摘 要：函数的最值问题是中学数学中的一个重要问题，也是历年高考及数学竞赛的常见题型。本文归纳了函数最值的几种常用求法，以帮助学生解决此类问题。
　　关键词：函数；最值；求法
　　
　　函数的最值求解是函数教学中的一个重要内容，其涉及的知识面广，解题技巧性强，方法也因题而异。常见的求函数最值的方法有配方法、判别式法、数形结合法、不等式法、二次函数法等。这些方法分别具有极强的针对性，每一种方法又不是万能的。本文就常见的几种方法进行例析。
　　一、配方法
　　例1.已知3x2+4y2=6x，求x2+y2的最值y。
　　解：由3x2+4y2=6x，可得y2=，即y2=≥0，
　　∴解得0≤x≤2，∴x2+y2=x2+=(x+3)2-
　　∵0≤x≤2
　　∴当x=0时，x2+y2有最小值且最小值为0；当x=2时，x2+y2有最大值且最大值为4。
　　二、判别式法
　　例2.已知函数y=，求其最值。
　　解：由y=，得(y-1)x2+(1-y)x+y=0，设此方程为关于x的一元二次方程，此方程有实数解，∴y≠1且Δ≥0，即y≠1
　　3y2-2y-1≤0，解得：-≤y<1，即函数у有最小值ymin=-
　　（注意：y≠1）。
　　三、数形结合法
　　例3.已知x2+y2-2x+4y-20=0，求x2+y2的最值。
　　解：注意到x2+y2-2x+4y-20=0，即(x-1)2+(y+2)2=25，它是一个以O(1，-2)为圆心，5为半径的圆。若设x2+y2=k，则k-2x+4y-20=0，即y=x+，这是斜率为且与已知圆相交的一簇平行线，由平面几何知识得，求K的最值就是求这簇平行线在у轴的截距最大或最小值。
　　圆心O(1，-2)到直线k-2x+4y-20=0，即2x-4y+20-k=0的距离：d=≤5，即|30-k|≤10，∴-10≤30-k≤10，∴30-10≤k≤30+10，即x2+y2的最大值为30+10，最小值为30-10。
　　四、不等式法
　　例4.求y=+的最大值。
　　解：两边平方得：y2=x+1-2，即y2=1+2，而2≤()2+()2=x+1-x=1，∴y2≤2，(当且仅当x=1-x，即x=时取等号)。∴-≤y≤，注意到y=+>0，故y的最大值为ymax=。
　　五、二次函数法
　　例5：已知函数f(x)=log2+log2(x-1)+log2(a-x)，求f(x)的最大值。
　　分析：先根据定义域求出x的取值范围，再进行分类讨论。
　　解：由题意知
　　>0
　　x-1>0
　　a-x>0，解得x>1
　　x1）。原函数可化为：f(x)=log2(x-1)(a-x)=log2(x+1)(a-x)=log2[-x2+(a-1)x+a]，令：U=-x2+(a-1)x+a，则函数f(x)=log2U是增函数，又∵U=-x2+(a-1)x+a=-(x-)2+，x∈（1，a）。由于U=-(x-)2+的对称轴为x=，故可分为三种情况来讨论：
　　（1）当≤1且a>1，即1　　（2）当1<3时，函数U在x=时取得最大值，其值为U=，从而原函数f(x)有最大值，其值为fmax(x)=log2=2log2(a+1)-2。
　　（3）当≥a且a>1时，解得a∈φ，故此种情况不存在。
　　综上所述，函数f(x)=log2+log2(x-1)+log2(a-x)在a>3且x=时有最大值，fmax(x)=2log2(a+1)-2。
　　以上给出的是在求解函数最值问题时常用的五种方法，只要我们在学习中仔细研读，把握要点，经常运用，就一定能够熟练掌握这些方法并将它们灵活运用到解决函数的最值问题中去。
　　
　　参考文献：
　　[1]徐新彬，张克修.新教材完全解读·高一数学（下）[M].长春：吉林人民出版社，2005.
　　[2]戴丽萍.学习二次函数最值的三个层次[J].中学数学，1994（5）.
　　[3]方传平.谈谈函数的最值问题的解决[J].吕梁高等专科学校学报，2003（3）.