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摘 要：从信号检测的需求出发，阐述了运用离散傅里叶变换检测连续时间信号频谱的原理和具体方法。通过实例表明：利用DFT检测连续信号中频率较近的分量时，应当根据分量的频率差、窗函数主瓣的有效宽度、时域信号的抽样频率，并准确计算时域信号的抽样点数，才能获得理想的检测效果。
关键词：离散傅里叶变换；频谱分析；信号检测
中图分类号：TP301.6
随着科学技术的发展，被噪声掩盖的各种信号的检测越来越受到人们的重视，应用范围遍及声、电、热、力学、地质、环保、生物、医学、激光材料等领域[1]。
同时，随着数字信号处理技术在社会生活中的广泛应用，数字信号处理技术在信号检测中也发挥着重要的作用。在信号检测中，传感器提取的信号常常是连续时间信号，利用数字信号处理技术检测信号，需对信号进行时域和频域的离散化处理，再采用数字系统进行分析。
1 利用DFT检测连续时间信号频谱的原理
数字系统分析信号的频谱，采用的是有限长序列的离散傅里叶变换，简称为离散傅里叶变换（DFT）。DFT对应的时域序列和它的频谱均为有限长序列，因而利用DFT检测连续时间信号的频谱，在时域和频域都要对信号做离散化处理和信号的截短处理[2]。
首先，对连续信号x（t）进行离散化，使之成为离散序列x[k]。为了使抽样信号能恢复原信号，信号抽样时应该满足时域抽样定理，即：
fsam≥2fm （1）
其中，fm为信号x（t）的最高频率，fsam为抽样频率。
其次，如果连续信号x（t）无限长，则离散化后的序列x[k]也无限长，无法采用DFT分析，需要对其进行加窗wN[k]截短，使它成为有限长序列x[k]，即：xN[k]=x[k]wN[k]，由DTFT的性质，该式的频域表达式为：
XN（ejΩ）=1/2π∫π-πX（ejθ）WN（ej（Ω-θ））dθ （2）
其中，X（ejΩ）、WN（ejΩ）、XN（ejΩ）分別是信号想x[k]、窗函数wN[k]、加窗后序列窗xN[k]的离散时间傅里叶变换频谱。
当wN[k]是长度为N的矩形窗RN[k]时，相当于对序列x[k]直接截断。WN（ejΩ）为：
（3）
矩形窗的幅度频谱为 ，如图1所示：
图1 矩形窗的幅度频谱
其中，矩形窗函数主瓣的有效宽度定义为：ΔΩw=2π/N
因此，加窗对频谱分析形成一个不利影响，即谱线变成了具有一定宽度的谱峰，谱峰的宽度与信号的长度成反比，所取的信号越长，谱峰的宽度越窄。当信号中两个不同频率分量的频率差Δf小于谱峰的有效宽度时，计算出的频谱可能显示不出两个明显的峰值。为使计算出的频谱能显示出相邻的谱峰，相邻频率分量的频率差Δf应当大于谱峰的有效宽度，即：
（4）
其中，T为时域抽样间隔，N为抽样点数，fsam为抽样频率，Tp=NT为时域信号的长度。由式（4）可知，所取的信号Tp越长，所能分辨的谱峰间隔Δfw就越小，即分辨相邻谱峰的能力就越强，因此，根据（4）可知分辨相邻谱峰所需的最小样本数为：
（5）
2 利用DFT检测连续信号中频率较近的信号分量
连续信号中的两个频率分量在频域相距较远时，检测比较容易。而当它们的频率相距较近时，准确地检测它们应该考虑时域连续信号的长度Tp、两个频率的距离Δf，从而获得分辨两个频率分量的最小抽样点数N[3]。
如连续信号x（t）=cos（2πf1）+cos（2πf2），其中f1=110Hz，f2=130Hz，两个频率分量相距较近Δf=20Hz。若要检测出x（t）中的两个频率f1、f2，实现过程如下。
首先，按照时域抽样定理式（1）选取抽样频谱fsam=500Hz对信号进行抽样，样本间隔为T=1/fsam；
根据式（5）计算当采用DFT分析其频谱时，N≥fsam/Δf=500/20=25，
时域信号的长度：Tp=NT=25×1/500=0.05s，利用DFT求得连续信号x（t）近似频谱的MATLAB仿真波形如图2所示：
如果选取时域信号的抽样样本数N=20，连续信号x（t）频谱的MATLAB仿真波形如图3所示：
图2 信号样本点数N=25
图3 信号样本点数N=20
比较图2、图3可以看出：如果对时域信号抽样时选取的样本数大于等于25，能够清晰分辨出连续信号想x（t）中的两个频率成分f1=110Hz，f2=130Hz，如果选取的样本数小于25则不能明确判断出信号x（t）中的频率分量是一个还是两个。
3 结束语
利用DFT检测连续信号中频率较近的分量时，应当根据分量的频率差、窗函数主瓣的有效宽度、时域信号的抽样频率，并准确计算时域信号的抽样点数，才能获得理想的检测效果。
参考文献：
[1]高晋占.微弱信号检测[M].北京：清华大学出版社.2004.
[2]陈后金，薛健，胡健.数字信号处理（第2版）[M].北京：高等教育出版社，2007.
[3]刘晓虹.信号分析与处理实验[M].呼和浩特：内蒙古大学出版社，2011.
作者简介：刘晓虹（1969-），女，硕士，副教授，研究方向：数字信号处理。
作者单位：包头师范学院 信息科学与技术学院，内蒙古包头 014030
基金项目：包头市科技局项目（项目编号：2013Z2010-03）。
关键词：离散傅里叶变换；频谱分析；信号检测
中图分类号：TP301.6
随着科学技术的发展，被噪声掩盖的各种信号的检测越来越受到人们的重视，应用范围遍及声、电、热、力学、地质、环保、生物、医学、激光材料等领域[1]。
同时，随着数字信号处理技术在社会生活中的广泛应用，数字信号处理技术在信号检测中也发挥着重要的作用。在信号检测中，传感器提取的信号常常是连续时间信号，利用数字信号处理技术检测信号，需对信号进行时域和频域的离散化处理，再采用数字系统进行分析。
1 利用DFT检测连续时间信号频谱的原理
数字系统分析信号的频谱，采用的是有限长序列的离散傅里叶变换，简称为离散傅里叶变换（DFT）。DFT对应的时域序列和它的频谱均为有限长序列，因而利用DFT检测连续时间信号的频谱，在时域和频域都要对信号做离散化处理和信号的截短处理[2]。
首先，对连续信号x（t）进行离散化，使之成为离散序列x[k]。为了使抽样信号能恢复原信号，信号抽样时应该满足时域抽样定理，即：
fsam≥2fm （1）
其中，fm为信号x（t）的最高频率，fsam为抽样频率。
其次，如果连续信号x（t）无限长，则离散化后的序列x[k]也无限长，无法采用DFT分析，需要对其进行加窗wN[k]截短，使它成为有限长序列x[k]，即：xN[k]=x[k]wN[k]，由DTFT的性质，该式的频域表达式为：
XN（ejΩ）=1/2π∫π-πX（ejθ）WN（ej（Ω-θ））dθ （2）
其中，X（ejΩ）、WN（ejΩ）、XN（ejΩ）分別是信号想x[k]、窗函数wN[k]、加窗后序列窗xN[k]的离散时间傅里叶变换频谱。
当wN[k]是长度为N的矩形窗RN[k]时，相当于对序列x[k]直接截断。WN（ejΩ）为：
（3）
矩形窗的幅度频谱为 ，如图1所示：
图1 矩形窗的幅度频谱
其中，矩形窗函数主瓣的有效宽度定义为：ΔΩw=2π/N
因此，加窗对频谱分析形成一个不利影响，即谱线变成了具有一定宽度的谱峰，谱峰的宽度与信号的长度成反比，所取的信号越长，谱峰的宽度越窄。当信号中两个不同频率分量的频率差Δf小于谱峰的有效宽度时，计算出的频谱可能显示不出两个明显的峰值。为使计算出的频谱能显示出相邻的谱峰，相邻频率分量的频率差Δf应当大于谱峰的有效宽度，即：
（4）
其中，T为时域抽样间隔，N为抽样点数，fsam为抽样频率，Tp=NT为时域信号的长度。由式（4）可知，所取的信号Tp越长，所能分辨的谱峰间隔Δfw就越小，即分辨相邻谱峰的能力就越强，因此，根据（4）可知分辨相邻谱峰所需的最小样本数为：
（5）
2 利用DFT检测连续信号中频率较近的信号分量
连续信号中的两个频率分量在频域相距较远时，检测比较容易。而当它们的频率相距较近时，准确地检测它们应该考虑时域连续信号的长度Tp、两个频率的距离Δf，从而获得分辨两个频率分量的最小抽样点数N[3]。
如连续信号x（t）=cos（2πf1）+cos（2πf2），其中f1=110Hz，f2=130Hz，两个频率分量相距较近Δf=20Hz。若要检测出x（t）中的两个频率f1、f2，实现过程如下。
首先，按照时域抽样定理式（1）选取抽样频谱fsam=500Hz对信号进行抽样，样本间隔为T=1/fsam；
根据式（5）计算当采用DFT分析其频谱时，N≥fsam/Δf=500/20=25，
时域信号的长度：Tp=NT=25×1/500=0.05s，利用DFT求得连续信号x（t）近似频谱的MATLAB仿真波形如图2所示：
如果选取时域信号的抽样样本数N=20，连续信号x（t）频谱的MATLAB仿真波形如图3所示：
图2 信号样本点数N=25
图3 信号样本点数N=20
比较图2、图3可以看出：如果对时域信号抽样时选取的样本数大于等于25，能够清晰分辨出连续信号想x（t）中的两个频率成分f1=110Hz，f2=130Hz，如果选取的样本数小于25则不能明确判断出信号x（t）中的频率分量是一个还是两个。
3 结束语
利用DFT检测连续信号中频率较近的分量时，应当根据分量的频率差、窗函数主瓣的有效宽度、时域信号的抽样频率，并准确计算时域信号的抽样点数，才能获得理想的检测效果。
参考文献：
[1]高晋占.微弱信号检测[M].北京：清华大学出版社.2004.
[2]陈后金，薛健，胡健.数字信号处理（第2版）[M].北京：高等教育出版社，2007.
[3]刘晓虹.信号分析与处理实验[M].呼和浩特：内蒙古大学出版社，2011.
作者简介：刘晓虹（1969-），女，硕士，副教授，研究方向：数字信号处理。
作者单位：包头师范学院 信息科学与技术学院，内蒙古包头 014030
基金项目：包头市科技局项目（项目编号：2013Z2010-03）。