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摘 要：以氢原子在强外磁场中的光吸收为例,介绍闭合轨道理论的基本思想和物理图像以及标度变量回归谱学的概念,说明它与周期轨道理论之间的关系.强调在高激发情况下多周期现象具有一定普遍性.
关键词：闭合轨道理论;回归谱;里德堡态;周期轨道理论;多周期现象
中图分类号: 0562.3,0561.3
闭合轨道理论提出至今已近二十年，该理论首先在解释强外场原子和分子光吸收谱中获得巨大成功。随后则被广泛推广应用到物理学的许多领域，成为研究许多强非线性现象和量子混沌体系的典型例子和可供选择的重要理论工具。著名物理学家，美国MIT的Kleppner教授认为：“这一理论方法提供了物理洞见，而相应问题的量子力学则是模糊不清的。更为重要的是，它已成为联系量子力学和经典世界的唯一桥梁。” 为了更好理解其理论背景和适用条件。我们在本文中对该理论的主要方面作深入探索。
1．光吸收问题的物理图象
本文以我们近年的一些工作为例，目的在于说明基于闭合轨道理论的半经典方法并非权宜之计，它可以从本质上反映某些量子过程的特性。Bohr对应原理指出，一个体系当量子数足够大时，其性质趋于经典行为。典型例子就是原子分子的高激发里德堡态，由于能级间距很小，在外场作用下，能级强烈交叉，出现所谓“意大利面条”景象。这使得关注个别本征态已不可能。显然，降低分辨率，用△E间隔内的量子态数（即态密度）能更好表征体系的性质。这就是闭合轨道理论和周期轨道理论产生背景之一。其直接诱因则是强外场中原子的光吸收谱实验的新发现。强场中高激发里德堡态的研究始于上一世纪70年代。1969年，美国Argonne 实验室的两位天体物理学家 Garton 和 Tomkins 发现了Ba 原子在外加磁场中的奇异的光吸收谱 ：磁场较低时，可以清楚看到谱线的分裂现象；增大磁场强度时，谱线产生一系列振荡，其中包含间隔为1.5 的峰（表示朗道频率, 这就是后来这种谱为被称准朗道振荡的原因）；而在电离阈附近看到的是平滑背景上迭加上一系列无规则的振荡峰。这个现象困扰物理学界近二十年，直到1987年，由杜孟利和Delos 、Bogomoly分别提出闭合轨道理论，才圆满解释了这一问题 。图1给出了原子在外场中光吸收谱的物理图象。从本质上看，闭合轨道理论揭示了量子跃迁过程的多周期现象。它对外场中光吸收的跃迁过程进行半经典量子化，归结为一系列闭合轨道的贡献。
由于物理图像清晰，更由于人们对强外场物理的特殊关注以及高激发态问题的普遍性，因而该理论得到广泛应用。近二十年来这方面的研究长盛不衰，已发展成为原子分子物理学重要的前沿领域。如解释原子、分子在强外场中的光吸收谱 ，光剥离显微术 ，在介质层中原子的自发辐射（光子闭合轨道） ，直至量子台球及微腔输运 等。
（1）基态或低激发态原子受到
基金项目:国家自然科学基金资助项目(10374061).
连续激光照射跃迁到高激发态。（2）原子吸收光子，在Coulomb场中发生散射，向各个方向发射电子波。（3）当电子波运动到离核距离大于约 10 时，半经典理论给出很好的近似解，电子波按照经典轨迹向外传播。（4）一簇轨道向外传播，遇到一个焦散点（5），一个焦点（6），另外一个焦散点（7）。这组轨道从图示方向出发，轨道在场中发生弯曲又朝着原子方向返回（8）。回到距离核约10a0左右时，我们视之为入射Coulomb波（9），入射Coulomb波继续向里传播（10），直到与出射波（11）干涉。
2．强磁场中Rydberg氢原子的光吸收谱
以磁场中的氢原子为例，采用原子单位： ，设磁场沿z轴，强场时，略去磁场一次项（Zeeman项为常量），在对称规范下，原子在柱坐标系中的哈密顿量写成（1）
在对体系进行深入分析之前，首先需要对标度场作一说明。对于原子体系，当外加场的作用与核库仑场可比时为强场，因而用F 标度电场；用 标度磁场。这里的F为电场强度，若取 时，化为原子单位需除以5.14× ;磁场强度B取Tesla时，化为原子单位需除以2.35× ,n为主量子数。容易看出，当n=30～50,实验室场强B～1和F～100均为强场，从而表明高激发态对外场敏感的特性。
当连续激光把氢原子从基态或低激发态(如2P态)激发到n＞30的里德堡态，微扰论显然不适用。又因为库仑场是球对称的，而磁场在场轴方向作用力为零，可见，也不能分离变量。麻省理工学院的Klepnner教授曾把这一问题称为“单电子量子力学的最后难题。”这个问题在杜孟利的最初工作中已作了成功的处理。其物理图像是: 原子吸收光子能量后, 跃迁到高里德堡态。 相应电子经受零能库仑散射。近核处 ，外场影响可忽略，量子Green函数传播出射电子波；远离核处，电子波在外场和库仑场联合作用下沿经典轨道运行并发生折转，返回到核附近的部分电子波与出射波相干迭加,从而导致振荡能量谱。光吸收率正比于量子跃迁的振子强度密度，它的Fourier变换称回归谱。推导得到的振子强度密度可写成
它表示：外场中的原子光吸收谱等于无外场时光滑背景项迭加上一些正弦振荡项，每一个振荡项对应一个闭合轨道的贡献，式中 对应于第i条闭合轨道的作用量，Ai 是它的振幅，取决于轨道的稳定性。实际计算中只须计及少数若干较短的轨道即可。谱的分辨率由最大轨道返回时间决定 。显然，较短的闭合轨道给出了谱的大尺度的结构，而长的轨道则进一步给出谱的细节。理论计算得到的结果如上图所示, 与实验完全一致 。
3．标度变量回归谱学
吸收谱的Fourier变换称为回归谱。这里采用的是标度变量回归谱分析方法。这也是闭合轨道理论的重要特点之一。
理论上，谱分析常用 表示，其Fourier 变换为
f(t)。但对于闭合轨道而言，由于在t=Tk(轨道返回时间）处出现吸收峰，而T 又依赖于体系的哈密顿量（能量E），故当能量改变时，峰将被抹平，说明E与t 不独立。解决的办法就是引进标度变量, 取
此式可看成量子化条件。因为 和E有关，故称为“类能量变量”，而标度作用量 称为“类时间变量”，由 到 的Fourier变换是独立的。低场高激发与高场低激发态具有类似性质，即氢原子的动力学性质完全由标度能量决定：低时，电子运动是规则的； →0时，其行为是混沌的。
引进标度变量的另一重要原因是为了把理论计算结果直接与实验比较。这里涉及经典极限 →0。由于在原子单位中 1而无法实现。采用标度变量恰好克服了这个困难。由（3）式可知，标度变换后的对易关系满足 ，由此引进一个有效普朗克常数 ,通过调节激光频率和外场强度，使得研究半经典极限条件 →0成为可能。
以上结果表明，关于回归谱学的闭合轨道理论不仅改变了看问题的角度和观测尺度，而且改变了实验方式。图2是一个典型的例子，给定标度能量 ，计算或解释回归谱时只须
考虑单独一组经典闭合轨道的贡献。在有限分辨率下，通常计算十几条乃至几条较短道就得出收敛的结果。4．闭
4.幕式闭合轨道与周期轨道理论的联系
科学理论发展往往出现这样的景象，在人们为某项新发现的意义而苦苦思索，找寻新的解释时，却突然领悟到实际上它是过去已有理论的自然延伸和拓展。从闭合轨道理论提出到现在近二十年，在许多不同体系上都取得巨大的成功。人们在应用理论的同时，也从各个不同角度探索它的内涵和来源，此后Gutzwiller的量子态密度的迹公式开始受到广泛关注。这个公式是1971年提出的，也正是物理学家开始对高激发的里德堡态感兴趣的时候，很可能Gutzwiller也看到过Garton和Tomkins的实验，但他心中惦念的却是另一个更为迫切的问题，那就是混沌。Gutzwiller意识到，对于混沌体系，不存在好量子数，唯一的不变量是周期轨道，它是嵌埋在相空间 截面的一系列岛状和线状结构中孤立的点，对混沌性质起决定作用。其基本思想是：量子态密度采用Green算子(预解式)表示；用Green函数代替Green算子，对能量Green函数进行Fourier变换得到时空传播子并与路径积分相联系。在半经典近似下用稳定相近似得到迹公式，稳定相点条件给出经典周期轨道。他的态密度迹公式是
等式左边是量子态密度，右边是经典对应：第一项是背景，第二项对周期轨道求和。形式上与闭合轨道理论相似，但物理含义不同。
其共同点是：两个理论不仅适用于可积系统，而且适用于不可积系统；都可近似给出体系的能谱和波函数；求和都是对分立的经典轨道进行。但也有显著区别：首先，应用周期轨道理论时要求粒子的运动状态（如动量）具有周期性，因此连续两次通过空间某点的动量须相等。而闭合轨道理论只要求粒子从某点出发再回到该点附近即可，因为它关注的是波函数发生相干的特点。有鉴于此，在原子、分子体系的激发或电离过程中，一般只有闭合轨道而没有周期轨道。此外，闭合轨道理论还可以扩展到波函数在空间任意两点的传播，即开轨道的情况 。
闭合轨道理论的巨大成功得益于周期轨道理论理论的开创性思想。美国著名物理学家Reichl的评价是：“可以认为Gutzwiller的工作是量子力学发展史上的重要里程碑。 ”而对于闭合轨道理论及其随后的发展，Kleppner和 Delos则指出：“基于Gutzwiller工作的半经典方法可以对那些量子解模糊不清的问题提供物理洞见。而且它提供了联系量子和经典世界的唯一桥梁。 ”
5．结束语
我们以氢原子在外磁场中的光激发为例，说明这个量子跃迁过程具有多周期性，它相应于一系列闭合轨道的
贡献。特别对于原子高激发态的混沌区，闭合轨道理论清晰地给出了量子跃迁隐含的物理图像－多周期现象。这个理论方法可以很自然地扩展到复杂原子或分子在外场中的光吸收研究 ，甚至对于开轨道问题，如具有混沌性质的体育场型的量子台球 ，它为微腔输运的研究提供了理论依据。实际上，类似量子跃迁也可在正能区的电离态中出现。最近，Delos等人发现，原子电离时，激发态上布居的衰减并非过去预想的指数式下降，而是在指数型背景上迭加上一系列脉冲式峰状阵列，它对应于电子从原子核逸出时间的时间序列，这些峰具有分形结构。这种情况同样属于多周期现象，也可以用闭合轨道理论解释 。
参考文献：
[1] Gutzwiller M.C. Resource letter ICQM-1: The interplay between classical and quantum mechanics [J]. Am. J. phys. 1998, 66(4), 304-324.
[2] Kleppner D. and Delos J.B. Beyond quantum mechanics: Insights from the work of Martin Gutzwiller [J]. Foundationsofphysics. 2001, 31(4), 593-612.
[3] Garton W. R. S. and Tomkins F. S. Diamagnetic Zeeman effect and magnetic configuration mixing in long spectral series of BaⅠ [J] The Astrophysical Journal 1969, 158,839-845.
[4] Du M. L and Delos J.B. Effects of closed orbits on quantum spectra: Ionization of atom in a magnetic field [J] Phys. Rev. Lett. 1987, 58, 1731-1734.
[5] Main J., Wiebusch G. , Holle A., and Welge K.H. New quasi-Landau structure of high excited atoms.[J] Phys. Rev. Lett. 1986, 57, 2789-2792
[6] Liu Z. Y., Wang D. H. and Lin S.L. Photodetachment cross section of H- in electric and magnetic fields with any orientation.[J] Phys. RevA 1996, 54(8), 4078-4091.
[7] Lin Sheng-Lu, Zhang Qiu-Ju , et.al. Semiclassical. Calculations of recurrence spectra for Lithium atoms in parallel electric and magnetic fields [J]Chin. Phys. Lett. 2002, 19(1), 29-32
[8] Lin Sheng-Lu , Li Hong-Yun et. al. Recurrence spectra of He atoms in Strong external fields.[J] Science in China Ser. G 2004, 47 (4), 477-484.
[9] Matzkin A., Dando P.A. andMonteiro T. S. Closed-orbit theory for molecules in fields.[J] Phys. Rev.A,2002, 66(1), 013410: 1-18
[10] Delsart C., Goldfarb F. and Blondel C. Molecular photodetachment microscopy [J] Phys. Rev. Lett.2002, 89(11), 183002(1-4).
[11] Du M.L. Fu-He Wang et. al. Oscillation in the spontaneous emission rate of atoms in a dielectric slab: Effects of photo closed orbits.[J] Phys. Rev A 2005, 71, 065401(1-4).
[12] Xu Xue-You, Gao Song, Lin Sheng-Lu et. al. Semiclassical analysis of quarter stadium billiards [J] Chin. Phys. Lett. 2006, 23(4), 765-767.
[13] Reichl L.E. The transition to chaos.[M]Springer-Verlag1992, p368.
[14] Mitchell K.A., Handley J.P. et .al. Chaos-induced pulse trains in the ionization of Hydrogen [J] Phys. Rev. Lett. 2004, 92(7), 073001(1-4)
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
关键词：闭合轨道理论;回归谱;里德堡态;周期轨道理论;多周期现象
中图分类号: 0562.3,0561.3
闭合轨道理论提出至今已近二十年，该理论首先在解释强外场原子和分子光吸收谱中获得巨大成功。随后则被广泛推广应用到物理学的许多领域，成为研究许多强非线性现象和量子混沌体系的典型例子和可供选择的重要理论工具。著名物理学家，美国MIT的Kleppner教授认为：“这一理论方法提供了物理洞见，而相应问题的量子力学则是模糊不清的。更为重要的是，它已成为联系量子力学和经典世界的唯一桥梁。” 为了更好理解其理论背景和适用条件。我们在本文中对该理论的主要方面作深入探索。
1．光吸收问题的物理图象
本文以我们近年的一些工作为例，目的在于说明基于闭合轨道理论的半经典方法并非权宜之计，它可以从本质上反映某些量子过程的特性。Bohr对应原理指出，一个体系当量子数足够大时，其性质趋于经典行为。典型例子就是原子分子的高激发里德堡态，由于能级间距很小，在外场作用下，能级强烈交叉，出现所谓“意大利面条”景象。这使得关注个别本征态已不可能。显然，降低分辨率，用△E间隔内的量子态数（即态密度）能更好表征体系的性质。这就是闭合轨道理论和周期轨道理论产生背景之一。其直接诱因则是强外场中原子的光吸收谱实验的新发现。强场中高激发里德堡态的研究始于上一世纪70年代。1969年，美国Argonne 实验室的两位天体物理学家 Garton 和 Tomkins 发现了Ba 原子在外加磁场中的奇异的光吸收谱 ：磁场较低时，可以清楚看到谱线的分裂现象；增大磁场强度时，谱线产生一系列振荡，其中包含间隔为1.5 的峰（表示朗道频率, 这就是后来这种谱为被称准朗道振荡的原因）；而在电离阈附近看到的是平滑背景上迭加上一系列无规则的振荡峰。这个现象困扰物理学界近二十年，直到1987年，由杜孟利和Delos 、Bogomoly分别提出闭合轨道理论，才圆满解释了这一问题 。图1给出了原子在外场中光吸收谱的物理图象。从本质上看，闭合轨道理论揭示了量子跃迁过程的多周期现象。它对外场中光吸收的跃迁过程进行半经典量子化，归结为一系列闭合轨道的贡献。
由于物理图像清晰，更由于人们对强外场物理的特殊关注以及高激发态问题的普遍性，因而该理论得到广泛应用。近二十年来这方面的研究长盛不衰，已发展成为原子分子物理学重要的前沿领域。如解释原子、分子在强外场中的光吸收谱 ，光剥离显微术 ，在介质层中原子的自发辐射（光子闭合轨道） ，直至量子台球及微腔输运 等。
（1）基态或低激发态原子受到
基金项目:国家自然科学基金资助项目(10374061).
连续激光照射跃迁到高激发态。（2）原子吸收光子，在Coulomb场中发生散射，向各个方向发射电子波。（3）当电子波运动到离核距离大于约 10 时，半经典理论给出很好的近似解，电子波按照经典轨迹向外传播。（4）一簇轨道向外传播，遇到一个焦散点（5），一个焦点（6），另外一个焦散点（7）。这组轨道从图示方向出发，轨道在场中发生弯曲又朝着原子方向返回（8）。回到距离核约10a0左右时，我们视之为入射Coulomb波（9），入射Coulomb波继续向里传播（10），直到与出射波（11）干涉。
2．强磁场中Rydberg氢原子的光吸收谱
以磁场中的氢原子为例，采用原子单位： ，设磁场沿z轴，强场时，略去磁场一次项（Zeeman项为常量），在对称规范下，原子在柱坐标系中的哈密顿量写成（1）
在对体系进行深入分析之前，首先需要对标度场作一说明。对于原子体系，当外加场的作用与核库仑场可比时为强场，因而用F 标度电场；用 标度磁场。这里的F为电场强度，若取 时，化为原子单位需除以5.14× ;磁场强度B取Tesla时，化为原子单位需除以2.35× ,n为主量子数。容易看出，当n=30～50,实验室场强B～1和F～100均为强场，从而表明高激发态对外场敏感的特性。
当连续激光把氢原子从基态或低激发态(如2P态)激发到n＞30的里德堡态，微扰论显然不适用。又因为库仑场是球对称的，而磁场在场轴方向作用力为零，可见，也不能分离变量。麻省理工学院的Klepnner教授曾把这一问题称为“单电子量子力学的最后难题。”这个问题在杜孟利的最初工作中已作了成功的处理。其物理图像是: 原子吸收光子能量后, 跃迁到高里德堡态。 相应电子经受零能库仑散射。近核处 ，外场影响可忽略，量子Green函数传播出射电子波；远离核处，电子波在外场和库仑场联合作用下沿经典轨道运行并发生折转，返回到核附近的部分电子波与出射波相干迭加,从而导致振荡能量谱。光吸收率正比于量子跃迁的振子强度密度，它的Fourier变换称回归谱。推导得到的振子强度密度可写成
它表示：外场中的原子光吸收谱等于无外场时光滑背景项迭加上一些正弦振荡项，每一个振荡项对应一个闭合轨道的贡献，式中 对应于第i条闭合轨道的作用量，Ai 是它的振幅，取决于轨道的稳定性。实际计算中只须计及少数若干较短的轨道即可。谱的分辨率由最大轨道返回时间决定 。显然，较短的闭合轨道给出了谱的大尺度的结构，而长的轨道则进一步给出谱的细节。理论计算得到的结果如上图所示, 与实验完全一致 。
3．标度变量回归谱学
吸收谱的Fourier变换称为回归谱。这里采用的是标度变量回归谱分析方法。这也是闭合轨道理论的重要特点之一。
理论上，谱分析常用 表示，其Fourier 变换为
f(t)。但对于闭合轨道而言，由于在t=Tk(轨道返回时间）处出现吸收峰，而T 又依赖于体系的哈密顿量（能量E），故当能量改变时，峰将被抹平，说明E与t 不独立。解决的办法就是引进标度变量, 取
此式可看成量子化条件。因为 和E有关，故称为“类能量变量”，而标度作用量 称为“类时间变量”，由 到 的Fourier变换是独立的。低场高激发与高场低激发态具有类似性质，即氢原子的动力学性质完全由标度能量决定：低时，电子运动是规则的； →0时，其行为是混沌的。
引进标度变量的另一重要原因是为了把理论计算结果直接与实验比较。这里涉及经典极限 →0。由于在原子单位中 1而无法实现。采用标度变量恰好克服了这个困难。由（3）式可知，标度变换后的对易关系满足 ，由此引进一个有效普朗克常数 ,通过调节激光频率和外场强度，使得研究半经典极限条件 →0成为可能。
以上结果表明，关于回归谱学的闭合轨道理论不仅改变了看问题的角度和观测尺度，而且改变了实验方式。图2是一个典型的例子，给定标度能量 ，计算或解释回归谱时只须
考虑单独一组经典闭合轨道的贡献。在有限分辨率下，通常计算十几条乃至几条较短道就得出收敛的结果。4．闭
4.幕式闭合轨道与周期轨道理论的联系
科学理论发展往往出现这样的景象，在人们为某项新发现的意义而苦苦思索，找寻新的解释时，却突然领悟到实际上它是过去已有理论的自然延伸和拓展。从闭合轨道理论提出到现在近二十年，在许多不同体系上都取得巨大的成功。人们在应用理论的同时，也从各个不同角度探索它的内涵和来源，此后Gutzwiller的量子态密度的迹公式开始受到广泛关注。这个公式是1971年提出的，也正是物理学家开始对高激发的里德堡态感兴趣的时候，很可能Gutzwiller也看到过Garton和Tomkins的实验，但他心中惦念的却是另一个更为迫切的问题，那就是混沌。Gutzwiller意识到，对于混沌体系，不存在好量子数，唯一的不变量是周期轨道，它是嵌埋在相空间 截面的一系列岛状和线状结构中孤立的点，对混沌性质起决定作用。其基本思想是：量子态密度采用Green算子(预解式)表示；用Green函数代替Green算子，对能量Green函数进行Fourier变换得到时空传播子并与路径积分相联系。在半经典近似下用稳定相近似得到迹公式，稳定相点条件给出经典周期轨道。他的态密度迹公式是
等式左边是量子态密度，右边是经典对应：第一项是背景，第二项对周期轨道求和。形式上与闭合轨道理论相似，但物理含义不同。
其共同点是：两个理论不仅适用于可积系统，而且适用于不可积系统；都可近似给出体系的能谱和波函数；求和都是对分立的经典轨道进行。但也有显著区别：首先，应用周期轨道理论时要求粒子的运动状态（如动量）具有周期性，因此连续两次通过空间某点的动量须相等。而闭合轨道理论只要求粒子从某点出发再回到该点附近即可，因为它关注的是波函数发生相干的特点。有鉴于此，在原子、分子体系的激发或电离过程中，一般只有闭合轨道而没有周期轨道。此外，闭合轨道理论还可以扩展到波函数在空间任意两点的传播，即开轨道的情况 。
闭合轨道理论的巨大成功得益于周期轨道理论理论的开创性思想。美国著名物理学家Reichl的评价是：“可以认为Gutzwiller的工作是量子力学发展史上的重要里程碑。 ”而对于闭合轨道理论及其随后的发展，Kleppner和 Delos则指出：“基于Gutzwiller工作的半经典方法可以对那些量子解模糊不清的问题提供物理洞见。而且它提供了联系量子和经典世界的唯一桥梁。 ”
5．结束语
我们以氢原子在外磁场中的光激发为例，说明这个量子跃迁过程具有多周期性，它相应于一系列闭合轨道的
贡献。特别对于原子高激发态的混沌区，闭合轨道理论清晰地给出了量子跃迁隐含的物理图像－多周期现象。这个理论方法可以很自然地扩展到复杂原子或分子在外场中的光吸收研究 ，甚至对于开轨道问题，如具有混沌性质的体育场型的量子台球 ，它为微腔输运的研究提供了理论依据。实际上，类似量子跃迁也可在正能区的电离态中出现。最近，Delos等人发现，原子电离时，激发态上布居的衰减并非过去预想的指数式下降，而是在指数型背景上迭加上一系列脉冲式峰状阵列，它对应于电子从原子核逸出时间的时间序列，这些峰具有分形结构。这种情况同样属于多周期现象，也可以用闭合轨道理论解释 。
参考文献：
[1] Gutzwiller M.C. Resource letter ICQM-1: The interplay between classical and quantum mechanics [J]. Am. J. phys. 1998, 66(4), 304-324.
[2] Kleppner D. and Delos J.B. Beyond quantum mechanics: Insights from the work of Martin Gutzwiller [J]. Foundationsofphysics. 2001, 31(4), 593-612.
[3] Garton W. R. S. and Tomkins F. S. Diamagnetic Zeeman effect and magnetic configuration mixing in long spectral series of BaⅠ [J] The Astrophysical Journal 1969, 158,839-845.
[4] Du M. L and Delos J.B. Effects of closed orbits on quantum spectra: Ionization of atom in a magnetic field [J] Phys. Rev. Lett. 1987, 58, 1731-1734.
[5] Main J., Wiebusch G. , Holle A., and Welge K.H. New quasi-Landau structure of high excited atoms.[J] Phys. Rev. Lett. 1986, 57, 2789-2792
[6] Liu Z. Y., Wang D. H. and Lin S.L. Photodetachment cross section of H- in electric and magnetic fields with any orientation.[J] Phys. RevA 1996, 54(8), 4078-4091.
[7] Lin Sheng-Lu, Zhang Qiu-Ju , et.al. Semiclassical. Calculations of recurrence spectra for Lithium atoms in parallel electric and magnetic fields [J]Chin. Phys. Lett. 2002, 19(1), 29-32
[8] Lin Sheng-Lu , Li Hong-Yun et. al. Recurrence spectra of He atoms in Strong external fields.[J] Science in China Ser. G 2004, 47 (4), 477-484.
[9] Matzkin A., Dando P.A. andMonteiro T. S. Closed-orbit theory for molecules in fields.[J] Phys. Rev.A,2002, 66(1), 013410: 1-18
[10] Delsart C., Goldfarb F. and Blondel C. Molecular photodetachment microscopy [J] Phys. Rev. Lett.2002, 89(11), 183002(1-4).
[11] Du M.L. Fu-He Wang et. al. Oscillation in the spontaneous emission rate of atoms in a dielectric slab: Effects of photo closed orbits.[J] Phys. Rev A 2005, 71, 065401(1-4).
[12] Xu Xue-You, Gao Song, Lin Sheng-Lu et. al. Semiclassical analysis of quarter stadium billiards [J] Chin. Phys. Lett. 2006, 23(4), 765-767.
[13] Reichl L.E. The transition to chaos.[M]Springer-Verlag1992, p368.
[14] Mitchell K.A., Handley J.P. et .al. Chaos-induced pulse trains in the ionization of Hydrogen [J] Phys. Rev. Lett. 2004, 92(7), 073001(1-4)
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”