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摘 要:概率知识引入高中数学课本,是新课程的一个亮点,它与各章知识交汇的学科内综合问题,以其新颖性、综合性而“闪亮登场”.正好体现了新高考能力立意及在知识网络交结点处设计命题的精神,一些建立在函数、向量、数列、立体几何、平面解析几何等背景之上的概率问题也越来越体现出生命力。下面分类说明这类题型解法。
关键词:概率 数学
1、概率与函数的交汇
例1:多项飞碟是奥运会的竞赛项目,它是由抛靶机把碟靶(射击的目标)在一定范围内从不同的方向飞出,每抛出一个碟靶,就允许运动员射击两次.一运动员在进行训练时,每一次射击命中碟靶的概率P与运动员离碟靶的距离S(米)成反比,现有一碟靶抛出后S(米)与飞行时间t(秒)满足S=15(t+1),(0≤t≤4).假设运动员在碟靶飞出后0.5秒进行第一次射击,且命中的概率为0.8,如果他发现没有命中,则通过迅速调整,在第一次射击后经过0.5秒进行第二次射击,求他命中此碟靶的概率?
[解析]:设P= (K为非0常数),则P=
当t=0.5秒时,P1=0.8 ,代入上式得K=18 ,∴P= =
∴当t=1秒时,P2=0.6
因此 P= P1+(1- P1)×P2=0.8+(1-0.8)×0.6=0.92
建立函数模型,将离散型随机变量融入连续型模型中,使随机现象中的数量规律建立在函数关系的基础上,进而可用函数的观点解决.
2、概率与数列的交汇
例2:从原点出发的某质点M,按向量a=(0,1)移动的概率为2/3,按向量b=(0,2)移动的概率为1/3,设M可到达点(0,n)的概率为Pn
(1)求P1和P2的值;(2)求证:Pn+2 -Pn+1=-(P-P);(3)求Pn的表达式。
[解析]:(1)P1=,P2= ()2+=()
(2)证明:M到达点(0,n+2)有两种情况:①从点(0,n+1)按向量a=(0,1)移动;②从点(0,n)按向量b=(0,2)移动.
∴Pn+2=Pn+1 + P∴ Pn+2 -Pn+1 =-(P-P)
(3)数列{ Pn+2 -Pn}是以P2-P1为首项,-为公比的等比数列.
P-P= (P2-P1)(-)n-1= (-)n-1=(-)n+1,
∴ P-P=(- )n,
又∵P-P =(P-P)+(P-P)+…+(P2-P1)
=(-)n+(- )n-1+…+(- )2=( )[1- (- )n-1]
∴ P=P1+( )[1- (-)n-1]=+ (-)n
将概率知识与递推数列合理融合,创造了新的命题情景,同时使概率与数列知识在整合过程中均得到了进一步的升华。
3、概率问题与直线知识的交汇
例3 (2005年全国高考全国卷Ⅲ理科试题)设l为平面上过点(1,0)的直线,l的斜率等可能地取-2,-,-,0,,,2,用ξ表示坐标原点到l的距离,则随机变量 ξ的数学期望 Eξ=_______________。
解:由题意,直线l的方程为y = kx+1,即kx-y+1 = 0,则 d=, 所以 d1= , d2= , d3= ,d4= 1, d5= , d6=,d7=则有: Eξ= (+ ++ 1+++ )•=
本题在考查离散象随机变量分布列及其数学期望的同时,也考查了直线方程、点到直线的距离等基础知识。
4、概率问题与立体几何知识的交汇
例4:质地均匀的三个几何体A、B、C.A是硬币,正面涂红色,反面涂黄色;B是正四面体涂了红黄蓝白四色,每面一色;C是正方体,每面涂一色,涂有红黄蓝三色,每种颜色两个面,在水平地面上依次投A、B、C各一次,几何体与地面接触的面的颜色称为“保留色”。
(1)求A、B、C的“保留色”相同的概率;
(2)求A、B、C的“保留色”恰为两个红色的概率;
(3)求A、B、C的“保留色”互不相同的概率;
[解析]:(1)∵当A、B、C的“保留色”相同可分为同红或同黄,
∴ P1=××+××=
(2)∵“恰为两个红色”有三种情况,即A、B同红色;B、C同红色;A、C同红色
∴P2= ××+××+××=
(3)解法(一)按先投A,再投C,最后投B的顺序可得P3=C×C×C=
解法(二)按先投A,再投B,最后投C的顺序则需分两类,当B投得的“保留色”为白色时,则此时三者的“保留色”互不相同的概率是C×C×C=;
当B投得的“保留色”不为白色时,则此时三者的“保留色”互不相同的概率是C×C×C=;,
∴A、B、C的“保留色”互不相同的概率P3= + =
解法(三)反面解之,P3=1- P1-2P2 -× (其中×为B、C同蓝色的概率)
概率与其它知识的交汇,往往以实际问题为背景,将概率知识与其它知识进行合理融合,这既是这类问题的热点,也符合新课程高考的方向.挖掘概率的渗透功能,整体把握好学科知识,明确问题的生长点,运用基本的数学思想和方法来实现知识的互相渗透、融合。
参考文献:
[1]聂力.对高中“概率与统计”教学的思考[J].教法与学法
[2]孙荣恒.趣味随机问题[M]科学出版社,2004.10
[3]朱华英.谈谈数学教学中如何培养学生的思维品质[J],2000
(河北省河间市第一中学 062450)
关键词:概率 数学
1、概率与函数的交汇
例1:多项飞碟是奥运会的竞赛项目,它是由抛靶机把碟靶(射击的目标)在一定范围内从不同的方向飞出,每抛出一个碟靶,就允许运动员射击两次.一运动员在进行训练时,每一次射击命中碟靶的概率P与运动员离碟靶的距离S(米)成反比,现有一碟靶抛出后S(米)与飞行时间t(秒)满足S=15(t+1),(0≤t≤4).假设运动员在碟靶飞出后0.5秒进行第一次射击,且命中的概率为0.8,如果他发现没有命中,则通过迅速调整,在第一次射击后经过0.5秒进行第二次射击,求他命中此碟靶的概率?
[解析]:设P= (K为非0常数),则P=
当t=0.5秒时,P1=0.8 ,代入上式得K=18 ,∴P= =
∴当t=1秒时,P2=0.6
因此 P= P1+(1- P1)×P2=0.8+(1-0.8)×0.6=0.92
建立函数模型,将离散型随机变量融入连续型模型中,使随机现象中的数量规律建立在函数关系的基础上,进而可用函数的观点解决.
2、概率与数列的交汇
例2:从原点出发的某质点M,按向量a=(0,1)移动的概率为2/3,按向量b=(0,2)移动的概率为1/3,设M可到达点(0,n)的概率为Pn
(1)求P1和P2的值;(2)求证:Pn+2 -Pn+1=-(P-P);(3)求Pn的表达式。
[解析]:(1)P1=,P2= ()2+=()
(2)证明:M到达点(0,n+2)有两种情况:①从点(0,n+1)按向量a=(0,1)移动;②从点(0,n)按向量b=(0,2)移动.
∴Pn+2=Pn+1 + P∴ Pn+2 -Pn+1 =-(P-P)
(3)数列{ Pn+2 -Pn}是以P2-P1为首项,-为公比的等比数列.
P-P= (P2-P1)(-)n-1= (-)n-1=(-)n+1,
∴ P-P=(- )n,
又∵P-P =(P-P)+(P-P)+…+(P2-P1)
=(-)n+(- )n-1+…+(- )2=( )[1- (- )n-1]
∴ P=P1+( )[1- (-)n-1]=+ (-)n
将概率知识与递推数列合理融合,创造了新的命题情景,同时使概率与数列知识在整合过程中均得到了进一步的升华。
3、概率问题与直线知识的交汇
例3 (2005年全国高考全国卷Ⅲ理科试题)设l为平面上过点(1,0)的直线,l的斜率等可能地取-2,-,-,0,,,2,用ξ表示坐标原点到l的距离,则随机变量 ξ的数学期望 Eξ=_______________。
解:由题意,直线l的方程为y = kx+1,即kx-y+1 = 0,则 d=, 所以 d1= , d2= , d3= ,d4= 1, d5= , d6=,d7=则有: Eξ= (+ ++ 1+++ )•=
本题在考查离散象随机变量分布列及其数学期望的同时,也考查了直线方程、点到直线的距离等基础知识。
4、概率问题与立体几何知识的交汇
例4:质地均匀的三个几何体A、B、C.A是硬币,正面涂红色,反面涂黄色;B是正四面体涂了红黄蓝白四色,每面一色;C是正方体,每面涂一色,涂有红黄蓝三色,每种颜色两个面,在水平地面上依次投A、B、C各一次,几何体与地面接触的面的颜色称为“保留色”。
(1)求A、B、C的“保留色”相同的概率;
(2)求A、B、C的“保留色”恰为两个红色的概率;
(3)求A、B、C的“保留色”互不相同的概率;
[解析]:(1)∵当A、B、C的“保留色”相同可分为同红或同黄,
∴ P1=××+××=
(2)∵“恰为两个红色”有三种情况,即A、B同红色;B、C同红色;A、C同红色
∴P2= ××+××+××=
(3)解法(一)按先投A,再投C,最后投B的顺序可得P3=C×C×C=
解法(二)按先投A,再投B,最后投C的顺序则需分两类,当B投得的“保留色”为白色时,则此时三者的“保留色”互不相同的概率是C×C×C=;
当B投得的“保留色”不为白色时,则此时三者的“保留色”互不相同的概率是C×C×C=;,
∴A、B、C的“保留色”互不相同的概率P3= + =
解法(三)反面解之,P3=1- P1-2P2 -× (其中×为B、C同蓝色的概率)
概率与其它知识的交汇,往往以实际问题为背景,将概率知识与其它知识进行合理融合,这既是这类问题的热点,也符合新课程高考的方向.挖掘概率的渗透功能,整体把握好学科知识,明确问题的生长点,运用基本的数学思想和方法来实现知识的互相渗透、融合。
参考文献:
[1]聂力.对高中“概率与统计”教学的思考[J].教法与学法
[2]孙荣恒.趣味随机问题[M]科学出版社,2004.10
[3]朱华英.谈谈数学教学中如何培养学生的思维品质[J],2000
(河北省河间市第一中学 062450)