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【摘 要】 对学生进行素质教育，培养学生应用所学知识解决实际问题，越来越受到了广大技工院校教育工作者的高度重视，在黑龙江省技工院校数学课程标准(指导性)中，把培养学生的创新精神和实践能力作为本课程的基本理念，把培养学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识作为本课程的任务。我们在教学工作中，本着理论联系实际，为生产服务的宗旨开展教学，收到了很好的效果。
【关键词】 数学方法 数控加工
2009年11月我参加了学院组织的“教师岗位大练兵”的培训工作，对数控机床加工工件过程有了进一步的了解。数学处理是数控加工过程的一个必不可少的重要环节。数学处理在数控加工中的内容包括数值换算、坐标计算和辅助设计。其中数值换算是准备，坐标计算是核心，辅助设计是完善。数学方法有几何计算法、三角函数计算法、解析几何计算法、作图计算法、代数计算法、拟合计算法、微分计算法、向量代数计算法、计算机辅助计算法等。下面从作图计算法、拟合计算法、计算机辅助计算法三个数学方法在数控加工编程中的实际应用进行举例阐述。
１ 作图计算法
作图计算法的实质是以准确绘图为主，并辅以简单加、减运算的一种处理方法，因其实质为作图，故在习惯上也称为作图法。
作图计算法的要求：①绘图工具的质量应较高。要保证通过所绘图形而得到准确的结果，必须使用质量较高的绘图工具。如绘图板的板面应平整且不能太软、圆规和分规的铰链及螺纹联接不应过松、铅笔的软硬要适度等。②绘图要做到认真、仔细并保证度量准确。③图线应尽量细而清晰，绘制多个同心圆时，要避免圆心移位。④图形严格按比例进行，当采用坐标纸进行绘图时，可尽量选用较大的放大比例，并尽可能使基点落在坐标格的交点上。
作图计算法的适用范围：①适用于精度要求比较高、加工轮廓比较复杂，但加工部位的总体轮廓尺寸却很小的零件。②适用于精度要求比较低、加工轮廓比较简单的零件。③适用于零件粗加工的加工余量分配和切削路线选择的编程，以省掉许多繁琐的数值计算过程，减少出错的几率。④适用于对复杂轮廓几何关系进行分析，还可以与其他计算方法所得结果进行对比校核。
２ 拟合计算法
拟合计算法是指用直线或（和）圆弧代替非圆曲线时，解其节点的方法。
拟合计算的数值计算过程，一般可以按照以下步骤进行：①选择插补拟合方式，即应首先决定是采用直线段逼近非圆曲线，还是采用圆弧段或抛物线等二次曲线逼近非圆曲线。②确定编程允许误差，即应使δ≤δ允。③选择数学模型，确定计算方法。④根据算法，画出计算机处理流程图。⑤高级语言编写程序，上机调试程序，并获得节点坐标数据。⑥对于较为简单或精度要求不高的非圆曲线，常采用手工计算，获得编程用的节点坐标数据。⑦宏程序是含有变量的手工编写程序，是程序编制的高级形式，特别是在处理中等难度的零件，以及拟合处理中灵活应用数学知识和工艺知识的零件，可以获得比计算机自动编程处理快得多的高水平程序。
拟合计算的基础知识：①计算的对象。在手工编程中，拟合计算的对象多为由曲线方程所给定的二维非圆曲线，也可为列表曲线等。②常用拟合方法。手工编程中的拟合方法有弦线拟合法、切线拟合法、割线拟合法和圆弧拟合法等多种，其中前三种均属直线拟合的方法，圆弧拟合方法，图中的G点为圆弧拟合非圆曲线时的节点。弦线拟合法及圆弧拟合法应用较为普遍。
直线拟合计算的示例：已知条件如图所示，试用等间距法对图计算分析图中所示其曲率变化不大的A-S曲线段进行直线拟合计算。
解题分析：①据已知条件和所设定的编程坐标系，可建立该轮廓曲线的椭圆方程式为：＋=1②根据其曲线的走向位置，将轮廓曲线的总增量在横坐标轴上进行10等分后，得到B、C、G、H、N、P、Q、S和T等各节点。③将各等分点的纵坐标值按该曲线的椭圆方程式y=±16（符号取负）进行计算后，列于下表：
④通过以上节点坐标值的计算表，可以看出：其中S、T、U这三个节点间的曲率变化较大，不宜直接采用直线拟合法进行计算，故初步考虑在节点A至S间，采用直线拟合并进行其拟合计算。⑤因为靠近y坐标轴附近的曲线部分，其曲率变化较小，故可取间隔5mm为一段（如A→C及C→H等）进行直线拟合。⑥该直线拟合过程采用边拟合、边分析(计算)其误差的方式进行。
解题步骤和结果：①对A、C两点间的直线拟合。根据A、C两点的已知坐标，由直线方程的两点式，可得直线AC的一般形式方程：0.32x－5y－80=0，利用点B到直线AC的距离公式，可近似分析其拟合误差。其距离d的计算公式为：d=，经计算后的结果（保留两位小数）为：d＝0.08mm。因其拟合误差0.08mm已小于允许的最大编程误差（即图7-7中给定的线轮廓度公差0.1mm），故该拟合结果正确。②对C、H两点间的直线拟合。建立直线CH的一般形式方程：1.02x－5y－83.5＝0，按前述距离公式并经计算后的结果为：d＝0.09mm，因其拟合误差0.09mm也小于允许的最大编程误差，故该拟合结果正确。③对H、P两点间的直线拟合。建立直线HP的一般形式方程：2.08x－5y－94.1＝0，按前述距离公式并经计算后的结果为：d＝0.22mm，因其误差超过了允许值，故必须减小其拟合的分段间隔。④减小分段间隔后，对H、N两点间的直线拟合。先在H、N两点间，按其椭圆方程式计算出相应的中点（或近似中点）M1（假定取x＝11.3时）的坐标值；建立直线HN的一般形式方程：0.8x－2.5y－44.65＝0，按前述距离公式并经计算后的结果为：d＝0.03（mm），因其误差0.03mm小于允许的最大编程误差，故H、N间的直线拟合正确。⑤按以上方法和步骤，即可完成其余各节点的直线拟合。
３ 计算机辅助计算法
计算机辅助计算法是指利用CAD/CAM工具，利用数学软件分析计算数控加工中的基点、节点和参数点的方法。这个方法是一种十分先进、有效的方法，它可以取代手工计算来完成较为复杂的、繁琐的题目的运算。
计算机辅助计算法分三个层面：①利用计算软件工具进行分析计算。计算机中所有的方法：BASIC、FORTRAN、数据库、MatLab、Mathmatica等等，给我们提供了从初等数学到高等数学不同专业所用的各种数学工具。②CAD绘图分析法。CAD绘图分析基点与节点坐标，采用CAD绘图来分析基点与节点坐标时，首先应学会一种CAD软件的使用方法，然后用该软件绘制出二维零件图并标出相应尺寸（通常是基点与工件坐标系原点间的尺寸），最后根据坐标系的方向及所标注的尺寸确定基点的坐标。
采用这种方法分析基点坐标时，要注意以下几方面的问题：①绘图要细致认真，不能出错；②图形绘制时应严格按1：1的比例进行；③尺寸标注的精度要设置正确，通常为小数点后三位；④标注尺寸时找点要精确，不能捕捉到无关的点上去。
CAD绘图分析法的特点是可以避免大量复杂的人工计算，操作方便，基点分析精度高，出错几率少。因此，建议尽可能采用这种方法来分析基点与节点坐标。
通过上述理论联系实际的数学教学，使得学生应用数学解决实际问题的能力得到很大的提高，同学们学习数学的积极性提高了，他们感觉到数学不再是枯燥无味的，学起来很有意思，主动地去学习，主动性提高了，学习的效果自然也就好了。另一方面，对我们数学教师，也提出了新的要求，以前只是从纯理论的角度去讲数学，学生觉得难懂乏味，学了无用。现在要求我们数学教师要根据不同的专业讲授不同的数学内容，理论联系实际，这也需要我们深入工厂企业，与专业课教师合作，使我们自己在专业上也有所提高，在教学中更有针对性，让理论基础课更好地为专业课服务，同生产实际相结合。
参考文献
１ 闻福三等.数控应用数学.北京：机械工业出版社，2007
【关键词】 数学方法 数控加工
2009年11月我参加了学院组织的“教师岗位大练兵”的培训工作，对数控机床加工工件过程有了进一步的了解。数学处理是数控加工过程的一个必不可少的重要环节。数学处理在数控加工中的内容包括数值换算、坐标计算和辅助设计。其中数值换算是准备，坐标计算是核心，辅助设计是完善。数学方法有几何计算法、三角函数计算法、解析几何计算法、作图计算法、代数计算法、拟合计算法、微分计算法、向量代数计算法、计算机辅助计算法等。下面从作图计算法、拟合计算法、计算机辅助计算法三个数学方法在数控加工编程中的实际应用进行举例阐述。
１ 作图计算法
作图计算法的实质是以准确绘图为主，并辅以简单加、减运算的一种处理方法，因其实质为作图，故在习惯上也称为作图法。
作图计算法的要求：①绘图工具的质量应较高。要保证通过所绘图形而得到准确的结果，必须使用质量较高的绘图工具。如绘图板的板面应平整且不能太软、圆规和分规的铰链及螺纹联接不应过松、铅笔的软硬要适度等。②绘图要做到认真、仔细并保证度量准确。③图线应尽量细而清晰，绘制多个同心圆时，要避免圆心移位。④图形严格按比例进行，当采用坐标纸进行绘图时，可尽量选用较大的放大比例，并尽可能使基点落在坐标格的交点上。
作图计算法的适用范围：①适用于精度要求比较高、加工轮廓比较复杂，但加工部位的总体轮廓尺寸却很小的零件。②适用于精度要求比较低、加工轮廓比较简单的零件。③适用于零件粗加工的加工余量分配和切削路线选择的编程，以省掉许多繁琐的数值计算过程，减少出错的几率。④适用于对复杂轮廓几何关系进行分析，还可以与其他计算方法所得结果进行对比校核。
２ 拟合计算法
拟合计算法是指用直线或（和）圆弧代替非圆曲线时，解其节点的方法。
拟合计算的数值计算过程，一般可以按照以下步骤进行：①选择插补拟合方式，即应首先决定是采用直线段逼近非圆曲线，还是采用圆弧段或抛物线等二次曲线逼近非圆曲线。②确定编程允许误差，即应使δ≤δ允。③选择数学模型，确定计算方法。④根据算法，画出计算机处理流程图。⑤高级语言编写程序，上机调试程序，并获得节点坐标数据。⑥对于较为简单或精度要求不高的非圆曲线，常采用手工计算，获得编程用的节点坐标数据。⑦宏程序是含有变量的手工编写程序，是程序编制的高级形式，特别是在处理中等难度的零件，以及拟合处理中灵活应用数学知识和工艺知识的零件，可以获得比计算机自动编程处理快得多的高水平程序。
拟合计算的基础知识：①计算的对象。在手工编程中，拟合计算的对象多为由曲线方程所给定的二维非圆曲线，也可为列表曲线等。②常用拟合方法。手工编程中的拟合方法有弦线拟合法、切线拟合法、割线拟合法和圆弧拟合法等多种，其中前三种均属直线拟合的方法，圆弧拟合方法，图中的G点为圆弧拟合非圆曲线时的节点。弦线拟合法及圆弧拟合法应用较为普遍。
直线拟合计算的示例：已知条件如图所示，试用等间距法对图计算分析图中所示其曲率变化不大的A-S曲线段进行直线拟合计算。
解题分析：①据已知条件和所设定的编程坐标系，可建立该轮廓曲线的椭圆方程式为：＋=1②根据其曲线的走向位置，将轮廓曲线的总增量在横坐标轴上进行10等分后，得到B、C、G、H、N、P、Q、S和T等各节点。③将各等分点的纵坐标值按该曲线的椭圆方程式y=±16（符号取负）进行计算后，列于下表：
④通过以上节点坐标值的计算表，可以看出：其中S、T、U这三个节点间的曲率变化较大，不宜直接采用直线拟合法进行计算，故初步考虑在节点A至S间，采用直线拟合并进行其拟合计算。⑤因为靠近y坐标轴附近的曲线部分，其曲率变化较小，故可取间隔5mm为一段（如A→C及C→H等）进行直线拟合。⑥该直线拟合过程采用边拟合、边分析(计算)其误差的方式进行。
解题步骤和结果：①对A、C两点间的直线拟合。根据A、C两点的已知坐标，由直线方程的两点式，可得直线AC的一般形式方程：0.32x－5y－80=0，利用点B到直线AC的距离公式，可近似分析其拟合误差。其距离d的计算公式为：d=，经计算后的结果（保留两位小数）为：d＝0.08mm。因其拟合误差0.08mm已小于允许的最大编程误差（即图7-7中给定的线轮廓度公差0.1mm），故该拟合结果正确。②对C、H两点间的直线拟合。建立直线CH的一般形式方程：1.02x－5y－83.5＝0，按前述距离公式并经计算后的结果为：d＝0.09mm，因其拟合误差0.09mm也小于允许的最大编程误差，故该拟合结果正确。③对H、P两点间的直线拟合。建立直线HP的一般形式方程：2.08x－5y－94.1＝0，按前述距离公式并经计算后的结果为：d＝0.22mm，因其误差超过了允许值，故必须减小其拟合的分段间隔。④减小分段间隔后，对H、N两点间的直线拟合。先在H、N两点间，按其椭圆方程式计算出相应的中点（或近似中点）M1（假定取x＝11.3时）的坐标值；建立直线HN的一般形式方程：0.8x－2.5y－44.65＝0，按前述距离公式并经计算后的结果为：d＝0.03（mm），因其误差0.03mm小于允许的最大编程误差，故H、N间的直线拟合正确。⑤按以上方法和步骤，即可完成其余各节点的直线拟合。
３ 计算机辅助计算法
计算机辅助计算法是指利用CAD/CAM工具，利用数学软件分析计算数控加工中的基点、节点和参数点的方法。这个方法是一种十分先进、有效的方法，它可以取代手工计算来完成较为复杂的、繁琐的题目的运算。
计算机辅助计算法分三个层面：①利用计算软件工具进行分析计算。计算机中所有的方法：BASIC、FORTRAN、数据库、MatLab、Mathmatica等等，给我们提供了从初等数学到高等数学不同专业所用的各种数学工具。②CAD绘图分析法。CAD绘图分析基点与节点坐标，采用CAD绘图来分析基点与节点坐标时，首先应学会一种CAD软件的使用方法，然后用该软件绘制出二维零件图并标出相应尺寸（通常是基点与工件坐标系原点间的尺寸），最后根据坐标系的方向及所标注的尺寸确定基点的坐标。
采用这种方法分析基点坐标时，要注意以下几方面的问题：①绘图要细致认真，不能出错；②图形绘制时应严格按1：1的比例进行；③尺寸标注的精度要设置正确，通常为小数点后三位；④标注尺寸时找点要精确，不能捕捉到无关的点上去。
CAD绘图分析法的特点是可以避免大量复杂的人工计算，操作方便，基点分析精度高，出错几率少。因此，建议尽可能采用这种方法来分析基点与节点坐标。
通过上述理论联系实际的数学教学，使得学生应用数学解决实际问题的能力得到很大的提高，同学们学习数学的积极性提高了，他们感觉到数学不再是枯燥无味的，学起来很有意思，主动地去学习，主动性提高了，学习的效果自然也就好了。另一方面，对我们数学教师，也提出了新的要求，以前只是从纯理论的角度去讲数学，学生觉得难懂乏味，学了无用。现在要求我们数学教师要根据不同的专业讲授不同的数学内容，理论联系实际，这也需要我们深入工厂企业，与专业课教师合作，使我们自己在专业上也有所提高，在教学中更有针对性，让理论基础课更好地为专业课服务，同生产实际相结合。
参考文献
１ 闻福三等.数控应用数学.北京：机械工业出版社，2007