【摘要】最短路线问题通常是以“平面内联结两点的线中，线段最短”为原则引申出来的。人们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题。下面通过“建水泵站问题”，简单谈一下在初中数学中遇到的线路和最短问题。
　　【关键词】公理；最短；点；对称
　　
　　最短路线问题是几何中经常遇到的一类问题，而利用两点之间线段最短是我们经常用来解决现实生活中路线最短常用公理之一，所谓两点之间线段最短是指连接两点之间所有的线中线段最短，下面我们通过具体实例来体验几何中线路和最短问题。
　　1.引例：如图1所示，要在河道旁修建一个水泵站，向居民区A、B提供用水，水泵站应建在什么地方，才能使PA+PB的距离之和最短？
　　分析：首先找到对称轴，然后作出点B（或点A） 的轴对称点B1（或点A1）连接AB1 (或BA1)交直线l于点P，则点P为所求的水泵站位置。
　　2.根据引例所提供的数学模型继续研究建水泵站问题在四边形、圆及二次函数中的应用：
　　
　　 例1：如图2，菱形ABCD 的两条对角线分别长6 和8，点P是对角线AC 上的一个动点，点M、N 分别是边AB、BC 的中点，则PM+PN 的最小值是_____________．
　　
　　分析：利用菱形的对称性，在AD 上找出点M 关于AC 的对称点M＇（即AD 的中点），连结M＇N交AC 于P，则PM+PN 的最小值为线段M＇N 的长，而M＇、N 分别为边AD、BC 的中点，故M＇N 的长等于菱形的边长5。
　　例2、如图3，MN 是⊙O的直径，MN=2，点A 在⊙O 上，∠AMN=30°，B 为弧AN 的中点，P是直径MN 上一动点，则PA+PB 的最小值是多少？ 
　　分析：连结OA，由∠AMN=30°得∠AON=60°，取点B 关于MN 的对称点B＇，连结OB＇、AB＇，AB＇交MN 于点P，则AB＇的长为PA+PB 的最小值，且易知∠AOB＇
　　=90°，即△AOB＇为等腰Rt△，故 AB＇=2。 
　　
　　例3、如图，在直角坐标系中，点A，B，C 的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过A，B，C 三点的抛物线的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点，
　　(1)求抛物线的解析式；
　　 (2)求当AD+CD 最小时点D 的坐标；
　　图3
　　图4
　　 分析：（1）可设y=a(x+1)(x-3)，再代入点C 坐标，即可求得y=-x2+2x+3。
　　 （2）利用点A、B 关于直线l：x=1 对称，连结BC 交l 于D，则此时AD+CD 取得最小值；设l与x轴交点为E，由⊿BED∽⊿BOC 可求得DE=2，BD=2 =AD，所以D 的坐标为(1，2)。
　　通过上述实例分析，我们不但发现了在利用“建水泵站”的数学模型解决几何中线路和最短问题的奥妙之处，同时也体验了在解决几何中线路和最短问题的过程：先找出对称轴，然后找出两个定点中其中一个点的对称点，最后连接对称点与另一个定点，则所连线段与对称轴的交点就是我们要找的动点P，使得PA+PB的距离之和最短。
　　同时也使我们学会了在解决实际问题时如何用已有的知识通过合理的迁移达到解决的目的，是值得我们认真思考与反思的，也是我们今后学习的一个方向。
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　　参考文献
　　［1］ 罗小专; 怎样探究最短路线〔J〕. 中小学数学(初中版)2009年11期
　　［2］ 汤逸平; 轴对称与最短路线问题〔J〕. 数理化学习(初中版) 2003年12期
　　［3］ 黄明梧; 初中数学中最短路线的解法举隅〔J〕. 中学教学参考 2009年23期
　　收稿日期：2011-04-23