三角函数中的数学思想

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  摘 要:数学思想是数学的精髓,在数学教学中具有重要的影响.对数学思想的充分理解和灵活运用是数学能力的集中体现.数学思想贯穿于整个数学教学中.三角函数是高中数学的重要内容之一,其中蕴含着丰富的数形结合、分类讨论、等价转换、函数与方程等数学思想,学会用常用的数学思想解决三角函数问题显得尤为重要.
  关键词:高中数学;三角函数;数学思想;数学教学
  1 数形结合思想
  由数到形,以形助数的数形结合思想,具有可以使问题直观呈现的优点,有利于加深学生对知识的识记和理解;在解答数学题时,数形结合有利于分析题中数量之间的关系,丰富表象,引发联想,拓宽思路,迅速找到解题的方法,从而提高分析问题和解决问题的能力.
  数形结合思想就是把抽象的数和直观的形双向联系与沟通,使抽象思想与形象思维有机地结合起来化抽象为形象,以期达到化难为易的目的.三角函数中可利用的图形有两类,即函数图象和三角函数线(单位圆).
  2 分类讨论思想
  分类是根据对象的本质属性的异同将其划分为不同种类,即根据对象的共性与差异性,把具有相同属性的归入一类,把具有不同属性的归入另一类.分类讨论是数学解题的重要手段,如果对学过的知识恰当地进行分类,就可以使大量纷繁的知识具有条理性.
  分类讨论的思想就是整体问题分解为几个部分问题来解决,它是逻辑划分思想在解数学题中的具体运用.它有三个重要的原则,即不越级、不重复、不遗漏.
  3 方程的思想
  方程的思想,就是从分析问题的数量关系入手,把变量之间的联系用方程的关系来反映,然后通过解方程或对方程进行讨论的方法,使问题得到解决.
  4 函数的思想
  函数的思想就是在解决问题的过程中,把变量之间的关系抽象成函数关系,把具体问题转化为函数问题,通过对函数相应问题的解决,便可达到解决具体问题的目的.
  方程与函数是互相联系的,利用函数与方程之间的对立统一关系,能进一步提高综合运用知识分析问题和解决问题的能力.
  5 整体思想
  整体思想就是从问题的整体性质出发,突出对问题的整体结构的分析和构造,发现问题的整体结构特征,将给出式整体变形处理,把握他们之间的关联,进行有目的,有意识的整体处理.
  整体思想方法是一种常见的数学方法,它把研究对象的某一部分(或全部)看成一个整体,通过观察与分析,找出整体与局部的有机联系,从而在客观上寻求解决问题的新途径.往往能起到化繁为简,化难为易的效果.
  6 换元思想
  换元的思想就是对较复杂问题有时恰当地对变量作替换,可以达到化繁为简,化未知为已知的目的.
  7 化归转化思想
  化归转化思想是数学中的一种重要思想方法.在处理数学问题的时候,如果我们能把问题进行转化,做到复杂问题向简单问题转化、抽象问题向具体问题转化等,往往能找到题目的考点,从而找到解题突破口.
  化归思想在三角函数中应用非常普遍,主要体现在:①化多角的形式为单角的形式;②化多种函数名称为一种函数名称;③化未知角为已知角;④化高次为低次;⑤化特殊为一般.转化时要特别注意问题的等价性.8 特殊化(具体化)思想
  对一些比较复杂或抽象的问题,若先将其特殊化或具体化,可以更容易找到解题思路.
  例8 函数f(x)=Msin(ωx φ)(ω>0),在区间[a,b]上是增函数,且f(a)=-M,f(b)=M,则函数g(x)=Mcos(ωx φ)在[a,b]( ).
  A.是增函数 B.是减函数
  C.可以取得最大值M D.可以取得最小值
  解:由于f(x)和g(x)两函数图象的相对位置关系不变,所以可令ω=1,φ=0,区间[a,b]为[-,],M=1,则g(x)=cosx,由余弦函数的性质得答案为C.
  此题主要考查函数f(x)=Msin(ωx φ)的性质,兼考查分析思维能力.要求对基本函数的性质能熟练运用(正用和逆用);取特殊值可降低难度,简化解题思路.
  9 类比联想的方法
  类比是一种推理方式,数学类比有着其独特的思维形式和特征,合理的利用类比进行数学教学,将有助于提高教学效果,有助于锻炼学生的思维能力和创新能力.
  类比法不仅是一种由特殊到特殊的推理方法,也是一种寻求解题思路、猜测问题答案或结论的发现方法.
  10 逆向思想
  逆向思想通常是指从问题的反向进行思考,运用于正面考虑繁琐或难以进行时的一种解题思维策略,正确使用这种策略,往往能使问题绝处逢生,找到求解的新途径.
  例10 将函数 y=f(x)sinx的图像向右平移个单位后,再作关于x轴的对称变换,得到函数y=1-2sin2x的图像,求f(x)的解析式.
  解析:我们可以采用倒推的方法,即将整个变化过程逆过来考虑.
  ∵y=1-2sin2x=cos2x关于x轴的对称变换为y=-cos2x,然后再向左平移个单位得y=-cos2x =sin2x=2cosxsinx,对照比较原函数y=f(x)sinx得f(x)=2cosx.
  在三角函数这一章的学习和复习过程中,如果学生能熟练掌握以上几种数学思想方法,并灵活地借助这些数学思想方法进行解题,不但可以避免复杂的运算过程,还能使解题难度降低,加快解题速度.在学习中应加以归纳与训练,能提高学生灵活处理问题和解决问题的能力.
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