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新课程标准增加了高中数学的知识内容，但是高中数学学习的课时量并没有增加，反而减少了。单位时间内接受知识信息的量相比增加了许多，辅助练习、消化的课时却相应地减少了，这使一些学生学习数学的信心受到打击。有学生问：“为什么我花了那么多时间去做习题，做了那么多习题，进步还是不明显呢？”又有学生问：“老师，我上课听懂了，课后作业也基本上能完成，可为什么一遇到一些课外题目，知识点相同，题型稍作变化，就一筹莫展呢？”面对学生的提问，反思教学，发现教学中选用教材和资料中的习题绝大部分是封闭型的。这类习题条件完备、结论确定、形式严格，基本上是为帮助学生巩固所学知识、引起认知结构的同化而设计的，学生在学习过程中容易以死记硬背代替主动参与，以机械记忆代替智力活动，从而缺乏对知识的系统性理解，解题能力得不到根本的提高。
■ 课堂教学中的变式案例和分析
由浅入深，层层递进
变式设计问题可以体现新旧知识之间的联系性，创设问题情境，在原有知识基础上创新变化，达到自然过渡的要求，从而也激发学生求知兴趣，让他们主动地把情感和认知都融入教与学中。
下面是解析几何中一个例题的教学设计：
例题：求直线y = x+-被曲线y = x2 截得的线段的长。
设置如下的题组：
1.直线y = x+-与曲线y= x2有
有解的_______条件。
2.曲线C1 ：?(x,y)=0与曲线C2：?(x,y)=0 有交点，是方程组
3.求直线 y = x+-和曲线
y = x2的交点个数。
4.求直线y = x+-和曲线
y = x2的交点Ａ、Ｂ间距离｜AB｜。
5.求直线y = kx+-和曲线y=x2的交点A、B间距离。
6.求b的取值范围,使直线y= x+b与曲线y=x2⑴有两个交点；⑵有一个交点；⑶没有交点。
这样的例题讲练有变化层次性，注重例题情境的创设。把要研究的主要问题和知识点有机地分解与结合，设计成由浅入深、前后衔接、相互呼应的梯度问题，诱使学生思维层层展开，步步深入，最后促使教学目标达成。
巧设陷阱，深化理解
在概念和定理的教学过程中，为使学生深刻理解概念的内涵和外延，深刻理解定理的应用条件，设置变式题组，可以让学生在错误后获得很强的记忆效应。针对均值不等式的应用条件，讲述均值不等式定理中设置如下题组：
1.求函数的最值，并求此时x的值。
2.求函数的最值，并求此时x的值。
3.求函数 的最值，并求此时x的值。
4.已知，求函数的最值，并求此时的值。
5.已知 ，求函数的最值，并求此时的值。
6.已知正实数x,y满足条件
，求xy的取值范围。
7.已知正实数x,y满足条件
求x+y的取值范围。
以上设置的题组充分体现了均值不等式“一正二定三相等”的条件，通过正反两个方面帮助学生理解条件的重要性。没条件的怎样创造条件？为什么只做细微的改变却不能用定理？在强烈的对比中学生增进了对应用条件的认识，而且此过程也让他们感到轻松和愉悦。
以点带面，全盘皆顾
在单元复习教学中设置变式练习，可以有效实施知识的系统性与整体性，能让学生站在更高的角度上把握知识点。下面是温州市2005年优质课展示会上的一节课，课题是《直线与圆锥曲线的位置关系》。
1.引例：已知椭圆C： ，直线l:y=ax+b
①请你具体给出a、b的一组值，使直线和椭圆C相交。
②直线和椭圆C相交时，a、b应满足什么关系？
③若a＋b＝1，试判定直线y和椭圆C的位置关系。
引例设计说明：问题①是个开放题，结果不唯一。学生可以分别从形与数这两个角度考虑这个问题，给出一组符合题意的a、b的值。问题②是在问题①基础上的提升，探求直线和椭圆相交时的一般情况。切入本节课的主题，也为后面比较直线和双曲线位置关系的代数处理的异同点做了个铺垫。问题③的提出，是对问题①②的呼应。它可以从“直线过定点（1，1）”的几何角度去解，也可以利用②的结果这个代数角度去解决。
小结：处理直线和圆锥曲线的位置关系的方法，有代数方法与几何方法。
2.变式一：已知a＋b＝1，直线l:y=ax+b和椭圆C： 交于A、B两点，（请你添加条件），求直线y的方程。
设计意图说明：这是本节课的另一道开放题。这道题有较大的思维空间，不同层次的学生都能在这个问题上有不同层次的施展。通过这个问题多种方案的解决，一方面可以复习相关知识，另一方面可以培养学生提出问题、发现问题的能力。
教学估计：学生可能会从线段的长度、点的位置、角的大小等方面提出问题。
3．变式二：已知直线l:y=ax+b和椭圆C: 相切，若p=(a+1,b+2)与q=(1,k)共线，求k的取值范围。
设计意图说明：这道题的本质是直线和双曲线的位置关系，要从“数”与“形”两方面来分析这道题目。之后，还要比较“直线和双曲线的位置关系”和“直线与椭圆的位置关系”在方程处理上的异同点，进而延伸到“直线和抛物线的位置关系”上。
这节课从椭圆与直线的位置关系入手，巧妙变式，综合复习了直线和椭圆、双曲线、抛物线位置关系的几种情况，总结了处理直线和圆锥曲线的位置关系的方法：代数方法和几何方法。在变式二中把直线与多种圆锥曲线的位置关系融合在一道题中，既达到了复习的要求和效果，又能节省时间、增加容量、减少学生的重复思维劳动，还避免了炒冷饭，激发了学生的兴趣。
■ 几点思考
变式教学在课堂教学中的拓展
变式教学在课堂教学中体现出很多优越性。入口宽，容量大，思维紧凑，受到学生的欢迎。如何让变式教学渗透到每个课堂、每个知识点乃至整个数学教学中？如何把“问题性变式”推广到“过程性变式”？这是我们要面对的一个问题。数学课堂教学从例题讲练的层次性变化到贯彻全部教学的各环节，要完成质的飞跃，当然需要教师付出极大的艰辛。教师只有紧密联系教学实际，深入钻研教材，将知识内容设计转化为不断变化的问题情境，以触发学生的兴奋点，启动他们的思维，才能引发学生探求的欲望和动机，使学生在疑与思的循环和矛盾中不断产生认知冲突，不断保持高涨的探索热情，最终使数学课成为名符其实的思维体操。
客观地分析传统课堂教学
在新课改如火如荼地进行的今天，我们如何客观地认识和分析传统课堂教学，寻找传统课堂教学中的合理成分，为今天的课改提供正确的导引呢？崇尚西方教育的同时，我们更有必要正确地审视我国传统的课堂教学。传统数学课堂非常注重讲练结合，而在讲练设计中变式教学被广大教师自觉或不自觉地运用，其中也有经验性的教学研究，中国的学生并不是在机械的教育下成长的。
纵观现代教育理论，发现其本质与我国古代教育家的教育理论无异。我们追求新理念、新思想，但我们不能简单地否定传统，而要结合现时情形，解读新课标理念，创新地理解和运用传统课堂教学。只有这样，才能真正地减轻学生的负担，提高学生的能力。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
■ 课堂教学中的变式案例和分析
由浅入深，层层递进
变式设计问题可以体现新旧知识之间的联系性，创设问题情境，在原有知识基础上创新变化，达到自然过渡的要求，从而也激发学生求知兴趣，让他们主动地把情感和认知都融入教与学中。
下面是解析几何中一个例题的教学设计：
例题：求直线y = x+-被曲线y = x2 截得的线段的长。
设置如下的题组：
1.直线y = x+-与曲线y= x2有
有解的_______条件。
2.曲线C1 ：?(x,y)=0与曲线C2：?(x,y)=0 有交点，是方程组
3.求直线 y = x+-和曲线
y = x2的交点个数。
4.求直线y = x+-和曲线
y = x2的交点Ａ、Ｂ间距离｜AB｜。
5.求直线y = kx+-和曲线y=x2的交点A、B间距离。
6.求b的取值范围,使直线y= x+b与曲线y=x2⑴有两个交点；⑵有一个交点；⑶没有交点。
这样的例题讲练有变化层次性，注重例题情境的创设。把要研究的主要问题和知识点有机地分解与结合，设计成由浅入深、前后衔接、相互呼应的梯度问题，诱使学生思维层层展开，步步深入，最后促使教学目标达成。
巧设陷阱，深化理解
在概念和定理的教学过程中，为使学生深刻理解概念的内涵和外延，深刻理解定理的应用条件，设置变式题组，可以让学生在错误后获得很强的记忆效应。针对均值不等式的应用条件，讲述均值不等式定理中设置如下题组：
1.求函数的最值，并求此时x的值。
2.求函数的最值，并求此时x的值。
3.求函数 的最值，并求此时x的值。
4.已知，求函数的最值，并求此时的值。
5.已知 ，求函数的最值，并求此时的值。
6.已知正实数x,y满足条件
，求xy的取值范围。
7.已知正实数x,y满足条件
求x+y的取值范围。
以上设置的题组充分体现了均值不等式“一正二定三相等”的条件，通过正反两个方面帮助学生理解条件的重要性。没条件的怎样创造条件？为什么只做细微的改变却不能用定理？在强烈的对比中学生增进了对应用条件的认识，而且此过程也让他们感到轻松和愉悦。
以点带面，全盘皆顾
在单元复习教学中设置变式练习，可以有效实施知识的系统性与整体性，能让学生站在更高的角度上把握知识点。下面是温州市2005年优质课展示会上的一节课，课题是《直线与圆锥曲线的位置关系》。
1.引例：已知椭圆C： ，直线l:y=ax+b
①请你具体给出a、b的一组值，使直线和椭圆C相交。
②直线和椭圆C相交时，a、b应满足什么关系？
③若a＋b＝1，试判定直线y和椭圆C的位置关系。
引例设计说明：问题①是个开放题，结果不唯一。学生可以分别从形与数这两个角度考虑这个问题，给出一组符合题意的a、b的值。问题②是在问题①基础上的提升，探求直线和椭圆相交时的一般情况。切入本节课的主题，也为后面比较直线和双曲线位置关系的代数处理的异同点做了个铺垫。问题③的提出，是对问题①②的呼应。它可以从“直线过定点（1，1）”的几何角度去解，也可以利用②的结果这个代数角度去解决。
小结：处理直线和圆锥曲线的位置关系的方法，有代数方法与几何方法。
2.变式一：已知a＋b＝1，直线l:y=ax+b和椭圆C： 交于A、B两点，（请你添加条件），求直线y的方程。
设计意图说明：这是本节课的另一道开放题。这道题有较大的思维空间，不同层次的学生都能在这个问题上有不同层次的施展。通过这个问题多种方案的解决，一方面可以复习相关知识，另一方面可以培养学生提出问题、发现问题的能力。
教学估计：学生可能会从线段的长度、点的位置、角的大小等方面提出问题。
3．变式二：已知直线l:y=ax+b和椭圆C: 相切，若p=(a+1,b+2)与q=(1,k)共线，求k的取值范围。
设计意图说明：这道题的本质是直线和双曲线的位置关系，要从“数”与“形”两方面来分析这道题目。之后，还要比较“直线和双曲线的位置关系”和“直线与椭圆的位置关系”在方程处理上的异同点，进而延伸到“直线和抛物线的位置关系”上。
这节课从椭圆与直线的位置关系入手，巧妙变式，综合复习了直线和椭圆、双曲线、抛物线位置关系的几种情况，总结了处理直线和圆锥曲线的位置关系的方法：代数方法和几何方法。在变式二中把直线与多种圆锥曲线的位置关系融合在一道题中，既达到了复习的要求和效果，又能节省时间、增加容量、减少学生的重复思维劳动，还避免了炒冷饭，激发了学生的兴趣。
■ 几点思考
变式教学在课堂教学中的拓展
变式教学在课堂教学中体现出很多优越性。入口宽，容量大，思维紧凑，受到学生的欢迎。如何让变式教学渗透到每个课堂、每个知识点乃至整个数学教学中？如何把“问题性变式”推广到“过程性变式”？这是我们要面对的一个问题。数学课堂教学从例题讲练的层次性变化到贯彻全部教学的各环节，要完成质的飞跃，当然需要教师付出极大的艰辛。教师只有紧密联系教学实际，深入钻研教材，将知识内容设计转化为不断变化的问题情境，以触发学生的兴奋点，启动他们的思维，才能引发学生探求的欲望和动机，使学生在疑与思的循环和矛盾中不断产生认知冲突，不断保持高涨的探索热情，最终使数学课成为名符其实的思维体操。
客观地分析传统课堂教学
在新课改如火如荼地进行的今天，我们如何客观地认识和分析传统课堂教学，寻找传统课堂教学中的合理成分，为今天的课改提供正确的导引呢？崇尚西方教育的同时，我们更有必要正确地审视我国传统的课堂教学。传统数学课堂非常注重讲练结合，而在讲练设计中变式教学被广大教师自觉或不自觉地运用，其中也有经验性的教学研究，中国的学生并不是在机械的教育下成长的。
纵观现代教育理论，发现其本质与我国古代教育家的教育理论无异。我们追求新理念、新思想，但我们不能简单地否定传统，而要结合现时情形，解读新课标理念，创新地理解和运用传统课堂教学。只有这样，才能真正地减轻学生的负担，提高学生的能力。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”