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摘 要：《标准》中指出：重要的数学概念与数学思想宜逐步深入。在二年级上册的数学广角中，学生已经接触了简单的排列内容，初步感知排列的思想和方法，在三年级下册中又增加新的要求。为能更好地渗透有序思想，优化有序排列的方法，提升有序思维的数学素养，笔者通过对教材的解读和学生认知基础的调查，对人教版三年级下册“排列”一课进行实践与思考。
关键词：渗透；优化 提升 比较 有序
一、教材解读
《标准》中指出：重要的数学概念与数学思想宜逐步深入。在二年级上册的数学广角中，学生已经接触了简单的排列内容，通过具体操作、观察等活动初步感知排列的思想和方法；三年级下册中，内容难度稍有提升，这个提升不仅体现在排列元素的增加，也体现在问题要求的复杂化。
二上 三下
用1、2和3组成的两位数，每个两位数的十位数和个位数不能一样，能组成几个两位数？ 用0、1、3、5能组成多少个没有重复数字的两位数？
我们不难发现，在三下的教材编排中，元素（排列的数字）多了一个，而且增加的是0这个特殊元素。很明显，二年级主要是对有序思想的渗透和有序排列方法的指导，而三年级可根据需要适当提升教学目标——进一步进行有序思想的渗透，同时要根据实际情况优化有序排列的方法，从而提升有序思维的数学素养。
二、学情调查
数学活动应该建立在学生认知发展水平和已有知识经验的基础上，了解学生的认知起点，把握学生的认知规律，这样就可有针对性地实施教学。根据对教材内容的解读，本人对4个班级144人进行了一次课前调查。
第一题是“用1、2、3三个数字能组成多少个没有重复数字的两位数”，旨在了解学生的前知掌握情况；第二题是“用0、1、2、3四个数字能组成多少个没有重复数字的两位数”，旨在考查学生能否发现0的特殊性并对其进行特殊处理后进行排列；第三题是“用 1、2、3、5四个数字组成的没有重复数字的，个位是单数的两位数”，调查学生是否能对有特殊要求的题目选择最优方法进行有序排列。
初步统计，第一题结果正确的有104人，占总人数的72.2%，只有40人错误，这部分学生主要是基础薄弱以及对有序排列知识的遗忘；第二题结果正确的有92人，占总人数的63.2%，原本预想的学习难点也有超过一半的学生能用自己的方法进行有序排列而突破，而从错题来看，个别学生因未读清题目要求而导致错误，部分学生在排列时虽进行了有序思考，但受“0这个特殊条件”的影响而不能不重不漏地写完整，而第三题结果正确的只有58人，只占总人数的40.3%，9位考虑先固定个位上数字的同学全部做对，而87位考虑先固定十位上数字的同学只有将近一半人写完整，究其原因是很多学生对于这一题中的“2不能做个位”不能很好地处理，也就是没有找到用最优的方法来排列而导致有重复或是有遗漏的现象出现。
三、教学实践
基于以上調查和分析，本人决定利用学生已有的知识经验和生成性资源，放手让学生自己尝试，重点关注学生解决问题时的思路以及方法多样性的同时还借助在比较中进行方法的优化。教学实践过程如下：
1.复习导入，回顾旧知
课始，出示复习题“由1、2、3三个数字组成的没有重复数字的两位数。”提出问题“你是怎么想的？还有不同的方法吗？”并根据学生的回答呈现——固定十位，固定个位，交换位置。通过回顾旧知，唤醒学生已有的知识经验，利用正迁移对接下去的自主探索学习作铺垫。
2.新知探究，优化方法
出示“由0、1、2、3四个数字组成的没有重复数字的两位数。”展示学生作品并比较——同样进行了有序思考，你喜欢哪一种？为什么？
生：更喜欢第一种，因为0不能做首位，如果用固定个位法或者交换位置方法时，0不能做首位要考虑好几次，这样就很容易导致遗漏。
这一环节增加特殊元素“0”，放手让学生自主探索解决问题的方案。在多种方案交流中让学生感受到有序、全面思考以及分类讨论等方法的优点，同时通过比较，发现同是进行有序排列，先考虑“0”的特殊性，即先固定十位上的数字更方便，有序排列的同时进行方法的优化。
3.对比练习，内化问题
（1）变式练习，打破思维定势
出示“由1、2、3、5四个数字组成的没有重复数字的，个位是单数的两位数。”展示学生作业并交流。
生1：我先固定十位上的数为1，接着考虑个位分别为2、3、5，但又因为个位要是单数，所以我划掉了12；然后用同样的方法考虑十位上的数为2、3、5的情况，然后把不符合的数划掉。
生2：我跟前面同学一样的思考，只是把不符合的在脑海里直接去掉了。
生3：因为要求个位是单数，所以我就先固定个位上的数分别为1、3、5。
之后教师引导学生观察比较哪种方法更方便？从写数的习惯来说，从高位写起更方便，也因此很多学生第一反应就是先固定十位上的数，然后再考虑个位上的数，对这些学生应肯定他的有序思维，但根据不同的要求，换种思维方式可能会更方便。因此，设计了此变式练习题，与例题形成对比，发现在进行有序排列时可根据不同的要求对“特殊元素”进行额外处理，打破学生的思维定势，在比
较中将方法优化，内化了问题。
（2）变式练习，巩固知识点
出示题目“由1、2、3、5四个数字组成的没有重复数字的，个位是双数的四位数。”数字不变，要求改变，意在引导学生仔细审题的同时，考查学生是否会灵活选择合适的方法进行有序思考，巩固知识点。
（3）变式练习，数学生活化
将教材练习中的“唐僧”位置调整到最后，出示题目“唐僧师徒4人坐在椅子上。如果唐僧的位置不变，其他人可以任意换位置，最多有多少种坐法？”
要求用自己喜欢的方式快速正确地进行排列，并在小组内交流想法后汇报。 展示交流后与上一练习题进行比较，在比较中发现都是“末尾固定”，即只要对前三个元素进行有序排列，将数学与生活联系，体现了数学知识的生活价值。
4.拓展练习，提升方法
由1、2、3、5、6五个数字组成的没有重复数字的两位数中，
（1）从小到大的顺序排列，第5位是（ ），第14位是（ ）。
（2）从大到小的顺序排列，第5位是（ ）。
这个练习题，学生会用有序思维去思考，但在方法上有繁有简——有按照顺序依次排列，直到排列到所需要的那一位；也有在排列几个后发现每一个数字开头的有四个数，从而发现从小到大排列中，第5位一定是2开头的，第14位是5开头的，这在培养学生的有序思维上又提出了一个更高的要求，真正做到“下要保底，上不封顶”，提升了有序思维的数学素养。
四、教后反思
数学教学的本质，在于思维的启发和培养。小学数学教学中，适当拓展学习知识，有利于开阔学生的视野，锻炼学生的思维能力，从而实现数学有序思考这一学科素养的培养。从教学实践来看，本节课的凸显特点有以下几点：
1.进一步对学生有序思维的渗透
有序思维的培养，对学生的学习起着非常大的影响，有利于提高学生的数学素养，发展学生的智能，而这个过程是一个循序渐进的过程。调查结果显示：大部分学生经过二年级的学习后已经会用有序的思维思考问题，但仍存在一小部分学生无从下手或者無序地排列，因此，有序思维的渗透仍是本节课的重点，教学中放手让学生自主探索，大胆呈现学生的作业，从不完整到完整，从无序到有序，让学生进一步感知有序排列的优越性，也为以后的学习打下有利的学习基础。比如四年级学习《角的度量》这一单元后，有这样的习题：请你找一找下图中有几个角？ ；又如在《平行四边形和梯形》中要求找出有几个平行四边形和梯形……这些都需要学生进行有序思考才能保证不重复、不遗漏地找出。
2.注重对学生有序排列方法的优化
在本节课中，不仅要对学生进行有序思维的进一步渗透与培养，还要对学生有序排列方法优化的指导。课上，教师应肯定学生的有序思想，但从思维的挑战上来说，教师完全可以再提出一个更高的要求——在有序思考的基础上选择更优的方法，这就在课堂上安排了各种比较，让学生在比较中感知方法优化后带来的方便，提升了素养。
五、结语
数学思想方法属于默会知识，学生在短时间内是不可能全部掌握的，需要长期的渗透和不断体验来感悟。因此，教师要根据学生的年龄特点，分段加以实施，有机进行渗透，从“无序”到“有序”，从“有序”到“优化有序”，引导学生在探究发现的过程中优化思维方法，领悟数学的真谛，提升有序思想的数学素养。
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011版）.北京师范大学出版社，2012.
[2]李志刚.培养有序思维，发展小学生核心素养.理论前沿，2017 .
关键词：渗透；优化 提升 比较 有序
一、教材解读
《标准》中指出：重要的数学概念与数学思想宜逐步深入。在二年级上册的数学广角中，学生已经接触了简单的排列内容，通过具体操作、观察等活动初步感知排列的思想和方法；三年级下册中，内容难度稍有提升，这个提升不仅体现在排列元素的增加，也体现在问题要求的复杂化。
二上 三下
用1、2和3组成的两位数，每个两位数的十位数和个位数不能一样，能组成几个两位数？ 用0、1、3、5能组成多少个没有重复数字的两位数？
我们不难发现，在三下的教材编排中，元素（排列的数字）多了一个，而且增加的是0这个特殊元素。很明显，二年级主要是对有序思想的渗透和有序排列方法的指导，而三年级可根据需要适当提升教学目标——进一步进行有序思想的渗透，同时要根据实际情况优化有序排列的方法，从而提升有序思维的数学素养。
二、学情调查
数学活动应该建立在学生认知发展水平和已有知识经验的基础上，了解学生的认知起点，把握学生的认知规律，这样就可有针对性地实施教学。根据对教材内容的解读，本人对4个班级144人进行了一次课前调查。
第一题是“用1、2、3三个数字能组成多少个没有重复数字的两位数”，旨在了解学生的前知掌握情况；第二题是“用0、1、2、3四个数字能组成多少个没有重复数字的两位数”，旨在考查学生能否发现0的特殊性并对其进行特殊处理后进行排列；第三题是“用 1、2、3、5四个数字组成的没有重复数字的，个位是单数的两位数”，调查学生是否能对有特殊要求的题目选择最优方法进行有序排列。
初步统计，第一题结果正确的有104人，占总人数的72.2%，只有40人错误，这部分学生主要是基础薄弱以及对有序排列知识的遗忘；第二题结果正确的有92人，占总人数的63.2%，原本预想的学习难点也有超过一半的学生能用自己的方法进行有序排列而突破，而从错题来看，个别学生因未读清题目要求而导致错误，部分学生在排列时虽进行了有序思考，但受“0这个特殊条件”的影响而不能不重不漏地写完整，而第三题结果正确的只有58人，只占总人数的40.3%，9位考虑先固定个位上数字的同学全部做对，而87位考虑先固定十位上数字的同学只有将近一半人写完整，究其原因是很多学生对于这一题中的“2不能做个位”不能很好地处理，也就是没有找到用最优的方法来排列而导致有重复或是有遗漏的现象出现。
三、教学实践
基于以上調查和分析，本人决定利用学生已有的知识经验和生成性资源，放手让学生自己尝试，重点关注学生解决问题时的思路以及方法多样性的同时还借助在比较中进行方法的优化。教学实践过程如下：
1.复习导入，回顾旧知
课始，出示复习题“由1、2、3三个数字组成的没有重复数字的两位数。”提出问题“你是怎么想的？还有不同的方法吗？”并根据学生的回答呈现——固定十位，固定个位，交换位置。通过回顾旧知，唤醒学生已有的知识经验，利用正迁移对接下去的自主探索学习作铺垫。
2.新知探究，优化方法
出示“由0、1、2、3四个数字组成的没有重复数字的两位数。”展示学生作品并比较——同样进行了有序思考，你喜欢哪一种？为什么？
生：更喜欢第一种，因为0不能做首位，如果用固定个位法或者交换位置方法时，0不能做首位要考虑好几次，这样就很容易导致遗漏。
这一环节增加特殊元素“0”，放手让学生自主探索解决问题的方案。在多种方案交流中让学生感受到有序、全面思考以及分类讨论等方法的优点，同时通过比较，发现同是进行有序排列，先考虑“0”的特殊性，即先固定十位上的数字更方便，有序排列的同时进行方法的优化。
3.对比练习，内化问题
（1）变式练习，打破思维定势
出示“由1、2、3、5四个数字组成的没有重复数字的，个位是单数的两位数。”展示学生作业并交流。
生1：我先固定十位上的数为1，接着考虑个位分别为2、3、5，但又因为个位要是单数，所以我划掉了12；然后用同样的方法考虑十位上的数为2、3、5的情况，然后把不符合的数划掉。
生2：我跟前面同学一样的思考，只是把不符合的在脑海里直接去掉了。
生3：因为要求个位是单数，所以我就先固定个位上的数分别为1、3、5。
之后教师引导学生观察比较哪种方法更方便？从写数的习惯来说，从高位写起更方便，也因此很多学生第一反应就是先固定十位上的数，然后再考虑个位上的数，对这些学生应肯定他的有序思维，但根据不同的要求，换种思维方式可能会更方便。因此，设计了此变式练习题，与例题形成对比，发现在进行有序排列时可根据不同的要求对“特殊元素”进行额外处理，打破学生的思维定势，在比
较中将方法优化，内化了问题。
（2）变式练习，巩固知识点
出示题目“由1、2、3、5四个数字组成的没有重复数字的，个位是双数的四位数。”数字不变，要求改变，意在引导学生仔细审题的同时，考查学生是否会灵活选择合适的方法进行有序思考，巩固知识点。
（3）变式练习，数学生活化
将教材练习中的“唐僧”位置调整到最后，出示题目“唐僧师徒4人坐在椅子上。如果唐僧的位置不变，其他人可以任意换位置，最多有多少种坐法？”
要求用自己喜欢的方式快速正确地进行排列，并在小组内交流想法后汇报。 展示交流后与上一练习题进行比较，在比较中发现都是“末尾固定”，即只要对前三个元素进行有序排列，将数学与生活联系，体现了数学知识的生活价值。
4.拓展练习，提升方法
由1、2、3、5、6五个数字组成的没有重复数字的两位数中，
（1）从小到大的顺序排列，第5位是（ ），第14位是（ ）。
（2）从大到小的顺序排列，第5位是（ ）。
这个练习题，学生会用有序思维去思考，但在方法上有繁有简——有按照顺序依次排列，直到排列到所需要的那一位；也有在排列几个后发现每一个数字开头的有四个数，从而发现从小到大排列中，第5位一定是2开头的，第14位是5开头的，这在培养学生的有序思维上又提出了一个更高的要求，真正做到“下要保底，上不封顶”，提升了有序思维的数学素养。
四、教后反思
数学教学的本质，在于思维的启发和培养。小学数学教学中，适当拓展学习知识，有利于开阔学生的视野，锻炼学生的思维能力，从而实现数学有序思考这一学科素养的培养。从教学实践来看，本节课的凸显特点有以下几点：
1.进一步对学生有序思维的渗透
有序思维的培养，对学生的学习起着非常大的影响，有利于提高学生的数学素养，发展学生的智能，而这个过程是一个循序渐进的过程。调查结果显示：大部分学生经过二年级的学习后已经会用有序的思维思考问题，但仍存在一小部分学生无从下手或者無序地排列，因此，有序思维的渗透仍是本节课的重点，教学中放手让学生自主探索，大胆呈现学生的作业，从不完整到完整，从无序到有序，让学生进一步感知有序排列的优越性，也为以后的学习打下有利的学习基础。比如四年级学习《角的度量》这一单元后，有这样的习题：请你找一找下图中有几个角？ ；又如在《平行四边形和梯形》中要求找出有几个平行四边形和梯形……这些都需要学生进行有序思考才能保证不重复、不遗漏地找出。
2.注重对学生有序排列方法的优化
在本节课中，不仅要对学生进行有序思维的进一步渗透与培养，还要对学生有序排列方法优化的指导。课上，教师应肯定学生的有序思想，但从思维的挑战上来说，教师完全可以再提出一个更高的要求——在有序思考的基础上选择更优的方法，这就在课堂上安排了各种比较，让学生在比较中感知方法优化后带来的方便，提升了素养。
五、结语
数学思想方法属于默会知识，学生在短时间内是不可能全部掌握的，需要长期的渗透和不断体验来感悟。因此，教师要根据学生的年龄特点，分段加以实施，有机进行渗透，从“无序”到“有序”，从“有序”到“优化有序”，引导学生在探究发现的过程中优化思维方法，领悟数学的真谛，提升有序思想的数学素养。
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011版）.北京师范大学出版社，2012.
[2]李志刚.培养有序思维，发展小学生核心素养.理论前沿，2017 .