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[摘 要] 数学核心素养是一种“真、善、美”的体现，它包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象以及数据分析六个方面，数学学科教学活动是数学学科素养培养的主要途径.教师在教学要明确学科素养的特点，将学科素养的培养有效落实到教学的各个环节中，实现数学核心素养中的“适应个人终身发展和社会发展需要的思维品质与关键能力”的培养.
[关键词] 数学核心素养；三角函数；周期性
数学核心素养就是在数学教育教学过程中，逐步让学生形成适应终身发展和社会发展的必备品格与关键能力，是一种“真、善、美”的体现.高中数学核心素养的提出，为高中数学教学提出了一个明确的教育方向，而如何把对学生数学核心素养的培养有效落实到教学的各个环节中，就成了一线教师迫切需要解决的问题.笔者根据数学核心素养的内容编写执教了“三角函数的周期性”这节概念课，并对这节课进行了教学反思，供大家讨论.
教学设计
1. 创设情境 启发思考
情境一：在我们乘坐暨阳湖游乐园里的摩天轮的时候（所教学生的学校不远处就有这样一个游乐公园，学生都乘坐过这种游乐设施，所以会有同感），我们会发现，过一段相同的时间，我们就会在最高点看到最美的风景.
情境二：我们教室后面钟的时针、分针和秒针每经过一定的时间就转过一周.
师：你还能举出一些这样的例子吗？
生：四季更替，课程表，地球公转.
师：这些现象都有一个什么样的规律？
生：周而复始现象.
情境三：其实我们古人也发现了这种现象. （配乐诗朗诵（多媒体播放）《赋得古原草送别》：离离原上草，一岁一枯荣.野火烧不尽，春风吹又生.）我国的“干支”记年法，即“天干地支”组合形成古代纪年历法（教师给出“天干地支”相关知识的PPT.）
师：我们把这种周而复始现象称为周期现象.（板书：周期.）
2. 合作交流 建构数学
师：其中的“地支”就是十二属相. 我们班里的同学是哪一年出生的？属相是什么？哪些年份是本命年呢？
刚有同学说自己是2000年5月出生，今年17岁，属龙. 即2000年出生的对应属相为龙，我们知道2001年出生的对应属相为蛇，2002年出生的对应属相为马，……，那么这个对应可以用数学的语言去描述吗？
预设：学生可能的回答是年份与属相之间的对应可以用函数的观点去理解.教师在赞赏的同时，对这种观点进行进一步设问出疑点（发现随着年份的改变，属相在改变，但函数的定义域和值域要求是非空数集），我们把属相鼠、牛、虎、……、猪依次对应实数1、2、3、…、12，其对应法则记为f. 从而得到f（2000）=5，f（2001）=6，f（2002）=7，…. 可以很快得到一个结论，就是f（2000）=f（2000 12）=f（（2000 12） 12）=…=5. 所以，2012年，2024年以及2036年均是其本命年.
由2001年5月出生属蛇的本命年我们可以得到f（2001）=f（2001 12）=f（（2001 12） 12）=….
设计立意：从生活中一类具有“周而复始”特点的现象出发，启发学生用数学的眼光观察世界，把生活中的问题抽象成数学问题，从而引导学生用数学的思维去分析问题.
关于这节课的几点思考
1. 以“用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维分析现实世界，用数学的语言表达现实世界”为抓手，整体把握教学思路，让学生的数学核心素养自然生成.
数学课程标准修订组组长史宁中教授把数学核心素养解读为三句话，即：用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维分析现实世界，用数学的语言表达现实世界.通过用数学的眼光观察世界，来发展学生的数学抽象和直观想象素养；通过用数学的思维分析世界，来发展学生的逻辑推理和数学运算素养；通过用数学的语言表达世界，来发展学生的数学建模和数据分析素养.这就需要教师在教学中，不仅要注重基本知识、基本技能的传授，更要注重基本思想方法和基本活动经验的培养，从而增强学生从数学的角度发现和提出问题的能力以及分析和解决问题的能力.
本节课，教师牢牢抓住这个教学理念构建教学框架，整体把握教学思路，从观察现实世界的周期现象，到能不能用数学的思维来分析这个问题、如何用数学的语言表达这个周期问题的教学过程，充分体现出教师的教学设想. 在学生参与教学活动的同时，让学生感受数学知识来源于生活. 在对实际周期问题的抽象等教学过程中，引导学生进行数学建模，对事例进行有效数学分析，得到事例所具有的共同特征，再进行概括、归纳、抽象，得到概念的本质属性后，把数学抽象和直观想象的权力还给学生，让学生初步建立概念，再由教师做好教学的先行者，引导学生建构概念.在概念的建构过程中，既讨论了所建构概念的完备性，进一步完善概念，又通过辨析，培养了学生的数学建模和数据分析能力. 最后，通过对所学函数周期性的理性讨论，进一步培养了学生的逻辑推理和数学运算能力. 教学中，逐步深入的“剧情”，让学生对数学的兴趣油然而生，使数学核心素养的培养在学生的身上自然生成.
2. 在“三个理解”的基础上，大胆进行教材的重组，搭建适合学生发展数学核心素养的平台.
章建跃先生在评价一节课时，提出了“理解数学、理解学生和理解教学”的三个理解. 在教学中，教师要以学生为主体，把知识的发生过程和发现的权力还给学生.这就需要教师对教材有一个充分的把握，了解教材的編写意图，知道知识的来龙去脉，清楚知识之间的联系.然后，根据学生的知识结构及大纲要求，把教材所涉及的内容有目的、有方法地呈现在学生面前，从而搭建适合学生发展数学核心素养的平台.
本节是苏教版必修4第一章第3节第一课时内容，教材呈现了通过对单位圆中三角函数线的讨论，得到了三角函数的周期性，得出了函数周期性的相关知识，体现了三角函数的周期性 .在教学中，如果教师把教学思路仅仅局限于三角函数的范畴内，就会让学生误以为只有三角函数才存在周期性，即周期性问题是在三角函数内部考查出来的.其实不然，在必修4《教参》第24页中明确指出“本节的重点是周期函数的定义和正弦、余弦、正切函数的周期性，周期的概念是本节的难点，解决难点的关键是通过实例分析来认识周期和周期函数”. 也就是说，三角函数周期性的考查是在考查出函数周期性这样一个性质以后，对具体函数再分析的结果.这样的教学思路的产生，就要求教师对整章三角函数乃至所有函数内容进行整体把握，从认识周期，到认识周期函数，到认识三角函数的周期性有一个连贯的思考. 如何把这些问题有顺序地呈现给学生，需要教师对研究函数的性质有一个基本的、明确的思路，且这个思路在认识函数的其他性质的时候，能有一个指导作用，实现学生对函数性质的可持续性探究.最终搭建了适合学生发展数学核心素养的平台. 3. 从体系出发，通过对周期性的研究，进一步实现“前后一致，逻辑连贯”的概念构建过程，实现数学核心素养中的“适应个人终身发展和社会发展需要的思维品质与关键能力”的培养.
对函数性质的探究，一直贯穿于数学的学习之中. 从小学课本中的对实例函数（正比例和反比例函数）的初步认识到初中对二次函数的研究，再到高中对于函数奇偶性和单调性的讨论，都体现了“认识函数就是要认识函数的性质”这一研究函数的抓手. 教学中，教师引导学生把实例函数的性质，抽象为数学语言. 这其中，如何把这些实例呈现给学生，如何把零散的函数性质变成体系的存在，以什么样的视角来研究函数，都需要学生有一定的发现规律的眼光，而学生发现规律的眼光正是教师在长期的数学教学中引导学生观察和发现并总结出来的基本活动经验.
本节课中，教师通过对自然现象的认识，再从我国古人创造的天干地支出发，引发学生浓厚的学习兴趣，结合学生属相的研究，把学生的探究欲望引到最高点，如何把实际问题的规律抽象为数学问题中的规律，教师通过属相与年份之间的对应关系，引出了函数，从而抽象出函数的周期问题. 接下来，如何精确地表述函数周期性的定义是这节课的难点，教师在教学中，主动帮助学生回忆函数奇偶性和单调性的定义及研究方法，让学生感受定义的构建，体验知识的生成过程，即“发现生活中的有规律的现象→抽象为数学问题→用数学的语言表达→用得到的规律考查已学过的函数，进一步挖掘内涵→数学应用”这一顺序来探究函数的性质. 这个思路也是探究函数性质的基本方法和基本途径.这个途径的确立为学生的再次自我探究重获了研究函数性质的视角，奠定了方法基础. 从而为学生自主发现规律、主动构建概念创造了条件，也增加了学生对函数性质研究方法的情感认同和方法储备. 可以说，对函数周期性的研究，不仅仅是对函数性质的一次认识，更是研究函数性质的方法的一次螺旋上升，实现了数学核心素养中的“适应个人终身发展和社会发展需要的思维品质与关键能力”的培养.
4. 以问题教学为引领，引导学生自主建构概念，有效落实数学核心素养的培养.
数学核心素养的培养和提升并不是空洞的，要以实际教学行为为载体，把数学核心素养的培养落到实处.数学核心素养的本质应该是“数学育人”，“数学育人”就要求教师在把握教学内容在教材中的地位和作用的基础上，以师生对话为媒介，以学生为主体，互相提出构建概念中的疑点和问题，引导学生数学的发现问题与提出问题，驱动问题情境的展开，让学生更加深入地思考，带动学生学习数学的热情，提高学生分析问题和解决问题的能力，从而达到有效落实数学核心素养的培养的教学目的[4].
本节课中，教师在不同教学环节都有意识地用问题串的形式展开教学. 比如，在情境问题的引入中，“这些现象都有一个什么样的规律”“你还能举出一些这样的例子吗”这样的问题提出，引导学生用数学的眼光来观察世界，发现规律，培养学生的数学抽象和直观想象的数学素养. 在引导学生自主构建概念时，教师提出“那么这个对应可以用数学的语言去描述吗”“能不能尝试给周期函数一个定义呢”这样的问题，引导学生去生活化，培养学生的数学建模和数据分析的数学素养. 在对常数函数和三角函数的周期性进行考查时，教师提问“①是周期函数吗？为什么？②如果是，周期是多少？”在探究环节中，教师继续深挖“函数f（x）=Asin（ωx φ）（其中A，ω，φ为常数，A≠0，ω>0）的周期和哪些量有关”，引导学生运用概念解决问题、运用概念归纳结论，给学生用数学的思维分析世界的空间，发展学生的逻辑推理和数学运算素养. 这些问题的设计，不仅让学生学到了知识，更重要的是交给了学生研究问题的方法、探究问题的思路以及如何构建知识体系的能力[5].
结束语
如何把数学核心素养的培养有效地落实到教学实践中，这是当今数学教育对数学教师提出的新问题.教师只有在平时的教学工作中，不断地进行学习，更新教学观念，把握核心素养的內涵，才能在教学中，以培养学生的数学核心素养为理论指导，自觉践行新课程理念，着力于数学核心素养的培养，从而提高学生的综合素质水平.
参考文献：
[1] 张乃达，石志群. 刻画周期性现象数学模型的建构与研究[J]. 数学通讯，2013（3）：6-11.
[2] 曹凤山. 数学核心素养视角下的数学教学设计的思考[J]. 中学数学教学参考（上旬），2017（6）：26-27.
[3] 何睦. 聚焦“核心数学素养”的数学教学[J]. 数学通讯，2017（1）：10-14.
[4] 王克亮. 课堂问题的设计与解决应凸显知识本质—一次主题教研活动中“三角函数的诱导公式”的教学体会[J]. 数学通报，2017（5）：10-14.
[5] 单墫. 高中数学教学参考书·数学4（必修）[M]. 南京：江苏凤凰教育出版社. 2012.
[关键词] 数学核心素养；三角函数；周期性
数学核心素养就是在数学教育教学过程中，逐步让学生形成适应终身发展和社会发展的必备品格与关键能力，是一种“真、善、美”的体现.高中数学核心素养的提出，为高中数学教学提出了一个明确的教育方向，而如何把对学生数学核心素养的培养有效落实到教学的各个环节中，就成了一线教师迫切需要解决的问题.笔者根据数学核心素养的内容编写执教了“三角函数的周期性”这节概念课，并对这节课进行了教学反思，供大家讨论.
教学设计
1. 创设情境 启发思考
情境一：在我们乘坐暨阳湖游乐园里的摩天轮的时候（所教学生的学校不远处就有这样一个游乐公园，学生都乘坐过这种游乐设施，所以会有同感），我们会发现，过一段相同的时间，我们就会在最高点看到最美的风景.
情境二：我们教室后面钟的时针、分针和秒针每经过一定的时间就转过一周.
师：你还能举出一些这样的例子吗？
生：四季更替，课程表，地球公转.
师：这些现象都有一个什么样的规律？
生：周而复始现象.
情境三：其实我们古人也发现了这种现象. （配乐诗朗诵（多媒体播放）《赋得古原草送别》：离离原上草，一岁一枯荣.野火烧不尽，春风吹又生.）我国的“干支”记年法，即“天干地支”组合形成古代纪年历法（教师给出“天干地支”相关知识的PPT.）
师：我们把这种周而复始现象称为周期现象.（板书：周期.）
2. 合作交流 建构数学
师：其中的“地支”就是十二属相. 我们班里的同学是哪一年出生的？属相是什么？哪些年份是本命年呢？
刚有同学说自己是2000年5月出生，今年17岁，属龙. 即2000年出生的对应属相为龙，我们知道2001年出生的对应属相为蛇，2002年出生的对应属相为马，……，那么这个对应可以用数学的语言去描述吗？
预设：学生可能的回答是年份与属相之间的对应可以用函数的观点去理解.教师在赞赏的同时，对这种观点进行进一步设问出疑点（发现随着年份的改变，属相在改变，但函数的定义域和值域要求是非空数集），我们把属相鼠、牛、虎、……、猪依次对应实数1、2、3、…、12，其对应法则记为f. 从而得到f（2000）=5，f（2001）=6，f（2002）=7，…. 可以很快得到一个结论，就是f（2000）=f（2000 12）=f（（2000 12） 12）=…=5. 所以，2012年，2024年以及2036年均是其本命年.
由2001年5月出生属蛇的本命年我们可以得到f（2001）=f（2001 12）=f（（2001 12） 12）=….
设计立意：从生活中一类具有“周而复始”特点的现象出发，启发学生用数学的眼光观察世界，把生活中的问题抽象成数学问题，从而引导学生用数学的思维去分析问题.
关于这节课的几点思考
1. 以“用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维分析现实世界，用数学的语言表达现实世界”为抓手，整体把握教学思路，让学生的数学核心素养自然生成.
数学课程标准修订组组长史宁中教授把数学核心素养解读为三句话，即：用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维分析现实世界，用数学的语言表达现实世界.通过用数学的眼光观察世界，来发展学生的数学抽象和直观想象素养；通过用数学的思维分析世界，来发展学生的逻辑推理和数学运算素养；通过用数学的语言表达世界，来发展学生的数学建模和数据分析素养.这就需要教师在教学中，不仅要注重基本知识、基本技能的传授，更要注重基本思想方法和基本活动经验的培养，从而增强学生从数学的角度发现和提出问题的能力以及分析和解决问题的能力.
本节课，教师牢牢抓住这个教学理念构建教学框架，整体把握教学思路，从观察现实世界的周期现象，到能不能用数学的思维来分析这个问题、如何用数学的语言表达这个周期问题的教学过程，充分体现出教师的教学设想. 在学生参与教学活动的同时，让学生感受数学知识来源于生活. 在对实际周期问题的抽象等教学过程中，引导学生进行数学建模，对事例进行有效数学分析，得到事例所具有的共同特征，再进行概括、归纳、抽象，得到概念的本质属性后，把数学抽象和直观想象的权力还给学生，让学生初步建立概念，再由教师做好教学的先行者，引导学生建构概念.在概念的建构过程中，既讨论了所建构概念的完备性，进一步完善概念，又通过辨析，培养了学生的数学建模和数据分析能力. 最后，通过对所学函数周期性的理性讨论，进一步培养了学生的逻辑推理和数学运算能力. 教学中，逐步深入的“剧情”，让学生对数学的兴趣油然而生，使数学核心素养的培养在学生的身上自然生成.
2. 在“三个理解”的基础上，大胆进行教材的重组，搭建适合学生发展数学核心素养的平台.
章建跃先生在评价一节课时，提出了“理解数学、理解学生和理解教学”的三个理解. 在教学中，教师要以学生为主体，把知识的发生过程和发现的权力还给学生.这就需要教师对教材有一个充分的把握，了解教材的編写意图，知道知识的来龙去脉，清楚知识之间的联系.然后，根据学生的知识结构及大纲要求，把教材所涉及的内容有目的、有方法地呈现在学生面前，从而搭建适合学生发展数学核心素养的平台.
本节是苏教版必修4第一章第3节第一课时内容，教材呈现了通过对单位圆中三角函数线的讨论，得到了三角函数的周期性，得出了函数周期性的相关知识，体现了三角函数的周期性 .在教学中，如果教师把教学思路仅仅局限于三角函数的范畴内，就会让学生误以为只有三角函数才存在周期性，即周期性问题是在三角函数内部考查出来的.其实不然，在必修4《教参》第24页中明确指出“本节的重点是周期函数的定义和正弦、余弦、正切函数的周期性，周期的概念是本节的难点，解决难点的关键是通过实例分析来认识周期和周期函数”. 也就是说，三角函数周期性的考查是在考查出函数周期性这样一个性质以后，对具体函数再分析的结果.这样的教学思路的产生，就要求教师对整章三角函数乃至所有函数内容进行整体把握，从认识周期，到认识周期函数，到认识三角函数的周期性有一个连贯的思考. 如何把这些问题有顺序地呈现给学生，需要教师对研究函数的性质有一个基本的、明确的思路，且这个思路在认识函数的其他性质的时候，能有一个指导作用，实现学生对函数性质的可持续性探究.最终搭建了适合学生发展数学核心素养的平台. 3. 从体系出发，通过对周期性的研究，进一步实现“前后一致，逻辑连贯”的概念构建过程，实现数学核心素养中的“适应个人终身发展和社会发展需要的思维品质与关键能力”的培养.
对函数性质的探究，一直贯穿于数学的学习之中. 从小学课本中的对实例函数（正比例和反比例函数）的初步认识到初中对二次函数的研究，再到高中对于函数奇偶性和单调性的讨论，都体现了“认识函数就是要认识函数的性质”这一研究函数的抓手. 教学中，教师引导学生把实例函数的性质，抽象为数学语言. 这其中，如何把这些实例呈现给学生，如何把零散的函数性质变成体系的存在，以什么样的视角来研究函数，都需要学生有一定的发现规律的眼光，而学生发现规律的眼光正是教师在长期的数学教学中引导学生观察和发现并总结出来的基本活动经验.
本节课中，教师通过对自然现象的认识，再从我国古人创造的天干地支出发，引发学生浓厚的学习兴趣，结合学生属相的研究，把学生的探究欲望引到最高点，如何把实际问题的规律抽象为数学问题中的规律，教师通过属相与年份之间的对应关系，引出了函数，从而抽象出函数的周期问题. 接下来，如何精确地表述函数周期性的定义是这节课的难点，教师在教学中，主动帮助学生回忆函数奇偶性和单调性的定义及研究方法，让学生感受定义的构建，体验知识的生成过程，即“发现生活中的有规律的现象→抽象为数学问题→用数学的语言表达→用得到的规律考查已学过的函数，进一步挖掘内涵→数学应用”这一顺序来探究函数的性质. 这个思路也是探究函数性质的基本方法和基本途径.这个途径的确立为学生的再次自我探究重获了研究函数性质的视角，奠定了方法基础. 从而为学生自主发现规律、主动构建概念创造了条件，也增加了学生对函数性质研究方法的情感认同和方法储备. 可以说，对函数周期性的研究，不仅仅是对函数性质的一次认识，更是研究函数性质的方法的一次螺旋上升，实现了数学核心素养中的“适应个人终身发展和社会发展需要的思维品质与关键能力”的培养.
4. 以问题教学为引领，引导学生自主建构概念，有效落实数学核心素养的培养.
数学核心素养的培养和提升并不是空洞的，要以实际教学行为为载体，把数学核心素养的培养落到实处.数学核心素养的本质应该是“数学育人”，“数学育人”就要求教师在把握教学内容在教材中的地位和作用的基础上，以师生对话为媒介，以学生为主体，互相提出构建概念中的疑点和问题，引导学生数学的发现问题与提出问题，驱动问题情境的展开，让学生更加深入地思考，带动学生学习数学的热情，提高学生分析问题和解决问题的能力，从而达到有效落实数学核心素养的培养的教学目的[4].
本节课中，教师在不同教学环节都有意识地用问题串的形式展开教学. 比如，在情境问题的引入中，“这些现象都有一个什么样的规律”“你还能举出一些这样的例子吗”这样的问题提出，引导学生用数学的眼光来观察世界，发现规律，培养学生的数学抽象和直观想象的数学素养. 在引导学生自主构建概念时，教师提出“那么这个对应可以用数学的语言去描述吗”“能不能尝试给周期函数一个定义呢”这样的问题，引导学生去生活化，培养学生的数学建模和数据分析的数学素养. 在对常数函数和三角函数的周期性进行考查时，教师提问“①是周期函数吗？为什么？②如果是，周期是多少？”在探究环节中，教师继续深挖“函数f（x）=Asin（ωx φ）（其中A，ω，φ为常数，A≠0，ω>0）的周期和哪些量有关”，引导学生运用概念解决问题、运用概念归纳结论，给学生用数学的思维分析世界的空间，发展学生的逻辑推理和数学运算素养. 这些问题的设计，不仅让学生学到了知识，更重要的是交给了学生研究问题的方法、探究问题的思路以及如何构建知识体系的能力[5].
结束语
如何把数学核心素养的培养有效地落实到教学实践中，这是当今数学教育对数学教师提出的新问题.教师只有在平时的教学工作中，不断地进行学习，更新教学观念，把握核心素养的內涵，才能在教学中，以培养学生的数学核心素养为理论指导，自觉践行新课程理念，着力于数学核心素养的培养，从而提高学生的综合素质水平.
参考文献：
[1] 张乃达，石志群. 刻画周期性现象数学模型的建构与研究[J]. 数学通讯，2013（3）：6-11.
[2] 曹凤山. 数学核心素养视角下的数学教学设计的思考[J]. 中学数学教学参考（上旬），2017（6）：26-27.
[3] 何睦. 聚焦“核心数学素养”的数学教学[J]. 数学通讯，2017（1）：10-14.
[4] 王克亮. 课堂问题的设计与解决应凸显知识本质—一次主题教研活动中“三角函数的诱导公式”的教学体会[J]. 数学通报，2017（5）：10-14.
[5] 单墫. 高中数学教学参考书·数学4（必修）[M]. 南京：江苏凤凰教育出版社. 2012.