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摘要：作为高考试卷中必考的重点内容之一，解析几何的定点定值问题成为令学生最为头疼的一个题型，这类题型的难点主要在于考生除了要快速获取解题思路以外，还涉及到解题方法的选择，数学工具的灵活运用等，充分考察了学生对于函数思想，转化思想等数学思想的熟练运用能力，对于学生不仅仅是数学知识的考验，更是数学思想、数学能力的挑战。由于其难度高，计算量大的特点，已经成为历年考试的必选题型，对于学生来说，也成为了考试成绩的分水岭，要想在考试中取得较高成绩，这类题型就必须要掌握下来。本着满足一般必满足特殊，不满足特殊一定不满足一般的原理，特殊值法在高中数学解题中有着广泛的运用，在特定的条件范围下，选择与题目相匹配的特殊值，将复杂的问题进行抽丝剥茧，最后转化为简单的带入求值的计算题目，这是解析几何解题过程中非常重要的解题思想。
关键词：定点 定值 解析几何 转化思想
在高中解析几何中，陆续出现了直线方程、圆系方程、圆锥曲线等曲线系方程，相对于普通的方程来说，曲线系方程中的变量更多，学生在解题的时候，难度和计算量也就随之增加，尤其是解析几何中的定点定值问题是干扰学生得高分的“瓶颈”，学生在解题时通常会遇到无法去得适当的运算途径，只能做出第一问，或是期望突破第二问，但是由于方法选择的不恰当，学生在计算过程中可能不仅算不出答案，还会遇到越算越复杂的情况，而且解析类题目本就计算量较大，在运算过程中稍不注意就会出错，因此要重视学生数学能力的训练，而不是拿到题目硬套公式死算，比如说解析几何虽然是属于几何类的题目，单曲线就决定了它与函数及方程是有联系的，实际上可以将解析几何类的题目通过转化，转变成为探究方程或是函数性质类的题型，这就考察了学生方程与函数的思想，再比如，学生在进行解题过程中，有一些性质是有适用范围的，使用的时候就必须注意区别处理，这就考察了学生分类讨论的思想等等。学生只有将这些数学思想灵活使用，才能在解题过程中提升速度，解决问题。
一、定点定值问题
所谓定值问题，是指在一定的条件下所构成的几何问题中，当某一部分的几何元素在按一定的规律在一定的范围内进行变化时，与其相关的某些元素或元素的代数量比如点，角度，线段的和、差、积、商等保持不变的题型。定值问题可以分为定量问题与定形问题，通过寻找题目中的定量，将其转化为一般几何证明题，或者通过直线定向问题转化为轨迹问题求解，这就更加考察学生的数形结合的能力。与一般的几何证明问题不同，定值问题的结论中没有明确的定值对象，所以学生在进行解题时的第一道关卡就是要能够准确的探求定值元素，更加考察了学生特殊与一般的转化思想，考察逻辑推理能力，因此学生需要有更加强大的运算及识别能力，要能够将题目中的代数与几何进行相互转化，并且還要在计算过程中考虑结果的严谨性，才能做到快、准、狠的解题技能。
二、数学思想
特殊值法是指在解题过程中，将题目中的某一个或一些未知量结合限制条件进行假设，设其为某个特殊值来降低计算难度的方法，在解题过程中非常常用，尤其在选择题中，选择合适的特殊值进行解题能够给学生节约大量的考试时间。运用特殊值法解题时也要遵从逻辑的严密性，而不是牵强附会的找一个简单的数字带入计算，这个特殊的值必须满足无论设值为多少，对最终结果所要求的量都不会产生影响，其次，这个特殊值必须和结果有关，但又不能影响题目中给出的等量关系，只有满足以上几个条件的值才能被设为特殊值带入求解，否则由于带值的不严谨，不仅可能求不出答案，还会造成时间精力的浪费。此外如何判断题目是否适合使用特殊值法也是学生必须要掌握的技能，其标准就是看题目的答案是否是与变量无关的定值，通常可以从题目中的选项或是题设条件中得到暗示。
三、结合方法解决问题
（1）用特殊值解决客观题可提高解析几何准确运算速度;
在解析几何的题目中，虽然存在变量，但是也会存在某些几何量与变量是无关的，这就衍生出了定值问题，在解决这一类问题的时候，要善于用辩证的眼观去分析思考，将题目中的定量从变量中间提取出来，通过从特殊到一般，从局部到整体的思路进行推理计算，结合题目要求，选择出合适的特殊值，并找到题目中各变量的关系，结合相关定义导出定值关系，带入关系式进行化简整理解题，并且在解题过程中，对偶运算，演绎推理都是我们可以使用的工具，从而达到降低运算量，减轻思维负担的作用。
例如已知A、B是经过椭圆（a>b>0）右焦点的任一条直线与椭圆的两个交点，若过椭圆中心0的弦MN//AB，求证：|MN|2：|AB|是定值。对于本题来说，MN，AB 分别为中心弦和焦点弦，如果用一般的思想去进行解答，由于倾斜角的不确定性，学生很难找到突破口，那么结合特殊值法，可将其倾斜角退到0°，此时有|MN|2=4a2 ，|AB|= 2a，|MN|2 ： |AB| = 2a，得到一个固定的值，然后再证明一般性，证明一般性时，由于角度未知，利用合情推理，可以设MN、AB的倾斜角为a，则斜率k= tana，MN的方程为y=（tana）x代人椭圆方程，通过化简可以得到|MN|2的值，同样的道理化简得出|AB|的值，结合特殊角度下二者的比值为定值就可以推算出一般情况下二者的比值，通过分析发现，从特殊值入手解题，会比用一般思维解题更加高效简单。
（2）由特殊位置先确定定值、定点，可将盲目的探索问题转化为有方向的一般性证明问题，提高解析几何准确运算能力;
圆锥曲线定点定值问题的难度不仅在于解题的突破口明确，而且这道题的计算量往往都非常大，对于学生的数据处理能力有较高的要求，因此在解题过程中一定不能固定思维去算，而是要利用一些解题技巧，要用全面的观点看待并处理此类问题，从整体上把握问题给出的综合信息，并注意挖掘问题中各个量之间的相互关系，并适当的运用函数与方程，利用一些特殊点、特殊位置、特殊直线、极端位置、极限位置等求出定点定值，然后有目标的进行运算，在解答这类问题过程中，既有探索性的过程，也有严密的逻辑推理及运算，真正体现了考试大纲中重知识更重能力的指导思想。 例如在一道这样的题目中，已知直角坐标系xoy中，如图，椭圆的左、右顶点为A，B，右焦点为F。设过点T（t，m）的直线TA ，TB与椭圆分交于点M（x1，y1），N（x2，y2），其中m>0，y1>0，y2<0。设t=9，求证：直线MN必过轴上的一定点（其坐标与m无关）。大部分学生在解决这道题目时，都是优先考虑求点，但是直线AM，BN过的分别是A，B两个点，故需要二次韦达定理，然后再分别求M，N，最后求直线MN，整理得定点坐标， 思路虽然还是很清晰的，不过一般在求出两点M，N后基本就都放弃了，因为使用这种方法进行解题，其计算量会非常大，既浪费时间还容易出错，而且大部分学生的计算能力有限，根本无法完整求出，但是这道题目利用特殊值法解题就会很轻松，虽然A，B点不同， 但实际上是只需要进行一步转化，由KAMKBM=-，可以得到KBMKBN=-，然后设出过点B，N，M三点的二次曲线方程，通过化简可以得出直线MN的方程是要与斜率无关的，那么只需要另y=0，就有x=1，这样就达到了化归效果，
（3）由特殊图形探索一般结论，提高解析几何准确运算能力。
定点定值问题除了涉及到曲线系过定点，面积比、斜率、角度等几何量为定值这些反应数学对象的本质属性以外，还会涉及到例如圆锥曲线某些特有的性质，比如蒙日圆，阿基米德三角形等问题，以及涉及动点运动轨迹中某些不变的因素的题型，处理这类问题时可以采用直接推理求出定点定值的方法，还可以从特殊角度，图形的对称性等方面入手猜测结论，利用数形结合的思想，从特殊图形着手探索一般结论，能够更加快速的明确解题思路。通过数形结合，再设定合理的变量，准确把握各变量之间的关系并且捕捉到题目信息，能够更加直观的将题目信息用图形的语言表述出来，方便学生获取题干条件，解决题目问题。
例1椭圆（a>b>0）的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=，过F1的直线交椭圆于A，B两点，且△ABF2的周长为8。设动直线l：y=kx+m與椭圆有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q，试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？这道题目主要考查了学生对于椭圆的性质、圆的性质、平面向量等基础知识的掌握程度，同时也训练学生的运算求解能力、化归与转化、数形结合、函数与方程、特殊与一般等数学思想的使用，在对几何图形特征分析的基础上，先猜想，缩小定点的范围，然后证明，可以简化题目整体的复杂程度，但前提还是先要联立方程，得到k，m的关系然后赋值。由动直线及椭圆的对称性知，若定点M存在，则必在x轴上，条件以PQ为直径的圆恒过点M即可翻译为= 0恒成立。所以最后可以推出只要求出P，Q两点坐标，则这道题目也就解决了。结合题目求解过程，通过分析可以看出，尽管定点、定值问题背景多元，形式多样，但求解方法都有共同之处，即建立在对几何图形特征分析的基础上，最终回到解析几何的核心方法上，依托直线与圆锥曲线的方程联立，翻译题目条件，构造等式或不等式即可解题。
解析几何的本质就是将“数”与“形”有机的结合在一起，曲线的几何特征必然在方程、函数或不等式中反映，而方程、函数及不等式的数字特征也一定能体现出曲线的特征。在解决解析几何问题时，如果不具备较高的几何运算能力，信息提取能力，就很难快速的得到解题方法。这一类题目虽然难度相对较高，但是还是由基础定义派生出来的问题，解题的时候一定要抓住给定曲线的定义特征，以数形结合为指导思想，采用设而不求，特殊值及整体代入等方法，尽量将解题过程进行简化，除此之外，还可以利用题目中曲线的几何特征，降低题目的复杂度，达到高效解题的目的。
参考文献
【1】谢锦辉，解析几何中的定点与定值问题[J];中学数学教学参考;2019年Z1期
【2】马守奎，转化与化归思想 第七篇：等价转化思想“情系”解析几何[J];广东教育（高中版）;2015年02期
【3】马钰博，高中解析几何中化归思想的应用[J];中学生数理化（学习研究）;2019年01期
【4】王荣，教材中一道题引发的思考——巧用平面知识减少解析几何运算量[A];2016年3月现代教育教学探索学术交流会论文集[C];2016年
贾秋敏 山西省忻州市第一中学校（山西 忻州）
关键词：定点 定值 解析几何 转化思想
在高中解析几何中，陆续出现了直线方程、圆系方程、圆锥曲线等曲线系方程，相对于普通的方程来说，曲线系方程中的变量更多，学生在解题的时候，难度和计算量也就随之增加，尤其是解析几何中的定点定值问题是干扰学生得高分的“瓶颈”，学生在解题时通常会遇到无法去得适当的运算途径，只能做出第一问，或是期望突破第二问，但是由于方法选择的不恰当，学生在计算过程中可能不仅算不出答案，还会遇到越算越复杂的情况，而且解析类题目本就计算量较大，在运算过程中稍不注意就会出错，因此要重视学生数学能力的训练，而不是拿到题目硬套公式死算，比如说解析几何虽然是属于几何类的题目，单曲线就决定了它与函数及方程是有联系的，实际上可以将解析几何类的题目通过转化，转变成为探究方程或是函数性质类的题型，这就考察了学生方程与函数的思想，再比如，学生在进行解题过程中，有一些性质是有适用范围的，使用的时候就必须注意区别处理，这就考察了学生分类讨论的思想等等。学生只有将这些数学思想灵活使用，才能在解题过程中提升速度，解决问题。
一、定点定值问题
所谓定值问题，是指在一定的条件下所构成的几何问题中，当某一部分的几何元素在按一定的规律在一定的范围内进行变化时，与其相关的某些元素或元素的代数量比如点，角度，线段的和、差、积、商等保持不变的题型。定值问题可以分为定量问题与定形问题，通过寻找题目中的定量，将其转化为一般几何证明题，或者通过直线定向问题转化为轨迹问题求解，这就更加考察学生的数形结合的能力。与一般的几何证明问题不同，定值问题的结论中没有明确的定值对象，所以学生在进行解题时的第一道关卡就是要能够准确的探求定值元素，更加考察了学生特殊与一般的转化思想，考察逻辑推理能力，因此学生需要有更加强大的运算及识别能力，要能够将题目中的代数与几何进行相互转化，并且還要在计算过程中考虑结果的严谨性，才能做到快、准、狠的解题技能。
二、数学思想
特殊值法是指在解题过程中，将题目中的某一个或一些未知量结合限制条件进行假设，设其为某个特殊值来降低计算难度的方法，在解题过程中非常常用，尤其在选择题中，选择合适的特殊值进行解题能够给学生节约大量的考试时间。运用特殊值法解题时也要遵从逻辑的严密性，而不是牵强附会的找一个简单的数字带入计算，这个特殊的值必须满足无论设值为多少，对最终结果所要求的量都不会产生影响，其次，这个特殊值必须和结果有关，但又不能影响题目中给出的等量关系，只有满足以上几个条件的值才能被设为特殊值带入求解，否则由于带值的不严谨，不仅可能求不出答案，还会造成时间精力的浪费。此外如何判断题目是否适合使用特殊值法也是学生必须要掌握的技能，其标准就是看题目的答案是否是与变量无关的定值，通常可以从题目中的选项或是题设条件中得到暗示。
三、结合方法解决问题
（1）用特殊值解决客观题可提高解析几何准确运算速度;
在解析几何的题目中，虽然存在变量，但是也会存在某些几何量与变量是无关的，这就衍生出了定值问题，在解决这一类问题的时候，要善于用辩证的眼观去分析思考，将题目中的定量从变量中间提取出来，通过从特殊到一般，从局部到整体的思路进行推理计算，结合题目要求，选择出合适的特殊值，并找到题目中各变量的关系，结合相关定义导出定值关系，带入关系式进行化简整理解题，并且在解题过程中，对偶运算，演绎推理都是我们可以使用的工具，从而达到降低运算量，减轻思维负担的作用。
例如已知A、B是经过椭圆（a>b>0）右焦点的任一条直线与椭圆的两个交点，若过椭圆中心0的弦MN//AB，求证：|MN|2：|AB|是定值。对于本题来说，MN，AB 分别为中心弦和焦点弦，如果用一般的思想去进行解答，由于倾斜角的不确定性，学生很难找到突破口，那么结合特殊值法，可将其倾斜角退到0°，此时有|MN|2=4a2 ，|AB|= 2a，|MN|2 ： |AB| = 2a，得到一个固定的值，然后再证明一般性，证明一般性时，由于角度未知，利用合情推理，可以设MN、AB的倾斜角为a，则斜率k= tana，MN的方程为y=（tana）x代人椭圆方程，通过化简可以得到|MN|2的值，同样的道理化简得出|AB|的值，结合特殊角度下二者的比值为定值就可以推算出一般情况下二者的比值，通过分析发现，从特殊值入手解题，会比用一般思维解题更加高效简单。
（2）由特殊位置先确定定值、定点，可将盲目的探索问题转化为有方向的一般性证明问题，提高解析几何准确运算能力;
圆锥曲线定点定值问题的难度不仅在于解题的突破口明确，而且这道题的计算量往往都非常大，对于学生的数据处理能力有较高的要求，因此在解题过程中一定不能固定思维去算，而是要利用一些解题技巧，要用全面的观点看待并处理此类问题，从整体上把握问题给出的综合信息，并注意挖掘问题中各个量之间的相互关系，并适当的运用函数与方程，利用一些特殊点、特殊位置、特殊直线、极端位置、极限位置等求出定点定值，然后有目标的进行运算，在解答这类问题过程中，既有探索性的过程，也有严密的逻辑推理及运算，真正体现了考试大纲中重知识更重能力的指导思想。 例如在一道这样的题目中，已知直角坐标系xoy中，如图，椭圆的左、右顶点为A，B，右焦点为F。设过点T（t，m）的直线TA ，TB与椭圆分交于点M（x1，y1），N（x2，y2），其中m>0，y1>0，y2<0。设t=9，求证：直线MN必过轴上的一定点（其坐标与m无关）。大部分学生在解决这道题目时，都是优先考虑求点，但是直线AM，BN过的分别是A，B两个点，故需要二次韦达定理，然后再分别求M，N，最后求直线MN，整理得定点坐标， 思路虽然还是很清晰的，不过一般在求出两点M，N后基本就都放弃了，因为使用这种方法进行解题，其计算量会非常大，既浪费时间还容易出错，而且大部分学生的计算能力有限，根本无法完整求出，但是这道题目利用特殊值法解题就会很轻松，虽然A，B点不同， 但实际上是只需要进行一步转化，由KAMKBM=-，可以得到KBMKBN=-，然后设出过点B，N，M三点的二次曲线方程，通过化简可以得出直线MN的方程是要与斜率无关的，那么只需要另y=0，就有x=1，这样就达到了化归效果，
（3）由特殊图形探索一般结论，提高解析几何准确运算能力。
定点定值问题除了涉及到曲线系过定点，面积比、斜率、角度等几何量为定值这些反应数学对象的本质属性以外，还会涉及到例如圆锥曲线某些特有的性质，比如蒙日圆，阿基米德三角形等问题，以及涉及动点运动轨迹中某些不变的因素的题型，处理这类问题时可以采用直接推理求出定点定值的方法，还可以从特殊角度，图形的对称性等方面入手猜测结论，利用数形结合的思想，从特殊图形着手探索一般结论，能够更加快速的明确解题思路。通过数形结合，再设定合理的变量，准确把握各变量之间的关系并且捕捉到题目信息，能够更加直观的将题目信息用图形的语言表述出来，方便学生获取题干条件，解决题目问题。
例1椭圆（a>b>0）的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=，过F1的直线交椭圆于A，B两点，且△ABF2的周长为8。设动直线l：y=kx+m與椭圆有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q，试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？这道题目主要考查了学生对于椭圆的性质、圆的性质、平面向量等基础知识的掌握程度，同时也训练学生的运算求解能力、化归与转化、数形结合、函数与方程、特殊与一般等数学思想的使用，在对几何图形特征分析的基础上，先猜想，缩小定点的范围，然后证明，可以简化题目整体的复杂程度，但前提还是先要联立方程，得到k，m的关系然后赋值。由动直线及椭圆的对称性知，若定点M存在，则必在x轴上，条件以PQ为直径的圆恒过点M即可翻译为= 0恒成立。所以最后可以推出只要求出P，Q两点坐标，则这道题目也就解决了。结合题目求解过程，通过分析可以看出，尽管定点、定值问题背景多元，形式多样，但求解方法都有共同之处，即建立在对几何图形特征分析的基础上，最终回到解析几何的核心方法上，依托直线与圆锥曲线的方程联立，翻译题目条件，构造等式或不等式即可解题。
解析几何的本质就是将“数”与“形”有机的结合在一起，曲线的几何特征必然在方程、函数或不等式中反映，而方程、函数及不等式的数字特征也一定能体现出曲线的特征。在解决解析几何问题时，如果不具备较高的几何运算能力，信息提取能力，就很难快速的得到解题方法。这一类题目虽然难度相对较高，但是还是由基础定义派生出来的问题，解题的时候一定要抓住给定曲线的定义特征，以数形结合为指导思想，采用设而不求，特殊值及整体代入等方法，尽量将解题过程进行简化，除此之外，还可以利用题目中曲线的几何特征，降低题目的复杂度，达到高效解题的目的。
参考文献
【1】谢锦辉，解析几何中的定点与定值问题[J];中学数学教学参考;2019年Z1期
【2】马守奎，转化与化归思想 第七篇：等价转化思想“情系”解析几何[J];广东教育（高中版）;2015年02期
【3】马钰博，高中解析几何中化归思想的应用[J];中学生数理化（学习研究）;2019年01期
【4】王荣，教材中一道题引发的思考——巧用平面知识减少解析几何运算量[A];2016年3月现代教育教学探索学术交流会论文集[C];2016年
贾秋敏 山西省忻州市第一中学校（山西 忻州）