论文部分内容阅读
摘 要：习题教学高三数学常见的教学形式，是帮助学生发现问题，克服问题，夯实基础，提升能力的重要机会。结合内高学生基础差，运算能力弱，逻辑推理能力欠缺等问题，本人在教学实践中从强化学生思维训练，思路与方法的探究，本源性知识的探索出发，力求学生从解题中存在的问题分析出发，充分挖掘问题的价值，提升自己数学素养，让习题课避免重复盲目训练，让学生切身领悟：做一题，学一法，会一类，通一片，激发学生对数学的学习探究热情。
关键词：习题课;高三复习;优效教学
一、问题的提出
著名数学家波利亚曾说过：“中学数学教学首要的任务就是加强习题训练。”内高高三数学复习离不开习题练习，虽然大量的习题训练可以让学生夯实双基，提高数学解题分析思维能力，促进学生数学核心素养养成。但是题海战术的习题练习不能完全适合所有的学生，尤其是内高班的学生，由于新疆的教学与内地的教学差异较大，学生在习题的练习中不能触类旁通，不能总结习题中反映的问题，只会进行题海战术，却无法提升解决数学问题的能力。如何处理习题练习中出现的问题，让习题课教学更优效，是每个内高高三数学教师追求的目标。习题是做不完的，如何通过对存在问题的分析，弥补知识的短板，开阔认知，提升数学思维的深度，拨云见雾，挖掘知识的本质，深究教材，掌握本源知识。结合内高班教学实践探索从解决问题中提升学生思维训练、思路与方法探寻、注重问题回归三个不同的方面来引导学生处理问题，提升能力，努力实现习题课优效教学。
二、习题课有效教学的理论依据
（一）有意义地学习数学
近年来，因为传统的数学教学方式，不利于学生能力发展，于是便开始流行自主探究式教学。但这种盲从的教学方式没有能培养学生的能力。奥苏贝尔的有意义的学习理论认为：学生能否获得新信息，主要取决于他们认知结构中是否有相关概念和新概念之间的相互作用，实际意义上来说就是指理解这些符号和语句的实质内容，并运用它们。
（二）以最近发展区理论为基础
最近发展区理论认为，目前已达到的水平和潜在可能达到的水平是学生目前学习的两种状态。介于这两种水平之间的就是最近发展区。教学不能让学生只停留在已有水平上，跳一跳，能让学生达到一定的高度——也就是最近发展区内。内高的学生对于高中数学的学习普遍感觉比较困难，习题课的设计难度要由易至难，教师要选择适当的“高度”能让内高的学生跳出自己原有的水平。
三、习题课优效教学实践
（一）精选精备
教师要引导学生在解习题的过程中组建之际的知识网络体系，形成思维模块。教师和学生不能光做大量的习题，而是要集中精力解决某几类习题，通过挖掘题目中的各方面的信息，来解决它们。因此习题的选择宜少不亦多，宜精不亦多。把学生从题海中解救出来。所以教师就要不断地“淘宝”，将所选出来的习题归类，变式，教师课前都要认真研究，对这些习题有一个深刻地解读。对习题要有提前设计问题，注意启发学生的思维，才能让学生知一题，会一类。以内高高三一轮复习中由递推关系求数列的通项公式为例：
复习由递推关系求数列通项公式：
问题1：在数列{an}中，已知a1=2，an-1=an+3n+2，求数列{an}的通项公式。
问题2：在数列{an}中，已知a1=1，na-1=（n+1）an，求数列{an}的通项公式。
问题3：在数列{an}中，已知a1=1，an+1=3an+2，求数列{an}的通项公式。
（问题3预习时60﹪多数学生不会）
生1：问题1采用累加法。变形可得an-an-1=3n-1，累加得：
所以得
生2：问题2采用累乘法。变形可得，累乘得，即，所以an=n
生3：问题3可重新构造数列。等式两边都加1可变形得：an+1+1=3（an+1），令bn=an+1，则转化为：，又b1=a1+1=2，bn=2·3n-1，即an+1=2·3n-1，所以an=2·3n-1-1.
师：三位同学分别用累加法，累乘法和构造法解决关于递推数列求通项问题，解答规范正确很好。那么请回顾上述三种方法分别在什么情况下使用？
生4：累加法适合an-an-1=f（n）型，累乘法适合型，f（n）可为上面的一次函数，二次函数，指对函数，分数函数应该都可以。构造法适合an+1=Aan+B，其中A，B為常数，A=1或B=0时分别等差或等比数列。
师：总结的很好。构造法解形如此类an+1=Aan+B，那如何构造呢？请看下题：
问题4：若在数列{an}中，已知，求数列{an}的通项公式。
生5：由问题3启示，可以用待定系数法：an+1+λ=A（an+λ），比较系数求λ，可求通项。可设为。
改写成：，比较条件得：，，所以
即，可求解。
师：不错，形如an+1=Aan+B不能直接构造时，我们可以采用待定系数求解。大家再思考下，有不同想法吗？
生6：递推相减也可以：
令bn=an-an-1，则{bn}（n≥2）为等比数列，
由，可得，即
转化为累加法可得.
师：很棒。生7同学方法采用一阶与一阶相减的方法，我们可以简记为阶差法。
对an+1=Aan+B形数列可采用两种方法待定系数和阶差法。
（二）转“防”为“攻”
传统教学是以教师、教材为中心，学生学的知识也是被灌输的。教学方式也比较单一，学到的知识也是现成的。学生就像一台复制机，将这些知识进行复制和粘贴，在整个过程中，学生只会一味地模仿，教师很怕学生经历错误，而这样的方式学生也会很少经历错误，这就是典型的“防守”。而知识有效地学习不是依赖于老师，一味地模仿，而在于让学生主动地去经历，去实践，去犯错，去体验。学生在犯错和体验中能真正感受到知识的建构，会弄清楚原理。在新课程理念下，学生是不断发展的独立主体。他们可以自主合作探究，相互鼓励，相互借鉴。所以教师要充分调动学生的学习积极性，在展示习题后让学生能审视思考，自己来分析解决问题，或借助小组合作，解决问题。这样的习题课才是完整和高效的。学生要主动地表达自己的想法，敢于质疑，变防守为主动进攻，让学生在多变的习题中提高思维的灵活性和创新性。 （三）打造“平台”
培养学生思维是习题课的一个重要任务，所以要给学生一个平台展示自己的思维，即使是错误的思维，也要让学生在思维的过程中充分地暴露出来，才能帮他们找到问题的症结，才能“对症下药”，纠正他们的错误思维。引导他们树立良好的思维品质。有时候学生会给出新的解题方法和更出色的解题思维，一些方法甚至比老师提供的还要快捷。这时候，老师应该肯定学生的结果，能结合他们的智慧去讲解习题，会达到意想不到的效果。因此，老师要为学生设立鼓励的平台，鼓励学生表达，让学生对于新的解题过程展开讨论，探讨出不同的解题思路。有时，学生间会相互赞赏;有会发生争辩，指出问题，这样，正确的方法就渐渐明朗了;有时学需要老师指点，学生才恍然大悟。这样的展示平台让学生有了积极性，比老师讲得要有趣多了。在这样的可能上，教师是平等中的首席，不断引导学生去分享彼此的收获，重新整理他们的想法。要善于捕捉适合的教育时机，从而达到优效教学的目的。
（四）突破“瓶颈”
在教学中经常听到周围的同事发出这样的抱怨：“这类型的题都讲了不知道多少遍，还要错？”于是，老师不甘心，找学生各种谈话，问作业是否自己做？问上课是否听懂了？学生呢也是都听懂了，作业也都自己做，但一到考试就出错。这种现象是教学中常见又很难解决的现象。找出问题的本源，就要对学生的解题心理和解题思维作分析。学生懂了和会了，但脱离课本，便不能很好地将学过的知识運用到习题中去。所以在懂了和会了之间学生处于另一种学习状态，这种状态就称为“瓶颈”。“瓶颈”就是学生的依赖性，虽然作业独立完成，但是可以翻书，查阅笔记，询问老师同学，相对缺乏思考，所以听懂了和会做了，但考不出来。如何改善这中现象呢？我们需要时间和平台，习题课就是一个最很好的平台。在习题课上要引导学生在习题中不断地梳理知识，运用知识。帮助他们在习题中克服学对各种辅助手段的依赖，养成独立思考问题，自主探索解决问题的良好习惯，所以教师在习题课上的教学方式和方法就很关键了。
四、习题课优效教学的反思评价
（一）反思评价的意义
上完习题课，学生印象深刻，但不及时进行评价反思，时间一长，加上学生的惰性，体验就很快消失，使学生失去了提高数学能力的机会。所以要经常引导学生对习题进行反思、总结。改进学生学习行为只能通过反思。为展示学生良好的学习品质只能通过评价为目的的。
将反思与评价相结合，能帮助学生认识自我，帮助老师了解学情。
（二）建立优效的反思评价体系
目前，传统的反思评价是下课前对学生提几个问题：这节课你学到了哪些内容？你获得了哪些数学思想方法，这样的提问流于形式。学生的短短几分钟回答都不够深入。所以反思评价体现在习题课的各个环节中，有些甚至要延伸到课后环节，精心设计反思评价的形式是习题教学刻不容缓的事。
1.单项与综合评价相结合
评价的指标要具体、多元化。在数学学习中学生的各项表现作为评价的依据，设置评价指标。但仅仅靠这些分割的指标是不完整的，还需要对教学进行综合性评价。
2.质化和量化评价相结合
衡量学生学习情况往往用指标设置分值，用总分衡量学生的学习情况，但教学具有复杂性，光是用分数不能评价到位，所以还需要反思性的语言作为评价依据。
3.自我与他人评价相结合
学生在自我评价中因带有主观色彩，因此不能很好认识自己。在评价中还要结合同学和老师的评价才能客观评价自己。
4.教师与学生评价相结合
教学活动是一个双向活动，不仅学生要做好反思评价，教师也需要做反思评价，这样有利于教学相长。
著名数学家毕达哥拉斯认为，“在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么”，其认为，数学教育必须强调“获取知识的过程”，而不是仅要求学生给出结果。面对学生所表现出来的不同素质，学会对问题进行利用，为学生打开数学学习的缺口就显得尤为重要。这样才能让思维走得更远。
参考文献
[1]中华人民共和国教育部.《普通高中数学课程标准》（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.
[2]殷伟康.浸润数学文化，提升核心素养——“阿波罗尼斯圆的应用及探究”教学实践与思考中学数学2017.11
关键词：习题课;高三复习;优效教学
一、问题的提出
著名数学家波利亚曾说过：“中学数学教学首要的任务就是加强习题训练。”内高高三数学复习离不开习题练习，虽然大量的习题训练可以让学生夯实双基，提高数学解题分析思维能力，促进学生数学核心素养养成。但是题海战术的习题练习不能完全适合所有的学生，尤其是内高班的学生，由于新疆的教学与内地的教学差异较大，学生在习题的练习中不能触类旁通，不能总结习题中反映的问题，只会进行题海战术，却无法提升解决数学问题的能力。如何处理习题练习中出现的问题，让习题课教学更优效，是每个内高高三数学教师追求的目标。习题是做不完的，如何通过对存在问题的分析，弥补知识的短板，开阔认知，提升数学思维的深度，拨云见雾，挖掘知识的本质，深究教材，掌握本源知识。结合内高班教学实践探索从解决问题中提升学生思维训练、思路与方法探寻、注重问题回归三个不同的方面来引导学生处理问题，提升能力，努力实现习题课优效教学。
二、习题课有效教学的理论依据
（一）有意义地学习数学
近年来，因为传统的数学教学方式，不利于学生能力发展，于是便开始流行自主探究式教学。但这种盲从的教学方式没有能培养学生的能力。奥苏贝尔的有意义的学习理论认为：学生能否获得新信息，主要取决于他们认知结构中是否有相关概念和新概念之间的相互作用，实际意义上来说就是指理解这些符号和语句的实质内容，并运用它们。
（二）以最近发展区理论为基础
最近发展区理论认为，目前已达到的水平和潜在可能达到的水平是学生目前学习的两种状态。介于这两种水平之间的就是最近发展区。教学不能让学生只停留在已有水平上，跳一跳，能让学生达到一定的高度——也就是最近发展区内。内高的学生对于高中数学的学习普遍感觉比较困难，习题课的设计难度要由易至难，教师要选择适当的“高度”能让内高的学生跳出自己原有的水平。
三、习题课优效教学实践
（一）精选精备
教师要引导学生在解习题的过程中组建之际的知识网络体系，形成思维模块。教师和学生不能光做大量的习题，而是要集中精力解决某几类习题，通过挖掘题目中的各方面的信息，来解决它们。因此习题的选择宜少不亦多，宜精不亦多。把学生从题海中解救出来。所以教师就要不断地“淘宝”，将所选出来的习题归类，变式，教师课前都要认真研究，对这些习题有一个深刻地解读。对习题要有提前设计问题，注意启发学生的思维，才能让学生知一题，会一类。以内高高三一轮复习中由递推关系求数列的通项公式为例：
复习由递推关系求数列通项公式：
问题1：在数列{an}中，已知a1=2，an-1=an+3n+2，求数列{an}的通项公式。
问题2：在数列{an}中，已知a1=1，na-1=（n+1）an，求数列{an}的通项公式。
问题3：在数列{an}中，已知a1=1，an+1=3an+2，求数列{an}的通项公式。
（问题3预习时60﹪多数学生不会）
生1：问题1采用累加法。变形可得an-an-1=3n-1，累加得：
所以得
生2：问题2采用累乘法。变形可得，累乘得，即，所以an=n
生3：问题3可重新构造数列。等式两边都加1可变形得：an+1+1=3（an+1），令bn=an+1，则转化为：，又b1=a1+1=2，bn=2·3n-1，即an+1=2·3n-1，所以an=2·3n-1-1.
师：三位同学分别用累加法，累乘法和构造法解决关于递推数列求通项问题，解答规范正确很好。那么请回顾上述三种方法分别在什么情况下使用？
生4：累加法适合an-an-1=f（n）型，累乘法适合型，f（n）可为上面的一次函数，二次函数，指对函数，分数函数应该都可以。构造法适合an+1=Aan+B，其中A，B為常数，A=1或B=0时分别等差或等比数列。
师：总结的很好。构造法解形如此类an+1=Aan+B，那如何构造呢？请看下题：
问题4：若在数列{an}中，已知，求数列{an}的通项公式。
生5：由问题3启示，可以用待定系数法：an+1+λ=A（an+λ），比较系数求λ，可求通项。可设为。
改写成：，比较条件得：，，所以
即，可求解。
师：不错，形如an+1=Aan+B不能直接构造时，我们可以采用待定系数求解。大家再思考下，有不同想法吗？
生6：递推相减也可以：
令bn=an-an-1，则{bn}（n≥2）为等比数列，
由，可得，即
转化为累加法可得.
师：很棒。生7同学方法采用一阶与一阶相减的方法，我们可以简记为阶差法。
对an+1=Aan+B形数列可采用两种方法待定系数和阶差法。
（二）转“防”为“攻”
传统教学是以教师、教材为中心，学生学的知识也是被灌输的。教学方式也比较单一，学到的知识也是现成的。学生就像一台复制机，将这些知识进行复制和粘贴，在整个过程中，学生只会一味地模仿，教师很怕学生经历错误，而这样的方式学生也会很少经历错误，这就是典型的“防守”。而知识有效地学习不是依赖于老师，一味地模仿，而在于让学生主动地去经历，去实践，去犯错，去体验。学生在犯错和体验中能真正感受到知识的建构，会弄清楚原理。在新课程理念下，学生是不断发展的独立主体。他们可以自主合作探究，相互鼓励，相互借鉴。所以教师要充分调动学生的学习积极性，在展示习题后让学生能审视思考，自己来分析解决问题，或借助小组合作，解决问题。这样的习题课才是完整和高效的。学生要主动地表达自己的想法，敢于质疑，变防守为主动进攻，让学生在多变的习题中提高思维的灵活性和创新性。 （三）打造“平台”
培养学生思维是习题课的一个重要任务，所以要给学生一个平台展示自己的思维，即使是错误的思维，也要让学生在思维的过程中充分地暴露出来，才能帮他们找到问题的症结，才能“对症下药”，纠正他们的错误思维。引导他们树立良好的思维品质。有时候学生会给出新的解题方法和更出色的解题思维，一些方法甚至比老师提供的还要快捷。这时候，老师应该肯定学生的结果，能结合他们的智慧去讲解习题，会达到意想不到的效果。因此，老师要为学生设立鼓励的平台，鼓励学生表达，让学生对于新的解题过程展开讨论，探讨出不同的解题思路。有时，学生间会相互赞赏;有会发生争辩，指出问题，这样，正确的方法就渐渐明朗了;有时学需要老师指点，学生才恍然大悟。这样的展示平台让学生有了积极性，比老师讲得要有趣多了。在这样的可能上，教师是平等中的首席，不断引导学生去分享彼此的收获，重新整理他们的想法。要善于捕捉适合的教育时机，从而达到优效教学的目的。
（四）突破“瓶颈”
在教学中经常听到周围的同事发出这样的抱怨：“这类型的题都讲了不知道多少遍，还要错？”于是，老师不甘心，找学生各种谈话，问作业是否自己做？问上课是否听懂了？学生呢也是都听懂了，作业也都自己做，但一到考试就出错。这种现象是教学中常见又很难解决的现象。找出问题的本源，就要对学生的解题心理和解题思维作分析。学生懂了和会了，但脱离课本，便不能很好地将学过的知识運用到习题中去。所以在懂了和会了之间学生处于另一种学习状态，这种状态就称为“瓶颈”。“瓶颈”就是学生的依赖性，虽然作业独立完成，但是可以翻书，查阅笔记，询问老师同学，相对缺乏思考，所以听懂了和会做了，但考不出来。如何改善这中现象呢？我们需要时间和平台，习题课就是一个最很好的平台。在习题课上要引导学生在习题中不断地梳理知识，运用知识。帮助他们在习题中克服学对各种辅助手段的依赖，养成独立思考问题，自主探索解决问题的良好习惯，所以教师在习题课上的教学方式和方法就很关键了。
四、习题课优效教学的反思评价
（一）反思评价的意义
上完习题课，学生印象深刻，但不及时进行评价反思，时间一长，加上学生的惰性，体验就很快消失，使学生失去了提高数学能力的机会。所以要经常引导学生对习题进行反思、总结。改进学生学习行为只能通过反思。为展示学生良好的学习品质只能通过评价为目的的。
将反思与评价相结合，能帮助学生认识自我，帮助老师了解学情。
（二）建立优效的反思评价体系
目前，传统的反思评价是下课前对学生提几个问题：这节课你学到了哪些内容？你获得了哪些数学思想方法，这样的提问流于形式。学生的短短几分钟回答都不够深入。所以反思评价体现在习题课的各个环节中，有些甚至要延伸到课后环节，精心设计反思评价的形式是习题教学刻不容缓的事。
1.单项与综合评价相结合
评价的指标要具体、多元化。在数学学习中学生的各项表现作为评价的依据，设置评价指标。但仅仅靠这些分割的指标是不完整的，还需要对教学进行综合性评价。
2.质化和量化评价相结合
衡量学生学习情况往往用指标设置分值，用总分衡量学生的学习情况，但教学具有复杂性，光是用分数不能评价到位，所以还需要反思性的语言作为评价依据。
3.自我与他人评价相结合
学生在自我评价中因带有主观色彩，因此不能很好认识自己。在评价中还要结合同学和老师的评价才能客观评价自己。
4.教师与学生评价相结合
教学活动是一个双向活动，不仅学生要做好反思评价，教师也需要做反思评价，这样有利于教学相长。
著名数学家毕达哥拉斯认为，“在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么”，其认为，数学教育必须强调“获取知识的过程”，而不是仅要求学生给出结果。面对学生所表现出来的不同素质，学会对问题进行利用，为学生打开数学学习的缺口就显得尤为重要。这样才能让思维走得更远。
参考文献
[1]中华人民共和国教育部.《普通高中数学课程标准》（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.
[2]殷伟康.浸润数学文化，提升核心素养——“阿波罗尼斯圆的应用及探究”教学实践与思考中学数学2017.11