论文部分内容阅读
[摘要]在椭圆中点弦问题的教学中,如果联立方程组,往往计算比较烦琐,本节课堂实录通过引导学生寻找利用合理的方法,教会学生自主探究,动手实践,合作交流,用问题探究的方式让学生亲历知识的发现的过程,体现学生思维的多样性,培养学生的创新意识,激发学生自动探究数学的兴趣,达到自主学习数学的目的。
[关键词]椭圆习题实录感悟合作交流
[中图分类号]G633.6
[文献标识码]A
[文章编号]1674-6058(2016)32-0015
在讲授椭圆几何性质时,我选了一道习题让学生在课前思考,然后在课堂上讲解,教学过程有点偏离了预设的轨道,但整个课堂鲜活灵动,是一个有效生成的课堂,我从中也收获了很多。
师:非常好!把椭圆问题用圆来处理了,这种方法通过坐标的伸缩变换,巧妙地把椭圆中的弦中点问题转化为圆中的弦中点问题,利用圆的垂径定理,使问题迅速解决,但是要注意经过伸缩变化后,原坐标下的点也要相应转化,还有其他方法吗?
生8:用几何画板画图,从图中直接得出直线AB与x轴的交点为D,且点D关于直线PQ与原点0对称,所以点D的坐标为(8,0),结合点P(4,2)得到直线AB的方程为x 2y-8=0。
师:生8观察很敏锐,看到了对称性,如果是客观题的话非常好,不过这种方法需要画出比较精确的图示,我们再仔细观察一下,还有其他方法吗?可以对照所求直线的方程来看,
生9:(0,3)(6,0)这两点的连线与所求的直线是平行的,
师:我们能不能利用观察所得的结论把问题解决呢?谁来试一试?
生10:设椭圆与坐标轴正方向的交点分别为L,M,作直线LM,交直线OP于Q根据题意,得直线LM的方程为y=-0.5x 3,直线OP的方程为y=0,5x,联立上述方程解得x=3,y-1.5,得到Q坐标为(3,1.5),而L(0,3),M(6,0),这样点Q正好是线段LM的中点,于是就有了一条与直线LM平行的直线与椭圆的两个交点关于这条直线与直线OP的交点对称,即有过点P且与直线LM平行的直线交椭圆的线段被点P平分,从而得到所求直线的斜率为-O.5,有点斜式直线方程得到所求的直线方程为y-2=-0.5(x-4),即x 2y-8=0。
师:厉害!你是怎么得到有过点P且与直线LM平行的直线交椭圆的线段被点P平分的?能否证明一下?是不是对任意的椭圆都会有这样的一个结论呢?如果存在,你能证明吗?请同学们课后思考。
师:下面我来简单小结一下。
(1)生1的解法是通法,对椭圆适用,对其他圆锥曲线也是适用的,我们要掌握、理解这样的通法。
(2)要积极运用基础知识,同学们给出这么多的解法都来源于牢固的基础知识,生6的类比思想,生8的猜想,用合情推理来解决问题,这是同学们良好基础知识融会贯通的体现。
(3)解题时要注意条件的限制,一定要检验。
二、教学感悟
第一,对于中点弦问题,我们要理解并掌握它的通法,更应深入理解通法的利弊,其最大的弊端是运算量较大,为了突破这一难点,要让学生探究是否还有其他方法来解决,通过学生自主探究,动手实践,合作交流,加上教师的适当引导,打开了学生的思路,激发了学生学习数学的兴趣,培养了学生自主学习、积极探索的能力,这与新课标倡导的积极主动、勇于探索的学习方式是相吻合的,同时让学生先思考后交流,允许他们发问、质疑、交流、合作,达到共同发现好的方法或者一致性的结论,学生暂时不能发现的,教师予以适当点拨,让学生领悟到解题的思路和策略,培养学生分析问题和解决问题的能力,增强学生学习数学的信心。
第二,本題是椭圆的中点弦问题,学习椭圆之前,学生已经全面学习了圆的知识,椭圆中点弦问题可以类比成圆的中点弦问题,联系之前学会的坐标的伸缩变换,把椭圆转化为圆,利用圆的知识来解决会比较容易,既降低了解题的难度,又拓展了学生的解题思路。
第三,当题目解法比较多时,首先要掌握通法,这是解决圆锥曲线中点弦问题的基本方法,要熟练应用这种基本方法,其次,要运用解题技巧,如“设而不求”“点差法”“巧用对称”“利用类比联想”等,提高解题效率,提升解题能力,最后,要学会总结、归纳、反思,各种方法要择优选用,解完题后要认真总结解题步骤,认真反思不同的方法和应注意的问题及如解法规律、运算规律、涉及的相关知识、数学思想及哪些地方容易忽视等,解完题后也要总结一下解法中简化运算的技巧,这样才能真正在教学中真正落实“授人以鱼,不如授人以渔”,充分体现“以学生为主体,以教师为主导”“全面提升学生数学素养”的教学理念。
第四,当学生的想法出乎教师的意料时,教师要有较强的应变能力和足够的耐心,决不能轻易地否定学生的想法,要善于从学生的思路中找出其合理部分,从而设法将“预设性课堂”变成“生成性课堂”,并抓住学生思路中的合理部分,引导学生展开探究,进一步完善问题的解法。
[关键词]椭圆习题实录感悟合作交流
[中图分类号]G633.6
[文献标识码]A
[文章编号]1674-6058(2016)32-0015
在讲授椭圆几何性质时,我选了一道习题让学生在课前思考,然后在课堂上讲解,教学过程有点偏离了预设的轨道,但整个课堂鲜活灵动,是一个有效生成的课堂,我从中也收获了很多。
师:非常好!把椭圆问题用圆来处理了,这种方法通过坐标的伸缩变换,巧妙地把椭圆中的弦中点问题转化为圆中的弦中点问题,利用圆的垂径定理,使问题迅速解决,但是要注意经过伸缩变化后,原坐标下的点也要相应转化,还有其他方法吗?
生8:用几何画板画图,从图中直接得出直线AB与x轴的交点为D,且点D关于直线PQ与原点0对称,所以点D的坐标为(8,0),结合点P(4,2)得到直线AB的方程为x 2y-8=0。
师:生8观察很敏锐,看到了对称性,如果是客观题的话非常好,不过这种方法需要画出比较精确的图示,我们再仔细观察一下,还有其他方法吗?可以对照所求直线的方程来看,
生9:(0,3)(6,0)这两点的连线与所求的直线是平行的,
师:我们能不能利用观察所得的结论把问题解决呢?谁来试一试?
生10:设椭圆与坐标轴正方向的交点分别为L,M,作直线LM,交直线OP于Q根据题意,得直线LM的方程为y=-0.5x 3,直线OP的方程为y=0,5x,联立上述方程解得x=3,y-1.5,得到Q坐标为(3,1.5),而L(0,3),M(6,0),这样点Q正好是线段LM的中点,于是就有了一条与直线LM平行的直线与椭圆的两个交点关于这条直线与直线OP的交点对称,即有过点P且与直线LM平行的直线交椭圆的线段被点P平分,从而得到所求直线的斜率为-O.5,有点斜式直线方程得到所求的直线方程为y-2=-0.5(x-4),即x 2y-8=0。
师:厉害!你是怎么得到有过点P且与直线LM平行的直线交椭圆的线段被点P平分的?能否证明一下?是不是对任意的椭圆都会有这样的一个结论呢?如果存在,你能证明吗?请同学们课后思考。
师:下面我来简单小结一下。
(1)生1的解法是通法,对椭圆适用,对其他圆锥曲线也是适用的,我们要掌握、理解这样的通法。
(2)要积极运用基础知识,同学们给出这么多的解法都来源于牢固的基础知识,生6的类比思想,生8的猜想,用合情推理来解决问题,这是同学们良好基础知识融会贯通的体现。
(3)解题时要注意条件的限制,一定要检验。
二、教学感悟
第一,对于中点弦问题,我们要理解并掌握它的通法,更应深入理解通法的利弊,其最大的弊端是运算量较大,为了突破这一难点,要让学生探究是否还有其他方法来解决,通过学生自主探究,动手实践,合作交流,加上教师的适当引导,打开了学生的思路,激发了学生学习数学的兴趣,培养了学生自主学习、积极探索的能力,这与新课标倡导的积极主动、勇于探索的学习方式是相吻合的,同时让学生先思考后交流,允许他们发问、质疑、交流、合作,达到共同发现好的方法或者一致性的结论,学生暂时不能发现的,教师予以适当点拨,让学生领悟到解题的思路和策略,培养学生分析问题和解决问题的能力,增强学生学习数学的信心。
第二,本題是椭圆的中点弦问题,学习椭圆之前,学生已经全面学习了圆的知识,椭圆中点弦问题可以类比成圆的中点弦问题,联系之前学会的坐标的伸缩变换,把椭圆转化为圆,利用圆的知识来解决会比较容易,既降低了解题的难度,又拓展了学生的解题思路。
第三,当题目解法比较多时,首先要掌握通法,这是解决圆锥曲线中点弦问题的基本方法,要熟练应用这种基本方法,其次,要运用解题技巧,如“设而不求”“点差法”“巧用对称”“利用类比联想”等,提高解题效率,提升解题能力,最后,要学会总结、归纳、反思,各种方法要择优选用,解完题后要认真总结解题步骤,认真反思不同的方法和应注意的问题及如解法规律、运算规律、涉及的相关知识、数学思想及哪些地方容易忽视等,解完题后也要总结一下解法中简化运算的技巧,这样才能真正在教学中真正落实“授人以鱼,不如授人以渔”,充分体现“以学生为主体,以教师为主导”“全面提升学生数学素养”的教学理念。
第四,当学生的想法出乎教师的意料时,教师要有较强的应变能力和足够的耐心,决不能轻易地否定学生的想法,要善于从学生的思路中找出其合理部分,从而设法将“预设性课堂”变成“生成性课堂”,并抓住学生思路中的合理部分,引导学生展开探究,进一步完善问题的解法。