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2009年全国各地高考中的圆锥曲线试题,都出现了平面向量与解析几何知识交汇的综合题.向量本身既能体现“形”的直观特征,又具有“数”的良好运算性质,是数形结合的桥梁.利用向量的“工具性”结合解析几何中的几何性质设计试题,已逐渐成为高考命题的一个热点.本文通过对2009年全国各地高考试题的分析整理,把平面向量在解析几何中的应用进行归类总结,其主要应用体现在以下三个方面:
一、运用向量共线的充要条件解决有关平行、共线等问题
此类问题经常出现在选择题与填空题中,顺利解决这类问题必须充分理解平面向量的相关概念,并熟练掌握向量的坐标运算,共线的充要条件.
例1(2009浙江理)过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点A作斜率为-1的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B、C.若AB=12BC,则双曲线的离心率是
A.2B.3 C.5D.10
解析:∵ 斜率为k=-1,经过右顶点A(a,0),
∴ 直线方程为x+y-a=0.
由x+y-a=0,
y=bax.
解得B(a2a+b,aba+b).
由x+y-a=0,
y=-bax.
解得C(a2a-b,-aba-b).
∴ BC=(2a2ba2-b2,-2a2ba2-b2),AB=(-aba+b,aba+b).
又∵2AB=BC,
∴4a2=b2, ∴e=5.
答案:选C.
点评:本题着重考查向量共线的充要条件及其坐标运算与双曲线的概念及几何性质的交汇.所谓向量共线的充要条件就是向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得b=λa(a≠0).
二、运用向量的数量积处理有关长度、角度、垂直、取值范围等问题
运用向量的数量积,可以把有关的长度、角度、垂直等几何关系迅速转化为数量关系,从而“计算”出所要求的结果.
例2 (2009四川 文)已知双曲线x22-y2b2=1(b>0)的左、右焦点分别是F1、F2,其一条渐近线方程为y=x,点P(3,y0)在双曲线上.则PF1•PF2=
A.-12 B.-2C.0D.4
解析:∵y=x 为双曲线渐近线方程,
∴ 双曲线的实轴与虚轴相等,即b2=2.
∴ 双曲线方程为x2-y2=2.
又∵ 点P(3,y0)在双曲线上,
∴P(3,1)或P(3,-1).
由c2=a2+b2=4可知左、右焦点坐标分别是F1(-2,0)和F2(2,0).
假设P(3,1),则PF1=(-2-3,-1),PF2=(2-3,-1),
∴PF1•PF2=-(2+3)(2-3)+1=0.
答案:选C.
点评:本题考查向量数量积的坐标运算.首先求双曲线的方程,进而求得点P的坐标和焦点坐标,可得向量的坐标,最后求得两向量的数量积的值.若取P(3,-1),所得结果一样.
例3 (2009北京理改)已知双曲线C∶x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为3,a2c=33.
(1)求双曲线C的方程;
(2)设直线l是圆O∶x2+y2=2上动点P(x0,y0)(x0y0≠0)处的切线,l与双曲线C交于不同的两点A、B,证明:∠AOB的大小为定值.
解析:(1)由题意,得
a2c=33,
ca=3.
解得a=1,c=3,
∴b2=c2-a2=2,
∴ 所求双曲线C的方程为x2-y22=1.
(2)∵直线l是圆O∶x2+y2=2上动点P(x0,y0)(x0y0≠0)处的切线,
∴ 圆在点P(x0,y0)处的切线方程为x0x+y0y-2=0.
由
x2-y22=1,
x0x+y0y=2.
消去y得:(2y20-x20)x2+4x0x-4-2y20=0.
又∵点P在圆x2+y2=2上,
∴ y20=2-x20,代入上式整理得:(3x20-4)x2-4x0x+8-2x20=0.
∵ 切线l与双曲线C交于不同的两点A、B,且0 ∴ 3x20-4≠0,且Δ=16x20-4(3x20-4)(8-2x20)>0.
设A、B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
则x1+x2=4x03x20-4,x1x2=8-2x203x20-4.
∵cos∠AOB=OA•OB|OA|•|OB|,而
OA•OB=x1x2+y1y2=x1x2+1y20(2-x0x1)(2-x0x2)
=x1x2+12-x20[4-2x0(x1+x2)+x20x1x2]
=8-2x203x20-4+12-x20[4-8x203x20-4+x20(8-2x20)3x20-4]
=8-2x203x20-4+12-x20×-(2x20-8)(x20-2)3x20-4
=8-2x203x20-4-8-2x203x20-4=0.
∴cos∠AOB=0.
∴∠AOB=90°,即∠AOB的大小为定值.
点评:本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识及应用它们解决问题的基本能力,如逻辑思维能力、推理计算能力,还考查了解析几何的基本思想方法.
三、综合运用平面向量知识,探求动点轨迹方程以及进一步探求曲线的性质
例4 (2009山东 理)设椭圆E∶x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)过M(2,2),N(6,1)两点,O为坐标原点.
(1)求椭圆E的方程;
(2)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B,且OA⊥OB?若存在,写出该圆的方程,并求|AB|的取值范围,若不存在说明理由.
解析:(1)∵M(2,2),N(6,1)两点在椭圆E∶x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)上,
∴
4a2+2b2=1,
6a2+1b2=1.
解得
1a2=18,
1b2=14.
所以
a2=8,
b2=4.
∴椭圆E∶x28+y24=1.
(2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B,且OA⊥OB,设该圆的切线方程为y=kx+m(假设斜率存在).
∵ 切线与椭圆恒有两个交点A、B,
∴由
y=kx+m,
x28+y24=1.
得x2+2(kx+m)2=8,
整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1+x2=-4km1+2k2,x1x2=2m2-81+2k2.
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=m2-8k21+2k2.
由Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-8)>0,整理得8k2-m2+4>0.
又∵OA⊥OB,
∴x1x2+y1y2=0.
∴2m2-81+2k2+m2-8k21+2k2=0,整理得3m2-8k2-8=0,k2=3m2-88≥0.
又∵8k2-m2+4>0,
∴
3m2-88≥0,
m2>2.
解得m≤-263 或 m≥263.
因为直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线,
所以圆的半径为r=|m|1+k2, r2=m21+k2=m21+3m2-88=83.
所求圆的方程为x2+y2=83.
此时,圆的切线y=kx+m都满足m≤-263或m≥263,而当切线的斜率不存在时切线为x=±263,与椭圆x28+y24=1的两个交点为(263,±263)或(-263,±263),且满足OA⊥OB.
综上, 存在圆心在原点的圆x2+y2=83,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B,且OA⊥OB.
|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(1+k2)(x1-x2)2=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
=(1+k2)[(-4km1+2k2)2-4×2m2-81+2k2]
=(1+k2)8(8k2-m2+4)(1+2k2)2
=8(1+k2)(8k2-m2+4)(1+2k2)2
将m2=8k2+83代入上式得:
|AB|=323×4k4+5k2+14k4+4k2+1=323[1+k24k4+4k2+1
]
=3231+14k2+1k2+4.
当k≠0时,∵4k2+1k2+4≥8,
∴0<14k2+1k2+4≤18,
∴323<323[1+14k2+1k2+4]≤12.
由|AB|=323(1+14k2+1k2+4)可得,436<|AB|≤23,当且仅当k=±22时,等号成立;
当k=0时,易求|AB|=463;
当AB所在直线的斜率不存在时, 两个交点为(263,±263)或(-263,±263),
可求得:|AB|=463.
综上,|AB|的取值范围为436≤|AB|≤23.
点评:本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置关系,直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,要求考生能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系及利用基本不等式求相关量的取值范围.
例5 (2009全国II 理)已知椭圆C∶x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为33,过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点,当l的斜率为1时,坐标原点O到l的距离为22.
(1)求a,b的值;
(2)椭圆C上是否存在点P,使得当l绕F转到某一位置时,有OP=OA+OB成立?若存在,求出所有点P的坐标与l的方程;若不存在,说明理由.
解析:(1)设焦点F(c,0),直线l:x-y-c=0,
∵坐标原点O到l的距离为22,
∴ |0-0-c|2=22,解得c=1.
又由e=ca=33得a=3,b=2.
(2)由(1)知椭圆的方程为x23+y22=1.设A(x1,y1)、B(x2,y2),
由题意知直线l的斜率一定不为0,所以可设l∶x=my+1.
由
x=my+1,
x23+y22=1.
消去x得(2m2+3)y2+4my-4=0,
Δ=16m2+16(2m2+3)>0恒成立.
由韦达定理有:y1+y2=-4m2m2+3,y1y2=-42m2+3.…………①
假设存在点P,使OP=OA+OB成立,则点P的坐标为(x1+x2,y1+y2).
又因为点P在椭圆上,所以(x1+x2)23+(y1+y2)22=1.
整理得2x21+3y21+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2=6.
又A、B在椭圆上,即2x21+3y21=6,2x22+3y22=6,
故2x1x2+3y1y2+3=0.………………②
将x1x2=(my1+1)(my2+1)=m2y1y2+m(y1+y2)+1及①代入②可解得
m2=12,m=±22.
∴y1+y2=22或-22,x1+x2=-4m22m2+3+2=32,即P(32,±22).
当m=22时,P(32,-22),l∶x=22y+1;
当m=-22时,P(32,22),l∶x=-22y+1.
点评:解析几何的学习过程中,一定要在“算”上多下功夫.所谓“算”,主要讲的是算理和算法.算法是解决问题采用的计算的方法,而算理是采用这种算法的依据和原理.
一、运用向量共线的充要条件解决有关平行、共线等问题
此类问题经常出现在选择题与填空题中,顺利解决这类问题必须充分理解平面向量的相关概念,并熟练掌握向量的坐标运算,共线的充要条件.
例1(2009浙江理)过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点A作斜率为-1的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B、C.若AB=12BC,则双曲线的离心率是
A.2B.3 C.5D.10
解析:∵ 斜率为k=-1,经过右顶点A(a,0),
∴ 直线方程为x+y-a=0.
由x+y-a=0,
y=bax.
解得B(a2a+b,aba+b).
由x+y-a=0,
y=-bax.
解得C(a2a-b,-aba-b).
∴ BC=(2a2ba2-b2,-2a2ba2-b2),AB=(-aba+b,aba+b).
又∵2AB=BC,
∴4a2=b2, ∴e=5.
答案:选C.
点评:本题着重考查向量共线的充要条件及其坐标运算与双曲线的概念及几何性质的交汇.所谓向量共线的充要条件就是向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得b=λa(a≠0).
二、运用向量的数量积处理有关长度、角度、垂直、取值范围等问题
运用向量的数量积,可以把有关的长度、角度、垂直等几何关系迅速转化为数量关系,从而“计算”出所要求的结果.
例2 (2009四川 文)已知双曲线x22-y2b2=1(b>0)的左、右焦点分别是F1、F2,其一条渐近线方程为y=x,点P(3,y0)在双曲线上.则PF1•PF2=
A.-12 B.-2C.0D.4
解析:∵y=x 为双曲线渐近线方程,
∴ 双曲线的实轴与虚轴相等,即b2=2.
∴ 双曲线方程为x2-y2=2.
又∵ 点P(3,y0)在双曲线上,
∴P(3,1)或P(3,-1).
由c2=a2+b2=4可知左、右焦点坐标分别是F1(-2,0)和F2(2,0).
假设P(3,1),则PF1=(-2-3,-1),PF2=(2-3,-1),
∴PF1•PF2=-(2+3)(2-3)+1=0.
答案:选C.
点评:本题考查向量数量积的坐标运算.首先求双曲线的方程,进而求得点P的坐标和焦点坐标,可得向量的坐标,最后求得两向量的数量积的值.若取P(3,-1),所得结果一样.
例3 (2009北京理改)已知双曲线C∶x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为3,a2c=33.
(1)求双曲线C的方程;
(2)设直线l是圆O∶x2+y2=2上动点P(x0,y0)(x0y0≠0)处的切线,l与双曲线C交于不同的两点A、B,证明:∠AOB的大小为定值.
解析:(1)由题意,得
a2c=33,
ca=3.
解得a=1,c=3,
∴b2=c2-a2=2,
∴ 所求双曲线C的方程为x2-y22=1.
(2)∵直线l是圆O∶x2+y2=2上动点P(x0,y0)(x0y0≠0)处的切线,
∴ 圆在点P(x0,y0)处的切线方程为x0x+y0y-2=0.
由
x2-y22=1,
x0x+y0y=2.
消去y得:(2y20-x20)x2+4x0x-4-2y20=0.
又∵点P在圆x2+y2=2上,
∴ y20=2-x20,代入上式整理得:(3x20-4)x2-4x0x+8-2x20=0.
∵ 切线l与双曲线C交于不同的两点A、B,且0
设A、B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
则x1+x2=4x03x20-4,x1x2=8-2x203x20-4.
∵cos∠AOB=OA•OB|OA|•|OB|,而
OA•OB=x1x2+y1y2=x1x2+1y20(2-x0x1)(2-x0x2)
=x1x2+12-x20[4-2x0(x1+x2)+x20x1x2]
=8-2x203x20-4+12-x20[4-8x203x20-4+x20(8-2x20)3x20-4]
=8-2x203x20-4+12-x20×-(2x20-8)(x20-2)3x20-4
=8-2x203x20-4-8-2x203x20-4=0.
∴cos∠AOB=0.
∴∠AOB=90°,即∠AOB的大小为定值.
点评:本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识及应用它们解决问题的基本能力,如逻辑思维能力、推理计算能力,还考查了解析几何的基本思想方法.
三、综合运用平面向量知识,探求动点轨迹方程以及进一步探求曲线的性质
例4 (2009山东 理)设椭圆E∶x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)过M(2,2),N(6,1)两点,O为坐标原点.
(1)求椭圆E的方程;
(2)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B,且OA⊥OB?若存在,写出该圆的方程,并求|AB|的取值范围,若不存在说明理由.
解析:(1)∵M(2,2),N(6,1)两点在椭圆E∶x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)上,
∴
4a2+2b2=1,
6a2+1b2=1.
解得
1a2=18,
1b2=14.
所以
a2=8,
b2=4.
∴椭圆E∶x28+y24=1.
(2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B,且OA⊥OB,设该圆的切线方程为y=kx+m(假设斜率存在).
∵ 切线与椭圆恒有两个交点A、B,
∴由
y=kx+m,
x28+y24=1.
得x2+2(kx+m)2=8,
整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1+x2=-4km1+2k2,x1x2=2m2-81+2k2.
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=m2-8k21+2k2.
由Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-8)>0,整理得8k2-m2+4>0.
又∵OA⊥OB,
∴x1x2+y1y2=0.
∴2m2-81+2k2+m2-8k21+2k2=0,整理得3m2-8k2-8=0,k2=3m2-88≥0.
又∵8k2-m2+4>0,
∴
3m2-88≥0,
m2>2.
解得m≤-263 或 m≥263.
因为直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线,
所以圆的半径为r=|m|1+k2, r2=m21+k2=m21+3m2-88=83.
所求圆的方程为x2+y2=83.
此时,圆的切线y=kx+m都满足m≤-263或m≥263,而当切线的斜率不存在时切线为x=±263,与椭圆x28+y24=1的两个交点为(263,±263)或(-263,±263),且满足OA⊥OB.
综上, 存在圆心在原点的圆x2+y2=83,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B,且OA⊥OB.
|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(1+k2)(x1-x2)2=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
=(1+k2)[(-4km1+2k2)2-4×2m2-81+2k2]
=(1+k2)8(8k2-m2+4)(1+2k2)2
=8(1+k2)(8k2-m2+4)(1+2k2)2
将m2=8k2+83代入上式得:
|AB|=323×4k4+5k2+14k4+4k2+1=323[1+k24k4+4k2+1
]
=3231+14k2+1k2+4.
当k≠0时,∵4k2+1k2+4≥8,
∴0<14k2+1k2+4≤18,
∴323<323[1+14k2+1k2+4]≤12.
由|AB|=323(1+14k2+1k2+4)可得,436<|AB|≤23,当且仅当k=±22时,等号成立;
当k=0时,易求|AB|=463;
当AB所在直线的斜率不存在时, 两个交点为(263,±263)或(-263,±263),
可求得:|AB|=463.
综上,|AB|的取值范围为436≤|AB|≤23.
点评:本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置关系,直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,要求考生能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系及利用基本不等式求相关量的取值范围.
例5 (2009全国II 理)已知椭圆C∶x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为33,过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点,当l的斜率为1时,坐标原点O到l的距离为22.
(1)求a,b的值;
(2)椭圆C上是否存在点P,使得当l绕F转到某一位置时,有OP=OA+OB成立?若存在,求出所有点P的坐标与l的方程;若不存在,说明理由.
解析:(1)设焦点F(c,0),直线l:x-y-c=0,
∵坐标原点O到l的距离为22,
∴ |0-0-c|2=22,解得c=1.
又由e=ca=33得a=3,b=2.
(2)由(1)知椭圆的方程为x23+y22=1.设A(x1,y1)、B(x2,y2),
由题意知直线l的斜率一定不为0,所以可设l∶x=my+1.
由
x=my+1,
x23+y22=1.
消去x得(2m2+3)y2+4my-4=0,
Δ=16m2+16(2m2+3)>0恒成立.
由韦达定理有:y1+y2=-4m2m2+3,y1y2=-42m2+3.…………①
假设存在点P,使OP=OA+OB成立,则点P的坐标为(x1+x2,y1+y2).
又因为点P在椭圆上,所以(x1+x2)23+(y1+y2)22=1.
整理得2x21+3y21+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2=6.
又A、B在椭圆上,即2x21+3y21=6,2x22+3y22=6,
故2x1x2+3y1y2+3=0.………………②
将x1x2=(my1+1)(my2+1)=m2y1y2+m(y1+y2)+1及①代入②可解得
m2=12,m=±22.
∴y1+y2=22或-22,x1+x2=-4m22m2+3+2=32,即P(32,±22).
当m=22时,P(32,-22),l∶x=22y+1;
当m=-22时,P(32,22),l∶x=-22y+1.
点评:解析几何的学习过程中,一定要在“算”上多下功夫.所谓“算”,主要讲的是算理和算法.算法是解决问题采用的计算的方法,而算理是采用这种算法的依据和原理.