然也有不便于教师操作的、施教的地方。
6、对教材来说，教材是基础教学的主要载体，除此之外，还有一些是不可缺的。如与教材配套的教参、辅助教材、教具等，但现在市场上还没有高质量的配套材料，网上资源也很少，对于边远和落后地区教师使用教材带来了很大困难，这也会使原本丰富多彩的内容变得僵化、教条、死板、可操作性不强，限制了本章优秀功能的实现。
7、其它方面：如推理、说理要求降低得太多，导致学生说理缺少章法，叙述混乱，对学生“悟性”要求太高，对学困生的学习增强了难度，教材编写上跳跃太大，能力要求较高，应用的针对性不强，练习量也不足。
【关键词】多边形 教材 特点 问题
多边形这一章是在七年级（上）第四章《图形的初步认识》基础上的几何部分的第二章，编排于《二元一次方程组》与《轴对称》之间。它的主要内容是三角形和多边形的有关概念及边角性质。本章教材从内容的选择、呈现的方式、编排的顺序等方面都较好地体现了新课程的理念，继承了数学教育的优良传统，克服了繁难偏旧的弊端，实现了基础性与现代性的统一，很值得我们加以探究，下面从三个方面进行剖析。
一、教材的特点
1、本章由“瓷砖的铺设”导入，接着研究三角形三边、三角之间，外角与内角之间的关系以及多边形的内角和与外角和公式的推导和应用，最后运用三角形和多边形的有关性质探索拼地板的问题。体现了数学来源于实践，又应用于实践的特点；改变了过去从书本到书本，与实践脱节的做法。
2、在教材内容的编排上由简单到复杂；由低层次到高层次；由具体到抽象；再由抽象到具体，符合学生的认知特点与心理发展规律。三角形是边数最少的多边形，也是最简单、最基本的多边形，先研究三角形再研究多边形，符合学生的认知规律；先研究三角形的角，再研究三角形的边，最后研究三角形的有关性质，逐步递进，也完全符合学生的认知特点与身心发展规律。
3、在呈现方式上，改变“结论——例题——练习”的陈述模式，而是采用“问题——探究——发现”的研究模式，并采用多种探究方法，如对“三角形外角性质及外角和”同时采用度量、剪接和数学说理方法；对“三角形的三边关系”采用画图方法；对“三角形的内角和与外角和”采用计算与归纳说理的方法。
4、在直观感知、操作确认的基础上，适当地进行数学说理，将两者有机地结合起来，让学生体验证明的必要性，学会初步说理。
5、渗透计算器的应用，有意识地让学生运用计算器探索多边形的内角和与外角和。体现了基础性与现代性的结合。
6、教材呈现“问题型”，创设了学生自主探索、合作学习的平台。有利于充分发挥学生的学习主动性。
7、关注学生的情感体验，让学生感受到数学的美，认识数学的价值。
8、教材适当穿插了“想一想”、“试一试”、“做一做”等探索性、开放性的练习内容，给学生留下了适当的思考空间，这些练习内容有利于激发学生学习数学的兴趣，扩大知识面，发展思维。
二、新旧教材的对比
新教材指华东师大版，旧教材指人教版，九年义务教育三年制的初级中学教科书。
1、章节安排比较：
新教材
8、1瓷砖的铺设3、1关于三角形的一些概念
8、2三角形 3、2三角形三条边的关系
8、3多边形 3、3三角形的内角和
8、4用多边形拼地板4、2多边形的内角和
2、旧教材主要采用比较单一的陈述模式，而新教材采用了多种探究方法。在旧教材中，三角形的外角的性质是由三角形的内角和定理，通过推理的方式得到的，多边形的内角和与外角和都是经过推理得出结论，然后总结成定理，三边关系定理是直接由“两点之间线段最短”得出。
在新教材中，三角形的外角的性质同时采用了拼图的方法和数学说理的方法。多边形的内角和与外角和采用计算归纳结论的方法，三边关系定理采用画图方法去探究。
新教材多种探究方法的呈现，把学生引导到“问题——探究——发现”研究模式上来，使学生逐渐学会使用多种探究形式，步入研究性学习轨道。
3、旧教材较多地学习“纯数学”的知识，因而推理、论证较多，而新教材更充分地体现了“数学源于实践”、又“应用于实践”的特点，减少了机械的论证要求，新教材§8、1瓷砖的铺设，首先就把学生引向了现实世界，从“身边的数学”展开学习本章的序幕，进而学生跃跃欲试地想探究“身边的数学”，而在学习了多边形的内角和之后，§8、4用正多边形拼地板这小节中，应用前面所学的数学知识，进一步解释“身边的数学”中的奥妙，进而将数学知识应用于实践。
可以说，新教材全章贯穿了“问题——探究——发现”这样的研究模式，§8、1瓷砖的铺设，实际上向我们展示了一个问题：“为什么能铺满地面？”为了探究其中的道理，展开了对相关知识的学习与探索，当我们发现了其中的“奥秘”之后，又应用于实践中去。
4、新教材的“问题型”呈现和习题的探索性与开放性，可以改变学生的学习方式，引导学生自主探索与合作学习，这是新教材最成功之处。
新教材通过“试一试”、“想一想”、“做一做”、“探索”、“概括”等形式，把问题呈现给学生，充分激发学生自主探索兴趣，并互相交流，展示想法，在讨论争辩中找到问题的答案；
新教材的P59、3，P63、14，P64的“课题学习”等内容都非常适合学生自主探索与合作学习，而旧教材中没有类似的“平台”。
5、新教材体现了要使人人都能获得基本数学知识与技能，同时又使不同的人得到不同的发展的精神。在讲明基本概念和观点后，揭示有关材料，尽量把寻求结论任务留给学生，让学生在自主探索的过程中去体验智力劳动的甘苦，激发探索精神，发展创新思维。
6、新旧教材深浅不同，新教材体现了面向全体学生的精神，着眼于素质教育，适当降低了记忆要求，减少了公式数量，淡化了某些概念的严密性，在学生可接受的情况下，由低层次的发展到高层次的综合，不断深化，使学生循序渐进地获得知识。
7、新旧教材多与少不同。新教材与旧教材相比，知识结构层次少了，内容与作业量减少，死记硬背、机械训练的内容少了，但是，要求理解、了解和探索的内容却多了，新教材中类似于“多边形内角和”的内容，要求在教师指导、点拨下让学生自主地探索、理解、归纳，实际上新教材要求学生掌握的方法多了，必须优化课堂结构，以灵活多样的教法，尽量满足多层次学生的学习需求。
8、新教材各章节前都设置一幅醒目的插图，揭示了本章的主要内容，导图与导入语从学生熟知的实例开始，从已有的知识入手，巧妙提出问题，把学生一下子引入正题。教材中间设置了许多插图，帮助学生理解教材，引发学生的学习兴趣，激发学生的求知欲，既有利于学生自学，又是教师组织教学创设情境的好帮手。
9、新教材对师生要求不同。新教材要求课堂中师生互动、合作交流，形成师生平等、和谐、民主的人际关系。教师应尊重学生差异，崇尚个性和主体性，鼓励探索真理。在教师启发、诱导下，学生发现问题、提出疑问。同时对学生提出了更高的要求，学生在拥有发挥个人才智的机会和空间的同时，压力感促使学生主动涉猎知识，在教师创设的良好氛围下，独立思考问题和寻求解决问题的方法，成为“学习的共同体”。
10、新旧教材活动板块不同。新教材增加了“读一读”、“想一想”、“试一试”、“做一做”、“看一看”、“练一练”、“你知道吗”、“探索”、“概括”、“阅读材料”、“课题学习”等等内容。虽然不是教材的正文，却是教材正文的扩展，实际上是给学生一定思考空间，让学生更好地自主学习，有助于扩大知识面，开阔视野，发展学生的智力，激发学生的学习兴趣，同时，又实施了爱国教育、人文精神的教育。因此，教材要求教师在教学时要充分利用教材，同时尽可能补充一些供学生作为探究活动的内容，让学生分组讨论，人人参与观察、猜想、验证、推理与交流的数学活动，培养学生发散思维能力和创新精神，提高应用数学知识解决实际问题的能力，本章§8、4用多边形拼地板就是最好体现。
三、需商榷的问题
1、本章教材是在七年级（上）第4章图形的初步认识的基础上的几何部分的第二章。教材的引入问题，瓷砖的铺设，这个问题提得太多了些。
由于学生已有知识基础认知所限，能否达到激发学生兴趣，让学生解决生活中的数学问题的目的，自然受到怀疑，是否可设置一些较小且具体的，与本章探索更密切的生活中的问题，更能让学生切实地感受到数学的有用！如本章重点讨论三角形与多边形的角的问题，更能让学生切实地感受到数学的有用！但可否在这上面设置激发兴趣的问题？
2、三角形中的动手问题。本套教材讲究体验探索、直观感知、操作、确认，可否在三线问题上加入折纸操作，如中线定义，教材太直接了。
如图，对折AB即得中点D，再折CD得中线，类似作其两边中线，还可看到三条中线是否交于一点。角平分线也可作类似处理：沿点C使AC与BC重合而折，所得折线即为∠C的内角平分线，类似地可作出∠A、∠B的内角平分线，再观察三线是否交于一点。三边的高线也可通过折纸得出。经过这番操作，学生对三线的特征和交于一点的事实有了亲自感受，因而能更好地理解和应用。在三角形内角和、外角和实践中也可添加这样的对折。
3、构成三角形条件问题。构成三角形的条件书上只有一个结论，但这个结论与要求解决这类问题的要求相差较远，因为学生知识欠缺，如教材P63、11题，在△ABC中，AC=12cm，AB=8cm，那么BC的最大长度应小于多少？最小的长度应满足什么条件呢？由于“不等式”内容未提前，学生解决这类问题很困难。
4、用正多边形拼地板的结论。事实上是说，当铺满地板时，围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角，将这个结论反过来作为一个判断时就有问题了，这是一个必要不充分条件，教材应明确指出这个结论的局恨性，如当用正多边形铺地板时，这是个主要条件，当用两种或两种以上正多边形铺地板时结论是不成立的。比如：用正五边形和正十边形就满足
(5-2)·180° (10-2)·180°
-----------×2+--------------=360°，
5 10
但不能铺满地板。指出这个结论，对教材本身的严肃性也是有好处的。
5、教材的编导方式应当使其操作性更强一些，如§8、3节在编写上，不断地进行试一试——探索这个过程，对中偏下等学生来说，是不便于阅读的，这也是整个教材的缺陷之一。可读性不是很强，不利于学困生的自学，当然也有不便于教师操作的、施教的地方。
6、对教材来说，教材是基础教学的主要载体，除此之外，还有一些是不可缺的。如与教材配套的教参、辅助教材、教具等，但现在市场上还没有高质量的配套材料，网上资源也很少，对于边远和落后地区教师使用教材带来了很大困难，这也会使原本丰富多彩的内容变得僵化、教条、死板、可操作性不强，限制了本章优秀功能的实现。
7、其它方面：如推理、说理要求降低得太多，导致学生说理缺少章法，叙述混乱，对学生“悟性”要求太高，对学困生的学习增强了难度，教材编写上跳跃太大，能力要求较高，应用的针对性不强，练习量也不足。